大學(xué)微積分l知識點(diǎn)總結(jié)一(編輯修改稿)
2025-07-23 12:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ）=0，y=f（x）帶入即可得到F【x，f（x）】=0，滿足該恒等式即為隱函數(shù)國際數(shù)學(xué)通用標(biāo)記：易錯點(diǎn)：求導(dǎo)時，不能將y與f（x）等同。二者導(dǎo)數(shù)未必一致【帶有絕對值的函數(shù)該如何求導(dǎo)？】帶有絕對值的函數(shù)脫掉絕對值符號后是一個分段函數(shù)，應(yīng)當(dāng)分段求導(dǎo)。特別應(yīng)注意的是，分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)嚴(yán)格來講，應(yīng)當(dāng)按定義來求?！窘?jīng)典題型總結(jié)】（1） 設(shè)函數(shù)f（x）在x≠0時可導(dǎo)，且對任何非零數(shù)x，y均有f(xy)=f(x)+f(y),又f(1)存在。證明當(dāng)x≠0時，f(x)可導(dǎo)。 證：令x=1，由f(xy)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0 對任何x≠0，由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)定義知， 高階導(dǎo)數(shù)：（1）高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（2） 【淺談高階導(dǎo)數(shù)的求法】高階導(dǎo)數(shù)求法一般包括6種方法，即①根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義求之；②利用高階導(dǎo)數(shù)公式求之；③利用萊布尼茨公式求之；④用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求之；⑤用泰勒公式求之；⑥交叉法，等等。①定義法：運(yùn)用求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則求導(dǎo)，n階導(dǎo)數(shù)一般比較其規(guī)律性②高階求導(dǎo)公式：把高階求導(dǎo)公式化為代函數(shù)之和，分別求之③萊布尼茨公式求導(dǎo)：當(dāng)所求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積時，宜用萊布尼茨公式求之。特別地，當(dāng)其中一個函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)為0，可以用此公式求之；兩個因子中，其中有一個函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)有明顯的規(guī)律性時，可以用此公式。④復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則還可以推廣到多次復(fù)合的情形。在求導(dǎo)時，能從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，一直求到對自變量求導(dǎo)數(shù)為止。若存在單值反函數(shù)，常用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求其反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)?！久~釋義】單值反函數(shù)：若對定義域每一個自變量x，其對應(yīng)的函數(shù)值f（x）是唯一的，則稱f（x）是單值函數(shù)。反過來，對于任何一個函數(shù)值y，都有唯一的一個自變量x與之相對應(yīng)，則此時稱y=f（x）為單值反函數(shù)。⑤泰勒公式求導(dǎo)法 證明題：①證明一函數(shù)（隱函數(shù)）處處可導(dǎo)：則應(yīng)先根據(jù)題意找出幾個關(guān)鍵的點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式：進(jìn)行判定②證明f（x）=a，即證F（x）=f（x）a=0（3）部分初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 一階導(dǎo)數(shù)：切線斜率 二階導(dǎo)數(shù)：曲線曲率關(guān)于曲線凹凸性的兩個定理及應(yīng)用【經(jīng)典題型總結(jié)】X=f’（t）Y=tf’（t）f（t）（1）設(shè) f’’’（t）存在且f’’（t）≠0，求 （2）函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)，求該函數(shù)表達(dá)式 （3） f（x）、g（x）都可導(dǎo)，且滿足：①f（x）=g’（x）、f’（x）=g（x） ②f（0）=0；g（0）=1。證明：g2（x）f2（x）=1證：由上可知，f’’（x）=f（x）【微分：】自變量的改變量等于自變量的微分導(dǎo)數(shù)又稱“微商”。微分四則運(yùn)算：設(shè)u=u（x）、v=v（x）在點(diǎn)x處均可微，則u177。v、uv、u/v（v≠0）在x處都可微，且：截距的性質(zhì)：截距不是距離，所以截距是有正負(fù)的拐點(diǎn)：在數(shù)學(xué)上，拐點(diǎn)是指改變曲線向上或者向下方向的點(diǎn)。直觀地說，拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)（即曲線的凹凸分界點(diǎn)）。若該曲線的圖形函數(shù)在拐點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)必為零或者不存在駐點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)、可微、連續(xù)、極限之間的關(guān)系？可導(dǎo) == 可微可導(dǎo)(可微） == 連續(xù) == 極限存在 == 左極限、右極限都存在且相等（箭頭反方向的話不一定成立）可導(dǎo) == 左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等連續(xù) == 左連續(xù)且右連續(xù) + 極限值等于函數(shù)值連續(xù) == 極限存在且等于函數(shù)值極限存在 == 左極限、右極限都存在且相等在某點(diǎn)處（左、右）極限是否存在與該點(diǎn)處函數(shù)是否有定義無關(guān)【第四部分】微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）費(fèi)馬定理 設(shè)f（x）在點(diǎn)x0處取到極值，且f’（x0）存在，則f（x0）=0。（2）羅爾定理 如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(aξb)，使得 f39。(ξ)=0.（3）拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f(x) 滿足:（1）閉區(qū)間[a,b
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