【文章內容簡介】 ：根據題意，可得利潤的分布律為2000 1000 0 1000 2000 因此，（元）。18解， 。（本題積分利用了，這個結果可以從標準正態(tài)分布密度函數中得到）19，解：， ，所以。本題利用了冪級數求和中先積分再求導的方法。設，則，所以。類似的，設，則經過兩次積分以后可得到，在經過兩次求導得到。20，解：（1）當時。（2）當時，即不存在。（3），當時，所以。（4）當時，所以不存在。21，解：（1）根據14題中結果，得到；因為， ，所以， 。（2）根據16題結果可得：；因為 ，所以，。（3）在第2章14題中，由以下結果YX0120121得到，，，所以，；，,.22，解：根據題意有 。 。23，解：（1）因為相互獨立，所以 。（2）根據題意，可得。 。24，解：因為 ，，所以，即，驗證了X,Y不相關。又因為，；，顯然，所以驗證了X,Y不是相互獨立的。25，解：引入隨機變量定義如下則總的配對數，而且因為，所以。故所以。第4章 正態(tài)分布1，（1）設，求，；（2）設，且，求。解：（1），（2），所以；，所以，即。2，設，求。解：因為，所以。3，（1）設，試確定，使得。（2）設，試確定，使得。解：（1）因為所以得到,即。（2）因為，所以，即，從而。4，已知美國新生兒的體重（以g計）。（1） 求；（2） 在新生兒中獨立地選25個，以Y表示25個新生兒的體重小于2719的個數，求。解：根據題意可得。（1） （） （2），根據題意，所以。5，設洗衣機的壽命（以年計），一洗衣機已使用了5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解：所要求的概率為6，一電路要求裝兩只設計值為12歐的電阻器，而實際上裝的電阻器的電阻值（以歐計）。求（1）；（2）（設兩電阻器的電阻值相互獨立）解：設兩個電阻器的電阻值分別記為隨機變量則，（1） ；（2） 。7，一工廠生產的某種元件的壽命（以小時計）服從均值，均方差為的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解：根據題意。所以有，即，從而。8，將一溫度調節(jié)器放置在儲存著某種液體的容器內，調節(jié)器整定在，液體的溫度（以計）是一個隨機變量，且，（1） 若，求小于89的概率；（2） ，問至少為多少？解：因為，所以。（1）；（2）若要求，那么就有，即或者，從而，最后得到。9，設相互獨立，且服從數學期望為150，方差為9的正態(tài)分布，服從數學期望為100，方差為16的正態(tài)分布。（1） 求，的分布；（2） 求。解：根據題意。（1） 根據正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書101頁定理2）的性質，立刻得到， ， （2） 因為 ，所以 。因此， 10，（1）某工廠生產螺栓和墊圈。螺栓直徑（以mm計），墊圈直徑（以mm計），相互獨立。隨機地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。（2）在（1）中若。解：（1）根據題意可得。螺栓能裝入墊圈的概率為。（2），所以若要控制，即要求，計算可得。11,設某地區(qū)女子的身高（以m計），男子身高（以m計）。設各人身高相互獨立。（1）在這一地區(qū)隨機選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在這一地區(qū)隨機選5名女子，；（3）在這一地區(qū)隨機選50名女子。解：（1）因為，所以；（2），隨機選擇的5名女子，（3）設這50名女子的身高分別記為隨機變量。則，12，（1）設隨機變量，已知，求和；（2）相互獨立且都服從標準正態(tài)分布，求。解：（1）由，得到；，得到；聯(lián)立和，計算得到。（2）由相互獨立且都服從標準正態(tài)分布，得到。故所以13，一食品廠用紙質容器灌裝飲料，容器的重量為30g，灌裝時將容器放在臺秤上，將飲料注入直到秤上刻度指到時結束。以記容器中飲料的重量。設臺秤的誤差為，以g計。（此處約定臺秤顯示值大于真值時誤差為正）（1）寫出的關系式；（2）求的分布；（3）。解：（1）根據題意有關系式或者；（2）因為，所以；（3）要使得，即要，所以要求，即。所以。14,在上題中若容器的重量也是一個隨機變量，設相互獨立。（1）求的分布；（2）。解：（1）此時，根據，可得。（2），可得 ，即 。15，某種電子元件的壽命（以年計）服從數學期望為2的指數分布，各元件的壽命相互獨立。隨機取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設這100只元件的壽命分別記為隨機變量。則。根據獨立同分布的中心極限定理可得16，以記100袋額定重量為25（kg）的袋裝肥料的真實的凈重，服從同一分布，且相互獨立。，求的近似值。解：根據題意可得。由獨立同分布的中心極限定理可得 17，有400個數據相加，在相加之前，每個數據被舍入到最接近它的數，其末位為107。設舍入誤差相互獨立，且在區(qū)間服從均勻分布。求誤差總和的絕對值小于的概率。（）解：以記這400個數據的舍入誤差。則。利用獨立同分布的中心極限定理可得 18，據調查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的電話機，（1）若在該地區(qū)安裝1000部電話機，記需要安裝白色電話機的部數為，求，；（2）問至少需要安裝多少部電話。解：（1）根據題意，且。由De MoivreLaplace定理，計算得 ；；。（2）設要安裝部電話。則要使得就要求，即，從而，解出或者（舍去）。所以最少要安裝305部電話。19，一射手射擊一次的得分是一個隨機變量，具有分布律8 9 10 （1） 求獨立射擊10次總得分小于等于96的概率。（2） 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數大于等于6的概率。解：根據題意。（1）以分別記10次射擊的得分，則（2）設在900次射擊中得分為8分的射擊次數為隨機變量，則。由De MoivreLaplace定理，計算得。（第4章習題解答完畢）第5章 樣本及抽樣分布1,設總體X服從均值為1/2的指數分布，是來自總體的容量為4的樣本，求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）；（4），；（5）。解：因為X的概率密度為，所以（1） 聯(lián)合概率密度為，（）（2）的聯(lián)合概率密度為，所以（3） ；（4），（由獨立性）；（5）。2，設總體，是來自的容量為3的樣本，求（1），（2），（3），（4），（5）。解：（1）；（2） （本題與答案不符）（3）；（4）；；（5）因為，所以。3，設總體，是來自的容量為3的樣本，求（1）；（2）。解：（1）因為相互獨立，所以；（2）。4，（1）設總體，是來自的容量為36的樣本，求；（2）設總體，是來自的容量為5的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率。解：（1）根據題意得，所以 ；（2） 因為， 所以。5。解：設容量分別為10和15的兩獨立樣本的樣本均值分別記為和，則，所以， 。6，下面給出了50個學生概率論課程的一次考試成績，試求樣本均值和樣本方差，樣本標準差，并作出頻率直方圖（將區(qū)間（，）分為7等份）。解：易得，，處理數據得到以下表格組 限頻數頻率~2~3~6~14~11~12~2根據以上數據，畫出直方圖（略）7，設總體，是來自的容量為4的樣本，是樣本方差。（1）問，分別服從什么分布，并求。（2）求，解：（1）因為，所以，而根據定理2 ，因為，所以。（2）=（第二步查表）8，已知，求證。證明：因為，所以存在隨機變量使得 ， 也即 ，而根據定義所以，證畢。（第5章習題解答完畢）第6章 參數估計1，設總體未知，是來自 的樣本。求的矩估計量。，，，，，求的矩估計值。解：因為總體，所以總體矩。根據容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應的樣本矩：，得到的矩估計量為。把樣本值代入得到的矩估計值為。2，設總體具有概率密度，參數未知，是來自的樣本，求的矩估計量。解：總體的數學期望為，令可得的矩估計量為。3，設總體參數未知，是來自的樣本，求的矩估計量（對于具體樣本值，若求得的不是整數，則取與最接近的整數作為的估計值）。解：總體的數學期望為 ， 二階原點矩為。令總體矩等于相應的樣本矩：，得到。4，（1）設總體未知，是來自的樣本，是相應的樣本值。求的矩估計量，求的最大似然估計值。（2）元素碳14在半分鐘內放射出到達計數器的粒子數，下面是的一個樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估計值。解：（1）因為總體的數學期望為，所以矩估計量為。似然函數為 ，相應的對數似然函數為 。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。（2）根據（1）中結論，的最大似然估計值為。5，（1）設服從參數為的幾何分布，其分布律為。參數未知。設是一個樣本值，求的最大似然估計值。（2）一個運動員，投籃的命中率為，以表示他投籃直至投中為止所需的次數。他共投籃5次得到的觀察值為5 1 7 4 9求的最大似然估計值。解：（1）似然函數為 ，相應的對數似然函數為 。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為。（2）根據（1）中結論，的最大似然估計值為。6，（1）設總體，參數已知， 未知，是來自一個樣本值。求的最大似然估計值。（2）設總體，參數已知，（0）未知，為一相應的樣本值。求的最大似然估計值。解：（1）似然函數為 ，相應的對數似然函數為 。令對數似然函數對的一階導數為零，得到的最大似然估計值為