有限元的弱形式(編輯修改稿)
2025-07-22 07:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 上去。當指定位移邊界時，可以描述一個反力（），也就是彈性體可以在固定處保持不變。反力就是我們這里用到的Lagrange乘子，通過添加反力到力作用處的邊界，可以忽略到固定邊界類型。這時候我們可以形成統(tǒng)一的邊界條件：這里R是原始的固定邊界，是需要計算的反力。在前面的簡化形式中，和都是常數(shù)，所以上式可以變化為： 記住，方程中的每一項都是矢量，表示各個方向的面力。為了得到所做的功（能量），必須點乘上位移u。 通過合并一些系數(shù)項，將外力寫成，可簡化表達式，這時邊界條件可以寫成： 對于其他物理場，可能P代表邊界上的源項。 注意到上式和Navier方程非常接近： 將能量泛函展開：關(guān)鍵推導這個時候，我們又要在u上添加上，可得：零階項就是泛函本身，第一階項是：這個方程是非常重要的一項。從前面的討論可知，我們應該重新組合多項式，保證帶有的被積函數(shù)成為一項。如果可以做到，因為是任意的（事實上必須是在容許范圍內(nèi)），我們知道這一項必須為零。這是我們能找到極值點的唯一方法。右邊第一項需要進一步處理得到我們需要的形式。 第一項我們可以根據(jù)Green公式（有時候可能采用的是Stokes原理）進行分部積分：利用c的對稱性，我們可以得到：利用Green公式得到：將體積項和邊界項合并起來：確定極值點，必須有：上式應該對于任何都成立。因此體積項必須有：邊界項上有：現(xiàn)在我們又回到PDE問題上了，這說明泛函的理論解就是PDE方程的解，即通過能量最小化原理又重新推回到了PDE形式上！這也是說明最小能量化和PDE形式本質(zhì)上是統(tǒng)一的一個數(shù)學證明。GJ：要注意的是，實際有限元的求解不是從泛函又導回PDE方程，而是通過網(wǎng)格劃分離散化，得到數(shù)值近似解。而通過建立的泛函求解數(shù)值近似解應該算是比較完備的方法，這里說完備，是和弱形式對比來的，兩者的區(qū)別后面會說。弱形式 GJ：上面是利用能量最小化形式或者變分原理建立的泛函，即PDE的等效積分形式，下面說的是弱形式建立。那么，到底什么是弱形式呢？Navier方程的弱形式實際上已經(jīng)在前面的推導過程中出現(xiàn)過了，即一階變分的原形式：如果我們回到COMSOL Multiphysics的文檔（或者是關(guān)于有限元和弱形式的書籍中），會發(fā)現(xiàn)所謂的試函數(shù)相當于擾動，彈性靜力學PDE方程的弱形式為了更好的理解弱形式，我們必須丟棄前面討論的能量最小化原理，轉(zhuǎn)向一種更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更強大，是因為它還可以應用到一些沒有得到較好的能量定義的問題中。首先我們考慮彈性靜力學的PDE方程邊界條件是：抽象的過程如下：乘上容許范圍內(nèi)的試函數(shù)v，在感興趣的域內(nèi)積分可得：對左側(cè)利用Green公式進行分部積分：應用PDE方程的邊界條件，可以得到：整理可得：這就是PDE方程的弱形式。如果在積分區(qū)域內(nèi)對于試函數(shù)v都是有效的，則上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解稱為強解，而弱形式的解稱為弱解。二者唯一的區(qū)別是弱形式對于積分參數(shù)的連續(xù)性要求比PDE形式低。由于變形梯度和彈性張量在弱形式里面都不需要微分，所以對函數(shù)連續(xù)性要求沒有那么嚴格，而在PDE形式中，所有的變量都處在散度的算子下，這要求這些變量必須是可微的。在弱形式中對于可微的要求放松了（一階）。 同時，注意到弱形式和前面的一階變分形式保持了一致，弱形式也可以作為虛功原理的一種推廣。只是虛功原理中的位移δu換成了更加抽象的試函數(shù)v。如果弱形式解和能量最小化原理不一致的時候，極值點變成了鞍點。也就是，在弱形式中，仍可以將試函數(shù)理解為一種推廣了的虛位移。一般性問題的弱形式正如前面所提到的，弱形式只是PDE方程的一種推廣形式，它對變量的連續(xù)性要求比較低。那么能量方法呢？如果有一個定義好了的能量來最小化，那么能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有適用性：假如PDE方程沒有相對應的能量可以進行最小化。在這種情況下，弱形式仍然是適用的。由于弱形式對解的要求較低，所以說弱形式比PDE和能量最小化適用范圍更廣泛。GJ：弱形式和最小能量形式的區(qū)別就在于虛位移δu與試函數(shù)v的差別，如下面兩式也就是說，泛函求極值即為泛函的變分為0，如上面的式子1，所以泛函的有限元解對任意擾動δu成立，而從式子2可以看到，弱形式的解只是對自己設(shè)定的試函數(shù)v成立。所以泛函求極值得到近似函數(shù)是弱形式的特殊形式，即弱形式的試函數(shù)v可以任意取而求得的近似函數(shù)，所以從這種意義上說泛函形式求得的近似解更完備。但很多情況下無法得到PDE問題的泛函形式（變分原理里提到，只有滿足一定條件的算子才有對應的泛函），而此時PDE的弱形式是始終存在的，所以弱形式比泛函更廣泛。另外還會發(fā)現(xiàn)兩者的一個區(qū)別是泛函的網(wǎng)格離散化不是轉(zhuǎn)化為泛函變分后求解的，而是直接在泛函中帶入帶未知參數(shù)的近似函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值，進而得到未知參數(shù)的方程，求得未知參數(shù)，而弱形式的離散化則是在弱形式下直接離散化。前面提到泛函形式的解相當于對弱形式的任意試函數(shù)成立的解，這個任意性隱藏在了泛函變分里。下面給出一個沒有對應能量最小化的PDE的例子。對流－擴散PDE問題對流－擴散PDE問題沒有與之相對應的可最小化的能量：這里c是擴散系數(shù)，是對流系數(shù)，α是反應/吸收系數(shù)，是源項。變量是標量函數(shù)，代表濃度（在COMSOL Multiphysics手冊中的ConvectionDiffusion模塊中，濃度是用變量c表示，擴散系數(shù)用D表示）。在這里我們考慮Neumann邊界：所有困難將集中在剛度K的提取上，主要是對u和Lagrange乘子的線性表達式的集成。為了得到弱形式，將PDE方程乘以一個試函數(shù)v，積分：這里的試函數(shù)v是一個標量函數(shù)。將第一項分部積分，并將所有的項都移到左邊，可得到：加上邊界條件，得到：這就是對流－擴散PDE方程的弱形式。這個弱形式不能像前面一階變分那樣進行重排。因為他的對流項，使得整個系數(shù)無法重排。具體說來，解函數(shù)u和試函數(shù)v必須在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保
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