概率論與數(shù)理統(tǒng)計總結(jié)(同名22548)(編輯修改稿)
2025-07-21 15:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，若存在非負可積函數(shù)p（x），對任意實數(shù)x，有，則稱為連續(xù)型隨機變量。p（x）稱為的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。密度函數(shù)p（x）具有下面2個基本性質(zhì)：（1） 非負性:。（2） 正則性：。離散分布：分布在離散場合可以是分布列或分布函數(shù)；連續(xù)分布：分布在連續(xù)場合可以是密度函數(shù)或分布函數(shù)。存在既非離散又非連續(xù)的分布。設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，則可用F(x)表示下列概率： （1）P(X≤a)= F(a)； （2）P(Xa)= F(a0)； （3）P(Xa)=1P(X≤a) =1F(a)；(4) P(X=a)= P(X≤a) P(Xa)= F(a) F(a0)。(5) P(X≥a)=1 P(Xa)=1 F(a0)。(6) P(|X|a)=P(aXa)= P(Xa) P(X≤a)= F(a0) F(a). 第二節(jié) 隨機變量的數(shù)學期望 數(shù)學期望：設(shè)隨機變量X的分布列p（xi）或用密度函數(shù)p（x）表示，若，則稱E(X)= 為X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，且稱X的數(shù)學期望存在。否則數(shù)學期望不存在。數(shù)學期望是有分布決定的，它是分布的位置特征。如果兩個隨機變量同分布，則其數(shù)學期望（存在的話）是相等的。期望相當于重心。 數(shù)學期望的性質(zhì)：假設(shè)數(shù)學期望存在，（1） X的某一函數(shù)g（X）的數(shù)學期望為（2） 若C為常數(shù)，則E(C)=C（3） 對任意常數(shù)C，有E(CX)=CE(X)（4） 對任意的兩個函數(shù)g1（x）和g2（x），E[g1（x）177。g2（x）] = E[g1（x）]177。E[g2（x）]（5） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（6） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。第三節(jié) 隨機變量的方差與標準差 方差：隨機變量X對其期望E（X）的偏差平方的數(shù)學期望（設(shè)其存在）Var（X）=E[XE(X)]2稱為X的方差，方差的正平方根σ（X）=σX=稱為X的標準差。方差是由分布決定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布就越集中。標準差與方差的功能相似，只是量綱不同。 方差的性質(zhì)：假設(shè)方差存在，（1） Var（X）=E(X2)[E(X)]2（2） 若c是常數(shù)，則Var（c）=0（3） Var（aX+b）= a2Var（X）（4） 若隨機變量X的方差存在，則Var（X）=0的充要條件是X幾乎處處為某個常數(shù)a，即P（X=a）=1（5） 若 X ,Y 相互獨立，則D ( X 177。 Y ) = D ( X ) + D (Y ) 切比雪夫不等式:設(shè)X的數(shù)學期望和方差都存在，則對任意常數(shù)ε0,有,或。切比雪夫不等式給出隨機變量取值的大偏差（指事件{|XE(X)| ≥ε}）發(fā)生的概率的上限，該上限于分布的方差成正比。 隨機變量的標準化：對任意隨機變量X，如果X的數(shù)學期望和方差存在，則稱 為X的標準化隨機變量，此時有E(X*)=0，Var（X*）=1。第四節(jié) 常用離散分布 二項分布：設(shè)隨機變量X的概率分布列為， ，其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。（1） 背景： 重貝努里試驗中成功的次數(shù)服從參數(shù)為，的二項分布。記為，其中p為一次伯努利試驗中成功發(fā)生的概率。（2） n=1時的二項分布B（1，p）稱為二點分布，或01分布，（01）分布是二項分布的特例。當X～B（1，p）時，X可表示一次伯努利試驗中成功的次數(shù)，它只能取0或1。（3） 二項分布B（1，p）的數(shù)學期望和方差分別是：E(X)=np，Var（X）=np（1p）。（4） 若，則Y=nX～B（n，1p），其中Y=nX是n重伯努利試驗中失敗的次數(shù)。 泊松分布：（1） 設(shè)隨機變量的概率分布列為，k=0,1,2，，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為X～P()，其中參數(shù)。（2） 背景：單位時間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上某稀有事件（這里的稀有事件是指不經(jīng)常發(fā)生的事件）發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布P()，其中為該稀有事件發(fā)生的強度。（3） 泊松分布P()的數(shù)學期望和方差分別是：E(X)= ,Var（X）=。（4） 二項分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利試驗中，記事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為pn（與試驗次數(shù)n有關(guān)），如果當n+∞時，有npn，則。 超幾何分布（1） 若X的概率分布列為，k=0,1，，r。則稱X服從超幾何分布，記為X～h（n，N,M）,其中r=min{M，n}，且M≤N，n≤N。n，N,M均為正整數(shù)。（2） 背景：設(shè)有N個產(chǎn)品，其中有M個不合格品。若從中不放回的隨機抽取n個，則其中含有的不合格品的個數(shù)X服從超幾何分布h（n，N,M）。（3） 超幾何分布h（n，N,M）的數(shù)學期望和方差分別是:E（X）=,Var（X）=。（4） 超幾何分布的二項近似：當nN時，超幾何分布h（n，N,M）可用二項分布b（n，M/N）近似，即，其中
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