【文章內(nèi)容簡介】 st用于繪制開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。g=tf(10,conv([1,1],[,1]))Transfer function： 10 s^2 + s + 1Nyquist(g)53 已知０型系統(tǒng)、Ｉ型系統(tǒng)和II型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為、試?yán)L制它們對應(yīng)的奈氏圖。解 ０型系統(tǒng)的頻率特性為式中：。分別取，計(jì)算出不同值時的和，可得圖515所示的奈氏圖。根據(jù)第三章勞斯判據(jù)可知，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，表現(xiàn)在奈氏圖上是極坐標(biāo)圖不包圍（－1，j0），這與后面將介紹的奈氏穩(wěn)定判據(jù)是一致的。I型系統(tǒng)的頻率特性為Real AxisNyquist Diagrams321012345678910864202468K=5 K=10 圖54 K＝10時的奈氏圖Imaginary Ax式中：。將上式改寫為由上式可知，當(dāng)時，即；當(dāng)時，據(jù)此可得圖55所示的奈氏圖。Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為式中：。將上式改寫為由上式可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，與正虛軸相切，據(jù)此可得圖56所示的奈氏圖。由于采用了MATLAB方法，對于I、II型系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)處的極坐標(biāo)無法在圖中標(biāo)明，但從圖中可以看到，當(dāng)頻率接近零時，對于I型系統(tǒng)，極坐標(biāo)曲線漸近于平行于虛軸的10線，而對于II型系統(tǒng)則無此性質(zhì)，這一點(diǎn)可將幅值頻率特性寫成實(shí)頻、虛頻形式得到驗(yàn)證。圖56 II型系統(tǒng)的奈氏圖圖55 I型系統(tǒng)的奈氏圖54 已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。解 1）系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為由此可知，該系統(tǒng)是由比例、積分、微分和慣性環(huán)節(jié)所組成。它的對數(shù)幅頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率分別為2和10。3）作出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線。在低頻段，則漸近線的斜率為。在處，其幅值為；當(dāng)時，由于慣性環(huán)節(jié)對信號幅值的衰減任用，使分段直線的斜率由變?yōu)?；同理，?dāng)時，由于微分環(huán)節(jié)對信號幅值的提升任用，使分段直線的斜率上升，即由變?yōu)椤?）對幅頻特性曲線進(jìn)行修正。5）作系統(tǒng)相頻特性曲線，先求，然后疊加。圖57 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)伯德圖如圖57所示。用MATLAB語句繪制Bode圖的程序?yàn)? exe5_4function exe5_4G=tf(10*[,1],conv([1,0],[,1]))；%得到傳遞函數(shù)[x0,y0,w]=bode(G)；%由Bode函數(shù)獲取幅值和相角[x,y]=bode_asymp(G,w)；%得到轉(zhuǎn)折頻率subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)；%畫幅頻曲線和漸近線subplot(212),semilogx(w,y0(:))；%現(xiàn)相頻曲線55 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖58試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 當(dāng)由變化時，曲線如圖58所示。、1和2，在s的右半平面上沒有任何極點(diǎn)，即P=0，由圖539可知，奈氏曲線不包圍（1，j0）點(diǎn)，因此N＝0，則Z=N+P=0。所以，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。56　反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖59試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 由于該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，它在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個開環(huán)極點(diǎn)，在s平面上的奈氏軌線如圖59所示。該圖的部分在GH平面上的映射曲線為一半徑為無窮大的半圓，若將它與圖59的奈氏曲線相連接，則有N＝2，而系統(tǒng)的P＝0，因而Z＝2，即閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有2個閉環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面。57　已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析時間常數(shù)和的相對大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并畫出它們所對應(yīng)的奈氏圖。解　由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得根據(jù)以上兩式，在，和三種情況下的曲線如圖543所示。當(dāng)時，曲線不包圍（1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時，曲線通過（1，j0）點(diǎn)，說明閉環(huán)極點(diǎn)位于軸上，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時，曲線以順時針方向包圍（1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)兩周，這意味著有2個閉環(huán)極點(diǎn)位于s右半平面上，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖51058　已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解　該系統(tǒng)是一個非最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為GH平面ImRe圖511 非最小相位系統(tǒng)奈氏圖和慣性環(huán)節(jié)一樣，它的奈氏圖也是一個圓，如圖544所示。由于系統(tǒng)的P＝1，當(dāng)由變化時，曲線如果以逆時針方向圍繞（1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，即N＝1，則Z＝1－1＝0，表示閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖511可見，僅當(dāng)K＞1時映射曲線才會對（1，j0）點(diǎn)產(chǎn)生圍繞，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是K＞1。59　設(shè)一時滯控制系統(tǒng)如圖512所示。已知圖中的，試分析滯后時間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解　系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖512 時滯控制系統(tǒng)（514）圖513圖513給出了值為0、4時的式（514）的奈氏曲線。由圖可見，當(dāng)滯后時間時，系統(tǒng)相當(dāng)于無時滯環(huán)節(jié)，不包圍（1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時，剛好經(jīng)過（1，j0），系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)時，包圍（1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢姡瑫r滯時間的增大，對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是極為不利的。510 已知單位負(fù)反饋?zhàn)钚∠辔幌到y(tǒng)A的開環(huán)頻率特性曲線如圖所示，（1）試求系統(tǒng)A的開環(huán)傳遞函數(shù)，并計(jì)算相位裕量；（2）如把曲線1的abc改為ab39。c而成為系統(tǒng)B，試定性比較A與B的性能。（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為由于得 ，所以傳遞函數(shù)為相位裕量：（2）A是Ⅰ型系統(tǒng)，B是Ⅱ型系統(tǒng)，系統(tǒng)B對于階躍輸入和斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為0，可跟隨拋物線函數(shù)輸入，而系統(tǒng)A對于拋物線函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為∞。511 若某二階環(huán)節(jié)的 為正值的幅相特性如圖所示，圖a中A點(diǎn)頻率 ， 時幅相特性的實(shí)部為2a，a為大于零的常數(shù)。求：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）若 ，試求 、 、 。（1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：由圖可知：所以，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：（2）由于 ，則由近似對數(shù)幅頻特性曲線可知：得：得 512 已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：（1）K＝1時系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量，相位裕量。解　1）在處的開環(huán)頻率特性的相角為即 對上式取正切，由三角函數(shù)性質(zhì)得得 則在處的開環(huán)對數(shù)幅值為則 根據(jù)時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可知系統(tǒng)的，從而該題也可用MATLAB直接求解，其結(jié)果見圖515。g=tf(1,conv([1,0],conv([,1],[,1])))Transfer function:1 s^3 + s^2 + smargin(g)圖515可見，兩者結(jié)果完全相同。同樣，也可用[Gm,Pm,Wcg,Wcp]＝margin(g)不作圖而求出增益裕量Gm和相位裕量Wcg。2）由題意得，即。在處的對數(shù)幅值為上式簡化后為得 　　根據(jù)的要求，有即 得 于是 即 得 不難看出。513已知二個控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)I：，系統(tǒng)Ⅱ：試比較兩個系統(tǒng)帶寬的大小，并驗(yàn)證具有較大帶寬的系統(tǒng)比具有較小帶寬的系統(tǒng)響應(yīng)速度快，對輸入信號的跟隨性能好。圖516a 兩系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性圖516b 兩系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線解 圖516a為上述兩系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線，可見，系統(tǒng)I的帶寬為，系統(tǒng)Ⅱ的帶寬為，即系統(tǒng)I的帶寬是系統(tǒng)Ⅱ帶寬的三倍。圖516b給出了兩系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。顯然，系統(tǒng)I較系統(tǒng)Ⅱ具有較快的階躍響應(yīng)，并且前者跟蹤階躍輸入的性能也明顯優(yōu)于后者。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時，應(yīng)注意到較大的帶寬雖然能提高系統(tǒng)響應(yīng)的速度，但也不能過大，否則因其高通濾波的性質(zhì)，降低系統(tǒng)過濾高頻噪聲的能力，因此頻帶寬度的選取應(yīng)互相兼顧。514某一階環(huán)節(jié)的 為正值的幅相特性曲線如圖所示，寫出其傳遞函數(shù)。解：設(shè)一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：則由圖可知：所以，515已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為應(yīng)用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：奈氏曲線順時針包圍點(diǎn) 一周，且 ， ，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。516 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線如下圖所示,要求(1)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,并簡要說明理由。(2)如系統(tǒng)不穩(wěn)定,試求出位于s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。解：（a）Nyquist曲線逆時針包圍（1，0j）2次,N=2,P=2,z=N+P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定；（b）Nyquist曲線逆時針包圍（1，0j）0次，N=0,P=0,z=N+P=0,系統(tǒng)穩(wěn)定；(c) Nyquist曲線逆時針包圍(1，0j) 0次, N=0，P=2,z=N+P=2,系統(tǒng)不穩(wěn)定；有2個s右半平面的根。(d) Nyquist曲線順時針包圍（1，0j）2次,N=2,P=0,z=N+P=2,系統(tǒng)不穩(wěn)定；有2個s右半平面的根。517單位反饋系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性如右圖,試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)F（s）。 解：由Bode圖可知： 由w=(w)=0dB,即 得K=。結(jié)果閉環(huán)傳遞函數(shù)為518單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試求閉環(huán)頻率特性指標(biāo)Mr和wr 。解：由 得wn=30,z=；由 =, Mr= = 519系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，要求（1）繪制系統(tǒng)Nyquist曲線；（2）從圖中求出系統(tǒng)相角裕量g和幅值裕量Kg；（3）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；（4）使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù)K的范圍。解：將G(jw)H((jw)改寫為實(shí)部和虛部表達(dá)： G(jw)H((jw) （一）繪制Nyqusit曲線 (1) w=0，在負(fù)虛軸方向，；(2) w=+165。,從270o方向趨于坐標(biāo)原點(diǎn)；(3)與實(shí)軸交點(diǎn)：由虛部為0，得w=，代入實(shí)部表達(dá)式，得與實(shí)軸交點(diǎn)：；(4)列表計(jì)算幾個普通頻率點(diǎn)：(5)繪制Nyqusit曲線。（二）從圖中可得：187。g40o；Kg=2（三）是最小相位系統(tǒng)，g0,或Kg=21 ，系統(tǒng)穩(wěn)定；（四）此時開環(huán)放大系數(shù)K=，達(dá)到臨界穩(wěn)定需增加2倍，即穩(wěn)定范圍為0K3?；驈膭谒古袚?jù)，得0K16，即，K的穩(wěn)定范圍為0K3。 520系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求（1）繪制系統(tǒng)K=10時的Bode圖；（2）從圖中求出系統(tǒng)的相角裕量g、幅值裕量Kg（dB）和幅值穿越頻率wc。（3）為使Kg(dB)=20dB,K應(yīng)為多大？（4）為使g=30o， K應(yīng)為多大？解：將開環(huán)頻率特