決策分析之貝葉斯分析(編輯修改稿)
2025-07-23 10:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ) =[ l(θ,δ(x)) = l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ (1) 據(jù)(1)式，選使r(π，δ)達(dá)到極小，這就是正規(guī)型的貝葉斯分析。 在解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，求使(1)式極小的δ(x)往往十分困難，尤其在狀態(tài)和觀察值比較復(fù)雜時(shí)，Δ集中的策略數(shù)目很大，窮舉所有的δ(x)有困難，且計(jì)算量頗大。實(shí)際上可用下法：二、擴(kuò)展型貝葉斯分析(Extensive Form Analysis)在(1)式中因l(θ,δ)∞，f(x｜θ)，π(θ)均為有限值?！嘤蒄ubini定理，積分次序可換即r(π,δ(x))= l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ = l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθdx (2)顯然，要使(2)式達(dá)到極小，應(yīng)當(dāng)對(duì)每個(gè)x∈X，選擇δ，使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ （2’）為極小∵δ(x)=a ∴若對(duì)給定的x,選a，使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 為極小亦即，使 l(θ,a) f(x |θ)π(θ) dθ =l(,a) π(|x) dθ 或 l(,a)p(|x) (3) 達(dá)極小，即可使(1)式為極小.結(jié)論： 對(duì)每個(gè)x，選擇行動(dòng)a，使之對(duì)給定x時(shí)θ的后驗(yàn)分布π(θ｜x)的期望損失為極小，即可求得貝葉斯規(guī)則。 這種方法叫貝葉斯分析的擴(kuò)展型，由此確定的貝葉斯規(guī)則叫formal Bayesean Rule ——Raiffa Sehlaifer,1961年提出。Note使(3)式達(dá)極小的行動(dòng)可能不只一個(gè)，即可能有多個(gè)貝葉斯規(guī)則；擴(kuò)展型比正規(guī)型更直觀，也容易計(jì)算，故更常用；許多分析人員只承認(rèn)擴(kuò)型，理由是： i，π(θ｜x)描述了試驗(yàn)后的θ的分布，比π(θ)更客觀，因此，只要損失函數(shù)是由效用理論導(dǎo)出的(即考慮了DMer的價(jià)值判斷、風(fēng)險(xiǎn)偏好)，在評(píng)價(jià)行動(dòng)a的優(yōu)劣時(shí)就應(yīng)當(dāng)用后驗(yàn)期望損失。 ii, r(π，δ)是根據(jù)π(θ)求出的，而用先驗(yàn)分布π(θ)來(lái)確定行動(dòng)a并不一定適當(dāng)。 從根本上講，這種觀點(diǎn)是正確的。無(wú)論從何種觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行貝葉斯分析，從理論上講，結(jié)果是一樣的，所以采用何種方法可視具體問(wèn)題，據(jù)計(jì)算方便而定。已經(jīng)證明，形式貝葉斯分析對(duì)一類(lèi)非隨機(jī)性決策規(guī)則是成立的，也可以證明它對(duì)隨機(jī)性決策規(guī)則同樣成立。使所有x上后驗(yàn)期望損失極小的貝葉斯規(guī)則也是隨機(jī)性規(guī)則集Δ*中的Bayes規(guī)則，因此，總可以找到一驗(yàn)期望損失極小的非隨機(jī)性規(guī)則。三、例(先看無(wú)觀察問(wèn)題)農(nóng)民選擇作物問(wèn)題，設(shè)某地旱年占60%，正常年景占40%。 種植耐旱作物種不耐旱作物，后果矩陣為: 20 0 60 100決策人的效用函數(shù) u(y)=(1)解：i令：l(y)=1u(y) ii,作決策樹(shù)：iii, 在無(wú)觀察時(shí), R=l, r= l(,a)π() r(π, )=l(,)π()+l(,)π() = + = r(π, )= l(,)π()+l(,)π() = +0 =風(fēng)險(xiǎn)r小者優(yōu), ∴δ=，是貝葉斯規(guī)則, 。四、例(續(xù)上)，即p(|)= p(|)
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