【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 13． （1）在 △OAB 中， ①點(diǎn) B 在射線(xiàn) OA 上的射影值小于 1 時(shí)，則 △OAB 是銳角三角形； ②點(diǎn) B 在射線(xiàn) OA 上的射影值等于 1 時(shí)，則 △OAB 是直角三角形； ③點(diǎn) B 在射線(xiàn) OA 上的射影值大于 1 時(shí)，則 △OAB 是鈍角三角形； 其中真命題有 ． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③（2）已知：點(diǎn) C 是射線(xiàn) OA 上一點(diǎn)，CA=OA=1，以 O 為圓心，OA 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，點(diǎn) B 是 ⊙O 上任意一點(diǎn)． ①如圖 2，若點(diǎn) B 在射線(xiàn) OA 上的射影值為 12，求證：直線(xiàn) BC 是 ⊙O 的切線(xiàn)． ②如圖 3，已知 D 為線(xiàn)段 BC 的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) D 在射線(xiàn) OA 上的射影值為 x，點(diǎn) D 在射線(xiàn) OB 上的射影值為 y，直接寫(xiě)出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式． 52. 如圖，已知一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) 0,4，且與拋物線(xiàn) y=14x2 交于 A，B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)是 ?2． （1）求這條直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）在 x 軸上是否存在點(diǎn) C，使得 △ABC 是直角三角形?若存在，求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)線(xiàn)段 AB 上一點(diǎn) P，作 PM∥x 軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn) M，點(diǎn) M 在第一象限，點(diǎn) N0,1，當(dāng)點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP 的長(zhǎng)度最大?最大值是多少? 53. 已知：如圖，AB 是半圓 O 的直徑，弦 CD∥AB，動(dòng)點(diǎn) P，Q 分別在線(xiàn)段 OC，CD 上，且 DQ=OP，AP 的延長(zhǎng)線(xiàn)與射線(xiàn) OQ 相交于點(diǎn) E 、與弦 CD 相交于點(diǎn) F（點(diǎn) F 與點(diǎn) C，D 不重合），AB=20，cos∠AOC=45．設(shè) OP=x，△CPF 的面積為 y． （1）求證：AP=OQ；（2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的自變量 x 的取值范圍；（3）當(dāng) △OPE 是直角三角形時(shí)，求線(xiàn)段 OP 的長(zhǎng)． 54. 如圖，拋物線(xiàn) y=?12x2+bx+c 與 x 軸分別相交于點(diǎn) A?2,0，B4,0，與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為點(diǎn) P． （1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn) M，N 從點(diǎn) O 同時(shí)出發(fā)，都以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別在線(xiàn)段 OB，OC 上向點(diǎn) B，C 方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線(xiàn)交 BC 于點(diǎn) F，交拋物線(xiàn)于點(diǎn) H． （i）當(dāng)四邊形 OMHN 為矩形時(shí)，求點(diǎn) H 的坐標(biāo)； （ii）是否存在這樣的點(diǎn) F，使 △PFB 為直角三角形?若存在，求出點(diǎn) F 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 55. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5?cm，∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn) B 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 2?cm 的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) N 從點(diǎn) C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒 3?cm 的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（0≤t≤5），連接 MN． （1）若 BM=BN，求 t 的值；（2）若 △MBN 與 △ABC 相似，求 t 的值；（3）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 ACNM 的面積最小?并求出最小值． 56. 愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”．如圖1，圖2，圖3中，AM，BN 是 △ABC 的中線(xiàn)，AN⊥BN 于點(diǎn) P，像 △ABC 這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè) BC=a，AC=b，AB=c． （1）【特例探究】 如圖 1，當(dāng) tan∠PAB=1，c=42 時(shí)，a= ，b= ； 如圖 2，當(dāng) ∠PAB=30°，c=2 時(shí)，a= ，b= ；（2）【歸納證明】 請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想 a2 、 b2 、 c2 三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖 3 證明你的結(jié)論．（3）【拓展證明】 如圖 4， 平行四邊形 ABCD 中，E 、 F 分別是 AD 、 BC 的三等分點(diǎn)，且 AD=3AE，BC=3BF，連接 AF 、 BE 、 CE，且 BE⊥CE 于 E，AF 與 BE 相交點(diǎn) G，AD=35，AB=3，求 AF 的長(zhǎng)． 57. 在某次海上軍事學(xué)習(xí)期間，我軍為確保 △OBC 海域內(nèi)的安全，特派遣三艘軍艦分別在 O，B，C 處監(jiān)控 △OBC 海域，在雷達(dá)顯示圖上，軍艦 B 在軍艦 O 的正東方向 80 海里處，軍艦 C 在軍艦 B 的正北方向 60 海里處，三艘軍艦上裝載有相同的探測(cè)雷達(dá)，雷達(dá)的有效探測(cè)范圍是半徑為 r 的圓形區(qū)域．（只考慮在海平面上的探測(cè)） （1）若三艘軍艦要對(duì) △OBC 海域進(jìn)行無(wú)盲點(diǎn)監(jiān)控，則雷達(dá)的有效探測(cè)半徑 r 至少為多少海里?（2）現(xiàn)有一艘敵艦 A 從東部接近 △OBC 海域，在某一時(shí)刻軍艦 B 測(cè)得 A 位于北偏東 60° 方向上，同時(shí)軍艦 C 測(cè)得 A 位于南偏東 30° 方向上，求此時(shí)敵艦 A 離 △OBC 海域的最短距離為多少海里?（3）若敵艦 A 沿最短距離的路線(xiàn)以 202 海里 / 小時(shí)的速度靠近 △OBC 海域，我軍軍艦 B 沿北偏東 15° 的方向行進(jìn)攔截，問(wèn) B 軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦 A? 58. 如圖，在坐標(biāo)系 xOy 中，已知 D?5,4，B?3,0，過(guò) D 點(diǎn)分別作 DA，DC 垂直于 x 軸、 y 軸，垂足分別為 A，C 兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn) P 從 O 點(diǎn)出發(fā)，沿 x 軸以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒． （1）當(dāng) t 為何值時(shí)，PC∥DB；（2）當(dāng) t 為何值時(shí)，PC⊥BC；（3）以點(diǎn) P 為圓心，PO 的長(zhǎng)為半徑的 ⊙P 隨點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng) ⊙P 與 △BCD 的邊（或邊所在的直線(xiàn)）相切時(shí)，求 t 的值． 59. 如圖，拋物線(xiàn) y=?12x2+mx+n 與 x 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交 x 軸于點(diǎn) D，已知 A?1,0，C0,2． （1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) P，使 △PCD 是以 CD 為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫(xiě)出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn) E 是線(xiàn)段 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 x 軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn) F，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 CDBF 的面積最大?求出四邊形 CDBF 的最大面積及此時(shí) E 點(diǎn)的坐標(biāo)． 60. 如圖1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片 DOE 的頂點(diǎn) O 與邊 AB 的中點(diǎn)重合，OD 交 BC 于點(diǎn) F，OE 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，且 ∠DOE=∠B． （1）證明 △COF 是等腰三角形，并求出 CF 的長(zhǎng)；（2）將扇形紙片 DOE 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE 與邊 AC 分別交于點(diǎn) M，N（如圖2），當(dāng) CM 的長(zhǎng)是多少時(shí)，△OMN 與 △BCO 相似? 61. 如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1 的網(wǎng)格中，A，B 為小正方形邊的中點(diǎn)，C，D 為格點(diǎn)，E 為 BA，CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)． （1）CD 的長(zhǎng)等于 ；（2）若點(diǎn) N 在線(xiàn)段 BE 上，點(diǎn) M 在線(xiàn)段 CE 上，且滿(mǎn)足 AN=NM=MC，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線(xiàn)段 MN，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn) M，N 的位置是如何找到的（不要求證明）． 62. 如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+2 的圖象與 x 軸相交于點(diǎn) A?1,0，B4,0，與 y 軸相交于點(diǎn) C． （1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn) P 為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ⊥BC，垂足為點(diǎn) Q，連接 PC． ①求線(xiàn)段 PQ 的最大值； ②若以點(diǎn) P，C，Q 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 63. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) y=?2x+10 與 x 軸，y 軸相交于 A，B 兩點(diǎn)．點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 8,4，連接 AC，BC． （1）求過(guò) O，A，C 三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式，并判斷 △ABC 的形狀；（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，沿 OB 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BC 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng) t 為何值時(shí)，PA=QA?（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn) M，使以 A，B，M 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 64. 將矩形紙片 OABC 放在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在 y 軸上，點(diǎn) C 在 x 軸上，點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 8,6，點(diǎn) P 是邊 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將 △OAP 沿 OP 折疊，使點(diǎn) A 落在點(diǎn) Q 處．（1）如圖 ①，當(dāng)點(diǎn) Q 恰好落在 OB 上時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． （2）如圖 ②，當(dāng)點(diǎn) P 是 AB 中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn) OQ 交 BC 于 M 點(diǎn)． （a）求證：MB=MQ；（b）求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)． 65. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，給出如下定義：對(duì)于 ⊙C 及 ⊙C 外一點(diǎn) P，M，N 是 ⊙C 上兩點(diǎn)，當(dāng) ∠MPN 最大時(shí)，稱(chēng) ∠MPN 為點(diǎn) P 關(guān)于 ⊙C 的“視角”．（1）如圖，⊙O 的半徑為 1， ①已知點(diǎn) A0,2，畫(huà)出點(diǎn) A 關(guān)于 ⊙O 的“視角”；若點(diǎn) P 在直線(xiàn) x=2 上，求點(diǎn) P 關(guān)于 ⊙O 的最大“視角”的度數(shù)； ②在第一象限內(nèi)有一點(diǎn) Bm,m，點(diǎn) B 關(guān)于 ⊙O 的“視角”為 60°，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； ③若點(diǎn) P 在直線(xiàn) y=?33x+2 上，且點(diǎn) P 關(guān)于 ⊙O 的“視角”大于 60°，求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) xP 的取值范圍． （2）⊙C 的圓心在 x 軸上，半徑為 1，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 0,1，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 0,?1，若線(xiàn)段 EF 上所有的點(diǎn)關(guān)于 ⊙C 的“視角”都小于 120°，直接寫(xiě)出點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) xC 的取值范圍． 66. 已知拋物線(xiàn)的解析式為 y=14x2?12x+14，P 是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，R1,1 是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)． （1）求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)及與 y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）l 是過(guò)點(diǎn) 0,?1 且平行于 x 軸的直線(xiàn)，l 與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為 N，PM⊥l，垂足為點(diǎn) M，連接 PR，RM． ①當(dāng) △RPM 是等邊三角形時(shí)，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)； ②求證：PR=PM． 67. 如圖（1），在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，點(diǎn) E 是射線(xiàn) CD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把 △BCE 沿 BE 折疊，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 F． （1）若點(diǎn) F 剛好落在線(xiàn)段 AD 的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段 CE 的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn) F 剛好落在線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段 CE 的長(zhǎng)；（3）當(dāng)射線(xiàn) AF 交線(xiàn)段 CD 于點(diǎn) G 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 CG 的最大值 ． 68. （背景）某班在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，對(duì)矩形紙片進(jìn)行折疊實(shí)踐操作，并將其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)探究． （操作）如圖，在矩形 ABCD 中，AD=6，AB=4，點(diǎn) P 是 BC 邊上一點(diǎn)，現(xiàn)將 △APB 沿 AP 對(duì)折，得 △APM，顯然點(diǎn) M 位置隨 P 點(diǎn)位置變化而發(fā)生改變． （問(wèn)題）試求下列幾種情況下：點(diǎn) M 到直線(xiàn) CD 的距離． （1）∠APB=75°；（2）P 與 C 重合；（3）P 是 BC 的中點(diǎn)． 69. 如圖，已知拋物線(xiàn) y=?x2+2x 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O，且與直線(xiàn) y=x?2 交于 B，C 兩點(diǎn)． （1）求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)及點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)；（2）求證：∠ABC=90°；（3）在直線(xiàn) BC 上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) P，使 △PBC 的面積最大?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn) N 為 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) N 作 MN⊥x 軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) M，則是否存在以 O，M，N 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 70. 如圖，已知拋物線(xiàn) y=ax2+bx+ca≠0 經(jīng)過(guò)一點(diǎn) A?3,2，B0,?2，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=52，C0,12 為 y 軸上一點(diǎn)，直線(xiàn) AC 與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn) D． （1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）試在線(xiàn)段 AD 下方的拋物線(xiàn)上求一點(diǎn) E，使得 △ADE 的面積最大，并求出最大面積；（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn) F，使得 △ADF 是直角三角形?如果存在，求出點(diǎn) F 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 71. 如圖，在正方形 ABCD 中，對(duì)角線(xiàn) AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，點(diǎn) E 是 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 DE，交 AC 于點(diǎn) F．（1）如圖①，當(dāng) CEEB=13 時(shí)，求 S△CEFS△CDF 的值； （2）如圖②當(dāng) DE 平分 ∠CDB 時(shí)，求證：AF=2OA； （3）如圖③，當(dāng)點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥BC 于點(diǎn) G，求證：CG=12BG． 72. 如圖，拋物線(xiàn) y=x2+bx+c 與 x 軸交于 A?1,0 和 B3,0 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，對(duì)稱(chēng)軸與 x 軸交于點(diǎn) E，點(diǎn) D 為頂點(diǎn)，連接 BD，CD，BC． （1）求證 △BCD 是直角三角形；（2）點(diǎn) P 為線(xiàn)段 BD 上一點(diǎn)，若 ∠PCO+∠CDB=180°，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（3）點(diǎn) M 為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，作 MN⊥CD，交直線(xiàn) CD 于點(diǎn) N，若 ∠CMN=∠BDE，請(qǐng)直接寫(xiě)