【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的連續(xù)、不連續(xù)信號(hào)，TD可以給出連續(xù)、無(wú)超調(diào)的跟蹤信號(hào)。所以把跟蹤微分器引入到經(jīng)典PID控制器中，即克服了經(jīng)典PID控制由于沒(méi)有對(duì)給定信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理而給系統(tǒng)帶來(lái)額不必要的結(jié)構(gòu)上的干擾，有克服了經(jīng)典PID誤差信號(hào)微分失真。利用TD的PID控制器的結(jié)構(gòu)圖如圖21所示。圖21 利用TD的PID控制器 跟蹤微分器的數(shù)學(xué)表達(dá)式二階跟蹤微分器的方程為 () 為了避免在原點(diǎn)附近的顫振，將符號(hào)函數(shù)改為飽和函數(shù)就得到有效的二階跟蹤微分器： （）其中，TD濾波器的離散化公式如式（）所示： ()其中：x1用于跟蹤輸入信號(hào)v，x2用于跟蹤v的二階導(dǎo)數(shù)，r是決定跟蹤快慢的參數(shù)，r越大，x1越能更快地跟蹤信號(hào)v；h是數(shù)值積分步長(zhǎng)。是如下的非線性函數(shù)：其中 跟蹤微分器的數(shù)學(xué)模型的搭建（simulink下的實(shí)現(xiàn)）在Matlab環(huán)境下，可以通過(guò)兩種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)跟蹤微分器的功能：一種是通過(guò)編寫(xiě)s函數(shù)，也就是編程的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)；另外一種就是在simulink仿真下，通過(guò)各個(gè)功能模塊的搭建來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在本設(shè)計(jì)中，采用后者。跟蹤微分器的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(32)所示，下面即展示利用simulink模塊分步實(shí)現(xiàn)跟蹤微分器的各個(gè)功能。對(duì)于函數(shù)，其搭建的simulink模塊為圖22所示：圖 22 sat()函數(shù)功能模塊其中l(wèi)n1為輸入，Out1為輸出，并用了幾個(gè)功能模塊：Abs1為取絕對(duì)值；Sign為符號(hào)函數(shù)；Divide1為乘除函數(shù)；Switch為選擇函數(shù)（當(dāng)輸入值的絕對(duì)值大于限值時(shí)上路接通；當(dāng)輸入值的絕對(duì)值小于限值是，下路接通）。所以，設(shè)限值為，當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=，至此，就可以實(shí)現(xiàn)此函數(shù)的功能了。在此基礎(chǔ)上，就可以實(shí)現(xiàn)公式（）的功能了，如圖23所示：圖23 subsystem子系統(tǒng)模塊 圖中子系統(tǒng)Subsystem1所封裝的內(nèi)容即圖22所示的內(nèi)容即函數(shù)。Subsystem的輸入由三部分組成：、其中l(wèi)n1為輸入信號(hào)；從上路接入的信號(hào)為；從下路接入的信號(hào)為。三路信號(hào)的和作為Subsystem的輸入信號(hào)，輸出信號(hào)進(jìn)入乘除器，作為被除數(shù)，除數(shù)為R。乘除器的輸出信號(hào)進(jìn)入一個(gè)積分器就得到了，再經(jīng)過(guò)一個(gè)積分器就得到信號(hào)。再把信號(hào)引出，經(jīng)一個(gè)乘除器與其絕對(duì)值相乘，再除以2R，就可得到。所以整個(gè)TD的模型就已經(jīng)搭建好了，如圖24所示圖 24 TD的實(shí)現(xiàn)把圖23封裝子系統(tǒng)為Subsystem，如上圖所示，ln1為輸入端，Out1和Out2為輸出端。Out1端的輸出跟蹤輸入信號(hào)，Out2端的輸出為輸入的近似微分。 跟蹤微分器的仿真實(shí)現(xiàn)與分析（1）前面已述，微分跟蹤是這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：對(duì)于輸入信號(hào)V(t),它將輸出兩個(gè)信號(hào)x1和x2，其中x1是跟蹤V(t)，而，從而把x2作為V(t)的“近似微分”。由跟蹤器得到的微分信號(hào)是輸入信號(hào)廣義導(dǎo)數(shù)的一種光滑逼近。給系統(tǒng)加一個(gè)正弦信號(hào)，幅值為2，頻率為1 rad/s。輸入正弦函數(shù)圖形如圖25所示：圖 25 輸入正弦圖形 輸出x1和x2分別如圖26和27所示：圖 26 x1輸出圖形圖 27 x2輸出圖形分析以上三圖：比較圖25和圖26可以發(fā)現(xiàn)，兩圖基本完全是一致的，說(shuō)明輸出x1能夠較好地跟蹤輸入信號(hào)，觀察圖27，剛開(kāi)始有較大的波動(dòng)，隨后穩(wěn)定了，正是圖25的微分信號(hào)，所以，能較好實(shí)現(xiàn)微分器功能。 （2）跟蹤微分器還具有一定的濾波作用，下面我們對(duì)其進(jìn)行仿真驗(yàn)證。(1)的干擾，其波形如圖28所示：圖 28 加噪聲的輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)TD跟蹤微分器后，其輸出波形如圖29所示：圖29 濾波后輸出波形 所以，比較以上兩圖可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)TD后，原波形的噪聲明顯減少了很多，并能繼續(xù)跟蹤源信號(hào)，說(shuō)明TD具有很好的濾波功能。 幾種典型的非線性組合選取合理的非線性函數(shù),PID的非線性組合方式有以下幾種： （1） 稱為非線性誤差的PID控制律，其結(jié)構(gòu)如圖210所示。 圖210 非線性誤差PID控制規(guī)律結(jié)構(gòu)圖（2）稱為非線性PID控制律，其結(jié)構(gòu)如圖211所示，其中虛線部分可稱為非線性組合。圖211非線性PID控制規(guī)律結(jié)構(gòu)圖 （） 其中是決定非線性度的參數(shù),其取值范圍為0~1；表征的線性區(qū)間大小的參數(shù)。在simulink下對(duì)非線性函數(shù)fal()的搭建模型如圖212和213所示：圖 212非線性系統(tǒng)圖212是封裝子系統(tǒng)后的整體模型，為了研究方便，輸入為斜坡函數(shù)，其子系統(tǒng)封裝內(nèi)容如圖213所示：圖 213 子系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析圖213：主要有以下幾個(gè)功能模塊：step為階躍輸入；abs為取絕對(duì)值；Product為乘法模塊；Divide為除法模塊；Sign為符號(hào)函數(shù)模塊；Math Function為指數(shù)模塊；Switch為開(kāi)關(guān)選擇模塊。ln1為輸入，首先看中路，取絕對(duì)值后進(jìn)入Switch模塊，與Switch的限值δ比較大小，當(dāng)其大于δ時(shí)輸入信號(hào)進(jìn)入上路，小于δ時(shí)輸入信號(hào)進(jìn)入下路。對(duì)上路分析：輸入信號(hào)進(jìn)入上路后又分成兩路，一路進(jìn)入Sign模塊變?yōu)榉?hào)函數(shù)，另一路取絕對(duì)值后再進(jìn)入Math Function模塊，最后兩路信號(hào)相乘。對(duì)下路進(jìn)行分析：首先看Math Function模塊，它有兩路輸入：一路是δ，另一路是1α。此模塊輸出進(jìn)入Divide模塊，作為除數(shù)，被除數(shù)輸入。 圖214 非線性PID控制器結(jié)構(gòu)圖通過(guò)合理地選取非線性函數(shù)、利用跟蹤微分器實(shí)現(xiàn)對(duì)給定信號(hào)的預(yù)處理和對(duì)給定信號(hào)的微分信號(hào)的提取，可以構(gòu)造出如圖214所示的非線性PID控制器。非線性PID包含兩個(gè)跟蹤微分器（TD），一個(gè)對(duì)系統(tǒng)的參考輸入安排理想的過(guò)渡過(guò)程并提取參考輸入信號(hào)的微分信號(hào)；另一個(gè)跟蹤微分器盡可能地復(fù)原系統(tǒng)輸出及其微分信號(hào)。非線性PID算法如下： () () () 適當(dāng)選取非線性組合和跟蹤微分器中的參數(shù)，非線性PID控制器對(duì)對(duì)象不確定性具有極好的適應(yīng)性及對(duì)自身參數(shù)具有較強(qiáng)的魯棒性。、對(duì)非線性函數(shù)fal的影響及假設(shè)非線性函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式214所示，為誤差大小，即輸入量；決定非線性度的參數(shù)，其取值范圍是0~1；表征的線性區(qū)間大小的參數(shù)。 設(shè)計(jì)如圖215所示的試驗(yàn)系統(tǒng)。各非線性環(huán)節(jié)子系統(tǒng)（Subsystem1﹑Subsystem2﹑Subsystem3﹑Subsystem4﹑Subsystem5）中的取值分別為0﹑﹑﹑﹑1。在=，給各非線性環(huán)節(jié)加入初始值為0，斜率為1的斜坡信號(hào)。其輸出響應(yīng)如圖216所示。圖215 取值不同時(shí)的試驗(yàn)系統(tǒng)圖 216 運(yùn)行結(jié)果的比較運(yùn)行結(jié)果分析：在保持不變的情況下，值越小，曲線的非線性程度越大，非線性效果就越明顯，當(dāng)為0時(shí)，輸出曲線為階躍信號(hào)，隨著的增大，曲線越來(lái)越接近線性，當(dāng)為1時(shí)，輸出曲線就變?yōu)榫€性函數(shù)了。并且在可以看出在1s之前，同一時(shí)刻，值越大，其輸出值越小，所有曲線在1s時(shí)刻相交，1s之后，值越大，其輸出值越大。設(shè)計(jì)如圖217所示的試驗(yàn)系統(tǒng)。子系統(tǒng)Subsystem1~7的取值分別為：、112000、120000，=。給各非線性環(huán)節(jié)加入初始值為0，斜率為3的斜坡信號(hào)。輸出響應(yīng)如圖218所示。圖 217 取值不同時(shí)的試驗(yàn)系統(tǒng)圖218 運(yùn)行結(jié)果輸出的比較分析：當(dāng)δ=、在100s的時(shí)候輸出基本可以達(dá)到17左右，呈現(xiàn)較明顯地非線性曲線，我們可以從非線性函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)分析：當(dāng)δ取值較小的時(shí)候，輸入在很短時(shí)間內(nèi)可實(shí)現(xiàn)，所以輸出為=，呈現(xiàn)如上所示曲線。當(dāng)δ=120的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)曲線在t=40s的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，此現(xiàn)象不難分析：輸入是斜率為3的斜坡信號(hào)，當(dāng)時(shí)間達(dá)到40s的時(shí)候，輸入變?yōu)?20，而這一點(diǎn)正好是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這之前，=，在這點(diǎn)之后，=所以會(huì)呈現(xiàn)如圖所示曲線。當(dāng)δ=12000時(shí)，曲線基本呈線性關(guān)系，且其輸出很小，當(dāng)t=100s時(shí)，因?yàn)棣娜≈递^大，所以前段時(shí)間=。當(dāng)δ=1200000時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出值更小，當(dāng)t=100s時(shí)，同樣，δ取值很大，所以很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)=。所以，在實(shí)際應(yīng)用中δ的取值不能過(guò)大，一般情況下，δ最大不能超過(guò)個(gè)位數(shù)。 對(duì)跟蹤微分器的影響 微分跟蹤器的結(jié)構(gòu)如式22所示: 共含有兩個(gè)參數(shù)R和,其中R0是任意給定的，只要R足夠大就可以。所以主要就是的取值了，下面我們就通過(guò)仿真試驗(yàn)來(lái)找出取值的最佳范圍。 （）通過(guò)查詢有關(guān)資料，在此基礎(chǔ)上，我對(duì)對(duì)跟蹤微分器的影響進(jìn)行研究，、、 ，并輸入帶噪聲的正弦信號(hào)，進(jìn)行仿真，輸出結(jié)果如圖219所示：圖 219 運(yùn)行結(jié)果的輸出比較 通過(guò)圖219我們不難看出，在較小的情況下，、TD的輸出基本相同，能較好的消除噪