【文章內(nèi)容簡介】 (320)方程組(320)的系數(shù)矩陣是對稱的三對角陣，而且也是正定的。這是因為對任意的，令，有這里用到條件若上式等于0，則有即因此有又，所以有，即只能是中的零向量，這說明了的正定性。從而，三對角方程組(320)有惟一的解上面的約束處理方法，是將(N+1)階矩陣K劃去第一行和第一列，得到N階的矩陣。在實際的程序中，將要重新排列矩陣元素的存儲次序，會引起一些麻煩。另一種做法可以保持一個(N+1)階的方程組，即在K中將改變?yōu)?，第一行和第一列其他元素變?yōu)?，也改變?yōu)?，這樣得到的方程組是 (321)其系數(shù)矩陣仍然是對稱正定的。解出，而則和()式的解完全相同。這樣要解的方程組雖然高了一階，但程序比較簡單。在各種有限元程序中，還有其他約束處理的具體方法。 以上我們是在單元剖分的基礎上，利用分段線性插值函數(shù)構(gòu)造出有限維子空間。然后按單元計算單元剛度矩陣和荷載向量，即每個單元對總剛度矩陣和總荷載向量的貢獻，再將它們對應累加起來，得到總剛度矩陣和總荷載向量。最后進行約束處理，形成了有限元方法的代數(shù)方程組，從方程組解出的就是u(x)在節(jié)點上的近似值，而近似解可以表示成。如果認為這個近似解不夠精確，我們可以使剖分更細，即節(jié)點取得更多。 二維問題，三角形線性元用有限元方法解二維問題，首先要對區(qū)域Ω進行剖分，這比剖分一維的區(qū)間更為復雜。也可以有更多的剖分方法。這里我忙呢首先介紹比較簡單且更為實用的三角形剖分，在每個三角形元上用線性插值。本節(jié)我們以poisson方程第三邊值問題為例說明基本問題的運算方法。我們討論的定解問題是 (322)其中n是上的外法線方向。α和g是上的連續(xù)函數(shù)。引入記號 (323)對應于邊界問題()式的變分問題是 (324)其中 (325) (326) 單元剖分及試探函數(shù)空間的構(gòu)造 (1)三角形剖分我們將剖分為一組三角形的組合，這些三角形除了它們的邊外，內(nèi)部是互不重疊的。在這樣的剖分下，用折線代替，也就是把近似看成一個多角形區(qū)域。每一個三角形成為一個單元，它們的頂點成為節(jié)點，每一個單元的頂點，只能是相鄰單元的頂點，而不是要相鄰單元的非頂點。同時要注意剖分時盡量不要出現(xiàn)大鈍角的三角形，這樣的三角形有一條邊與其他邊相比很大，將會影響計算的精度。如果事先能估計到在中未知函數(shù)u變化劇烈的部分，可以在該處網(wǎng)格分的密些。在u變化平緩的部分，網(wǎng)格可以分的稀些，這樣的剖分比一般的差分方法更靈活。對于方程有間斷系數(shù)的情形，應該用折線逼近間斷的內(nèi)邊界，并使折線的每段都成為三角形單元的邊。如果邊界條件中也出現(xiàn)間斷，間斷點也應該為節(jié)點。劃分好單元之后，對單元進行編號，一般的單元記為ek，k=1，2，……，Ne。這里Ne是單元的總數(shù)。對節(jié)點也進行編號，一般的節(jié)點共有Pi，其坐標為(xi，yi)，i=1，2，3……，Np，這里節(jié)點數(shù)共有Np個。在編好號以后，xi和yi是規(guī)定好了的值。應該注意節(jié)點的編號順序?qū)ο旅鎸⒁懻摰目倓偠染仃嚨膶挾扔嘘P(guān)，所以要適當?shù)木幪枴? (2)試探函數(shù)空間的構(gòu)造按以上的剖分方法，我們認為Ω是一個多角形區(qū)域，它的邊界是一個封閉的折線。記。我們希望邊值問題的近似解函數(shù)在上是一個連續(xù)函數(shù)，而在每個三角形單元上，它是一個x，y的線性函數(shù)。這樣，我們便可以構(gòu)造試探函數(shù)空間Uh，其中h記上述剖分中所有三角形的最大邊長。如果h→0，那就表示了剖分無限進行的過程，對于一種三角形剖分，做下面的定義。jpjpipmemizOxyek。顯然，若ek上的幾何圖形就是一個平面上對應于ek的三角形部分，如圖(33)，可以驗證這樣的分片線性函數(shù)空間Uh是S1的一個有限維的子空間。圖33 二維剖分原理 (3)單元上的線性插值多項式我們先討論Uh中的函數(shù)在一個單元e上的表達式。設e是任意一個三角形單元，其中頂點為Pi，Pj，Pm。我們規(guī)定i，j，m。在e上的線性函數(shù)uh(x,y),的表示式為 (327)其中a,b,c為待定的常數(shù)。設uh(x,y)在PiPj和Pm上的函數(shù)值分別為 (328)根據(jù)ui,uj,um可以定出a,b,，將上式帶入(327)式，得到 (329)(328)式是以a,b,為未知數(shù)的線性方程組，當i,j,m按逆時針順序時，e的面積 (330)所以(330)式的解可以表示為 (331)其中 (332)代回(329)式，得到 (333)其中 (334)同理可得和的一次函數(shù)表示式，最后寫成 (335)我們注意到，在這些公式中，如果我們寫出了第一個式子，則其他的式子可以通過i,j,m的腳標輪換得到。即將第一式的腳標i轉(zhuǎn)換為j，j換位m，m換為i就可得到第二式。再換一次的三式。引入13的矩陣N和列向量ue： (336) (337)則在e上有 (338)并且uh=(x,y)的梯度向量可以表示為 (339)其中 (340)(334)和(338)式就是e上根據(jù)三角形的三個頂點上的函數(shù)值uiujum作出的線性插值函數(shù)。而e上任意一個一次函數(shù)都可以寫成(334)式那樣的Ni ,Nj , Nm三個函數(shù)的線性組合，其系數(shù)正好是函數(shù)在對應頂點上的值。我們稱Ni(x,y)，Nj(x,y)，Nm(x,y)為e上的線性插值基函數(shù)。不難驗證 (341)如果(334)式中的uh(x,y)在e上分別去為函數(shù)1，x和y，就得到恒等式 (342)也就是說零次和一次函數(shù)1，x和y的線性插值函數(shù)就是它們自己。 (4)試探函數(shù)空間的基函數(shù)上面已經(jīng)定義了Uh是三角形剖分下連接分片線性函數(shù)的集合，它構(gòu)成了實數(shù)域上的線性空間，在每個單元en上uh(x,y)的表示式已經(jīng)寫清楚了，不難看到，上的每一個分片連續(xù)函數(shù)，即Uk中的每一個函數(shù)，都可以表示成Uh中的基函數(shù)的線性組合。我們注意到，每一個基函數(shù)對應一個節(jié)點，所以Uh是一個Np維的空間。Uh中的每一個函數(shù)均可以表示為 (343)其中ui是在Pi點的函數(shù)值，每一個基函數(shù)，在Pi點的函數(shù)值為1，而且在上只有在Pi點附近函數(shù)值不為零。 激子基態(tài)描述首先基于激子的密度的不均勻分布，如果間接激子的相互作用完全是排斥力，這將迫使激子分布均勻化，并且激子云將隨激子數(shù)量增大而擴展。相反，如果之間的相互作用完全是吸引力，當激子密度超過關(guān)鍵值時，將沒有足夠的動能來穩(wěn)定激子云，從而系統(tǒng)將塌陷。另外，完全吸引和完全排斥的情況是不能理解實驗現(xiàn)象：當激光能量增加時，首先激子云緊縮，然后再擴張。吸引相互作用的存在意味著激子態(tài)是相對金屬電子空穴對的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。排斥相互作用超過吸引相互作用的原因是結(jié)構(gòu)的組成樣式并保持系統(tǒng)穩(wěn)定性。許多因素與激子的相互作用相關(guān)。其中最重要的一個是雙極子間的相互作用。激子的表現(xiàn)行為像個極子，如此一個強的排斥將控制激子的相互作用，當兩個極子線性平行時。但是，如果兩個極子的方向從線性平行改變到任意方向，一個極子的電子和空穴間的相互吸引將占主導作用。當激子密度低時，這種情況很容易發(fā)生。而在高密度情況下，由于強的庫倫相互作用，極子將趨于線性平行，因此排斥相互作用將起主導作用，另一個重要的相互作用來自于交換效應。當兩個間接激子相互接近時，兩個電子間和兩個空穴間的交換相互作用變得很重要。這可能是激子間吸引作用的另一來源。事實上，來自于多體效應競爭的復雜的激子相互作用可以由van der Waals形式很好的描述。它已經(jīng)指出當激子間距在３－６個激子半徑范圍內(nèi)時，激子間有效地相互作用是吸引的。在目前的實驗中，機子密度大約為1010/cm2。對于這個密度，間接激子間的平均激子間距大約為100nm。當激子的波爾半徑aB大約在210 個激子半徑時。如此合理的假設是兩體作用是在吸引范圍內(nèi)的。事實上，激子間的吸引相互作用已經(jīng)被當做是一個可能的方面來解釋實驗上觀察到的圖樣結(jié)構(gòu)?？紤]了兩體的吸引和三體的排斥相互作用，劉承師老師等已經(jīng)提出削弱的激子行為可以用一個非線性的薛定諤方程來描述[1]。整理后的方程為： (344)這里ψj和Ej是第j個的本征態(tài)和本征值。Vex是外加勢能， g1和g2 是(正數(shù))與兩體和三體有關(guān)的耦合常數(shù)。對于低密度激子，激子間的相互作用是吸引作用。隨著粒子密度的增加(通過提高激光強度)，低溫激子云將縮小而與局部的或非定域的態(tài)無關(guān)。這意味著吸引作用掌控者激子運動。在均勻勢場里，這對應著自勢能的增加。粒子密度越大，吸引作用越大，激子云將越小。在低溫下，TTtr 不確定原理掌控激子運動。因此，這將導致更高的激子能量和更大的能級分立。當粒子密度進一步增大，三體排斥就變得更重要，而自勢吸引就減弱了。事實上，隨著低密度區(qū)域的激光能量的增加，光制發(fā)光光譜首先展寬隨后尖銳的現(xiàn)象已經(jīng)被觀測到。另外在符合實驗數(shù)據(jù)的前提下，這里我們提供了一個進一步的證據(jù)：激子間相互作用可能是一個兩體吸引和一個三體排斥的綜合效應。 matlab pde工具箱簡介Matlab是Mathworks公司推出的用于科學和工程計算的交互式軟件系統(tǒng)[9]. 它以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位 ,提供數(shù)值計算函數(shù) ,具有強大的數(shù)值計算與分析功能. Matlab 與符號計算語言Maple 結(jié)合 , ,也可以對圖形進行修飾和控制 , ,Matlab既是一種編程環(huán)境 ,又是一種程序設計語言 ,與高級程序語言 C 和Fortran相比更數(shù)學化 ,使用起來更方便 ,但 Matlab是解釋性語言 ,程序執(zhí)行速度較慢 ,而且不能脫離Matlab環(huán)境而獨立運行.目前的MA TLAB710 的PDE Too lbox 提供了研究和求解空間二維偏微分方程問題的一個強大而又靈活實用的平臺。該工具箱能求解基本方程有橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程、特征值方程、橢圓型方程組以及非線性橢圓型方程。Matlab工具箱就是一些M 文件的集合, 用戶可以修改工具箱中的函數(shù), 更為重要的是用戶可以通過編制M 文件來任意地添加工具箱中原來沒有的工具函數(shù)。許多的專業(yè)領域在MA TLAB 中都有自己的工具箱。它能方便建立各種不同的求解區(qū)域，使用最優(yōu)算法，生成二維三角格子。用于求解各種方程。[11]PDE Toolbox 的功能包括[11]：設置PDE(偏微分方程)定解問題，即設置二維定解區(qū)域、邊界條件以及方程的形式和系數(shù)；用有限元法(FEM)求解PDE，即網(wǎng)格的生成。方程的離散以及求出數(shù)值解；解的可視化。 本章小結(jié) 本章主要為計算半導體激子基態(tài)做輔助。首先介紹了計算基態(tài)所使用的方法，有限元方法。有限元方法既是基于變分原理，又具有差分方法的一些特點，并且適合于較復雜的區(qū)域計算。之后根據(jù)劉承師等老師提出的理論，說明了激子所滿足的非線性方程。最后介紹了計算機計算所使用的計算機軟件及工具。第4章 激子基態(tài)計算方法 第四章 半導體中激子基態(tài)計算 虛時演化薛定諤波動方程[12]，它揭示了微觀世界中物質(zhì)運動的基本規(guī)律。不含時薛定諤方程 (41)含時薛定諤方程 (42)V(r)為粒子所在勢場。普遍表示是： (43) (44)當E值可以被所對應的解在物理上可以接受，此時E值稱為體系的能量本征值，相應的ψE(r)稱為能量本征函數(shù)，不含時薛定諤方程實際上就是勢場V(r)中粒子的能量本征方程。含時薛定諤方程的解為： (45)將it替換t，原薛定諤方程變?yōu)? (46)其相應的解為： (47)由解可以看出，經(jīng)過這種代換后，當時間增加的時候，粒子處于處于高激發(fā)態(tài)的密度會下降，即隨時間演化后，此解趨向于基態(tài)?？捎么朔椒ㄇ蠼馄浞匠袒鶓B(tài)。 分析非線性薛定諤方程 對薛定諤方程式(344)做以下簡化：、做上面的替換后，方程保持同樣的形式。在這種情況下，為幾率密度，并滿足歸一化方程。然后在進行替換：、這樣方程(344)被簡化為： (48)其中， 、(其中，是在光致發(fā)光實驗中觀測到的激子云的方均根半徑)，經(jīng)以上代換后我們發(fā)現(xiàn)、。接下來，我們使用虛時演化的方法：我們令 (49)將方程變?yōu)楹瑫r的形式為 (410)用it代替t變?yōu)? (411) matlab求解 三角格子我們首先建立求解范圍，我們使用pde工具箱，在一個圓心在(0,0)點，半徑為1的圓上求解，邊界為不連續(xù)，做無限深勢阱處理。與前面介紹的有限元法劃分三角格子，一樣，畫出三角格子。并且可以適度加密處理，這樣求解會更精確[13]。如圖(41)。圖(41)用pde工具箱畫三角格子我們可以得到p，e，t，g 等格子的參數(shù)。p為格子坐標。 公式處理對于公式49中，在哈密頓量里有Vex，我們做如下處理。我們使中間的勢能最低，然后隨著半徑的增加而升高，在邊界處為