【文章內(nèi)容簡介】 可以認為總體相關系數(shù)R=,統(tǒng)計假設為H0：R=H1：R185。此時，ZR==zr==于是，檢驗統(tǒng)計量z=(zrZR) =(+) =當顯著水平α=5%時，查正態(tài)分布表可得，故否定H0，接受H1，即不能認為總體的相關系數(shù)R=。同理，也可以對總體相關系數(shù)進行單邊檢驗。(二)關于總體相關系數(shù)R的區(qū)間估計首先，求出ZR的估計區(qū)間。若與估計保證程度對應的概率度為Z，ZR的估計區(qū)間就為zrZR zr+，ZR的95%置信估計區(qū)間為+ 即 根據(jù)ZR的置信區(qū)間，可以換算出R的置信區(qū)間：當ZR==，R=當ZR==，R=計算結果說明，居民人均收入水平與食品支出占生活費支出比重之間的總體相關系數(shù)R的95%。同理，請讀者自己思考。第二節(jié) 簡單線性回歸分析一、回歸分析的概念和種類從歷史上看，“回歸”概念的提出是要早于“相關”的，生物統(tǒng)計學家高爾頓在研究豌豆和人體的身高遺傳規(guī)律時，首先提出“回歸”的思想。1887年，他第一次將“回復”（Reversion）作為統(tǒng)計概念使用，后改為“回歸”（Regression）一詞。1888年他又引入“相關”（Correlation）的概念。原來，他在研究人類身高的遺傳時發(fā)現(xiàn)，不管祖先的身高是高還是低，成年后代的身高總有向一般人口的平均身高回歸的傾向。通俗的講就是，高個子父母，其子女一般不象他們那樣高，而矮個子父母，其子女一般也不象他們那樣矮，因為子女的身高不僅受到父母的影響（盡管程度最強），還要受其上兩代共四個雙親的影響（盡管程度相對弱一些），上三代共八個雙親的影響（盡管程度更加弱一些），如此等等 ，即子女的身高要受到其2n（n趨近無窮）個祖先的整體（即總體）影響，是遺傳和變異的統(tǒng)一結果?；貧w和相關已成為統(tǒng)計學中最基本的概念之一，其分析方法已是最標準、最常用的統(tǒng)計工具之一。從狹義上看，相關分析的任務主要是評判現(xiàn)象之間的相關程度高低以及相關的方向的，而回歸分析則是在相關分析的基礎上進一步借用數(shù)學方程將那種顯著存在的相關關系表示出來，從而使這種被揭示出的關系具體化并可運用于實踐中去。但也常從廣義的角度去理解相關和回歸，此時回歸分析就包含著相關分析?；貧w分析最基本的分類就是一元回歸和多元回歸，前者是指兩個變量之間的回歸分析，如收入與意愿支出之間的關系；后者則是指三個或三個以上變量之間的關系，如消費支出與收入及商品價格之間的關系等。進一步，一元回歸還可細分為線性回歸和非線性回歸兩種，前者是指兩個相關變量之間的關系可以通過數(shù)學中的線性組合來描述，后者則沒有這種特征，即兩個相關變量之間的關系不能通過數(shù)學中的線性組合來描述，而表現(xiàn)為某種曲線模型。二、簡單線性回歸方程總體的簡單線性回歸模型可表示為Y=A+BX+e （）上式中，X稱為自變量，Y稱為因變量，e稱為隨機誤差值。從這里可以看出相關分析與回歸分析的顯著區(qū)別，在前述的相關分析中通?？梢詫⒆兞縓和Y視作是某種“對等”的因素，而在這里的回歸分析中，它們卻是不“對等”的。自變量是解釋變量或預測變量，并假定它是可以控制的無測量誤差的非隨機變量；相反，因變量是被解釋變量或被預測變量，它是隨機變量，即相同的Y可能是由于不同的X所造成，或者相同的X可能引起不同的Y，其表現(xiàn)正是隨機誤差項e。隨機誤差值e是觀察值Y能被自變量X解釋后所剩下的值，故又稱為殘差值，它是隨機變量。A和B為未知待估的總體參數(shù)，又稱其為回歸系數(shù)。由此可見，實際觀測值Y被分割為兩個部分：一是可解釋的肯定項A+BX，二是不可解釋的隨機項e。與相關分析類似，總體的回歸模型Y=A+BX+e是未知的，如何根據(jù)樣本資料去估計它就成為回歸分析的基本任務。由此可以假設樣本的回歸方程如下： （）上式中，、和分別為Y、A和B的估計值。如果對變量X和Y聯(lián)合進行n次觀察，就可以獲得一個樣本（x，y)，據(jù)此就可求出、的值。求、的方法有多種，但一般是采用最小平方法。它要求觀察值y與估計值的離差平方和達到最小值，即=最小值滿足這一要求的和可由下述標準方程求出 Σy=n+Σx Σxy=Σx+Σx2解方程得： （） （） 為研究某類企業(yè)的生產(chǎn)量和單位成本之間的關系，現(xiàn)隨機抽取10個企業(yè)，得如下數(shù)據(jù)（見表97）：根據(jù)該資料，經(jīng)計算可得表98：表97 10個企業(yè)的生產(chǎn)量和單位成本情況編號12345678910產(chǎn)量(萬件)2344566789單位成本(元/件)52545248484645444038表98 一元線性回歸計算表編號產(chǎn)量(萬件)x單位成本(元/件)yx2y2xyy125242704104235492916162345216270420844481623041925548252304240664636211627676453620252708744491936308984064160032010938811444342合計544673362205324224670由上表資料，可得： = = 這樣就可以得到生產(chǎn)量(x)和單位成本(y)之間的樣本回歸方程=在簡單線性回歸方程中，為截距, 為斜率，后者表示自變量x變化一個單位時，將平均變化個單位。當取正值時，表明x和y的變化方向相同，當取負值時，表明x和y的變化方向相反。本例中，=，表明產(chǎn)量每增加1萬件時。根據(jù)樣本資料獲得的回歸方程又稱為經(jīng)驗方程，如果計算出觀察值y的估計值，并進一步求出殘差y，就可以觀察回歸方程對總體方程擬合的優(yōu)良程度。對于某一特定的自變量x而言，觀察值y同其估計值是有一定差別的，比如，當產(chǎn)量為5萬件時，實際單位成本為48元，，但全部殘差項之和等于零(見表98)，這說明估計值平均來說是無偏的。事實上，最小平方估計量還滿足下式Σ(y)=0 即 這里，表示估計值的平均值，即從理論上講，最小平方法具有優(yōu)良特性，因為參數(shù)A、B 的最小平方估計量、是最優(yōu)的線性無偏估計量，這一性質(zhì)通常稱為“高斯—馬爾科夫定理”，這也是最小平方法獲得廣泛應用的主要原因。此外，如果記隨機誤差項e的方差為σ2,它也是未知的總體參數(shù)，其無偏估計量為 （）上式中，稱為剩余離差平方和或殘差平方和，n2為自由度。三、離差分析對于某一個觀察值，其離差大小可通過觀察值與全部觀察值的均值之差表示出來，又可進一步分解為和兩部分，即=()+()可以證明，當變量X和Y之間線性相關時，還進一步存在下述等式關系S()2=S()2+S()2通常記T=S()2R=S()2 分別稱T、R和為總離差平方和、回歸離差平方和和剩