概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第七章(編輯修改稿)
2025-07-21 15:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ），（3）都是樣本的線性組合，而且組合系數(shù)之和為1，故它們都是的無偏估計。但（4），（5），（6）一般不是的無偏估計，如，則，而不是0就是1，且 ，故 即 不是的無偏估計。 16．設(shè)是參數(shù)的無偏估計量，且有，試證明不是的無偏估計量。 證 ，即 不是的無偏估計量. 注：該題說明：當(dāng)是未知參數(shù)的無偏估計時，的函數(shù)不一定是的函數(shù)的無偏估計。 17．設(shè)總體，是來自的樣本，試證估計量 ；， .都是的無偏估計，并指出它們中哪一個最有效. 證 故都是的無偏估計. , ， .所以最有效. 18．設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，未知，是取自的樣本。（1）求的矩估計和極大似然估計量；（2）上述兩個估計量是否為無偏估計量，若不是，請修正為無偏估計量；（3）問在（2）中兩個無偏估計量哪一個更有效。 解 （1）先求矩估計 ， ，所以的矩估計為 再求極大似然估計. ，所以的極大似然估計為 （2）可見矩估計是的無偏估計. 為求的數(shù)學(xué)期望，先求的密度. 總體的分布函數(shù)為 的分布函數(shù)為 所以 可見不是的無偏估計，若將修正為，則是的無偏估計。 （3） .故 較有效. 19．設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望已知，試證統(tǒng)計量是總體方差的無偏估計. 證 ， 證畢. 20．設(shè)總體為來自的樣本，試證是的相合（一致）估計. 證 因為相互獨(dú)立，所以也相互獨(dú)立且具有相同的分布，由大數(shù)定理，對任意的有.即 依概率收斂于，而依概率收斂于，由依概率收斂的性質(zhì).又由于（當(dāng)時）而，故依概率收斂于，從而 是的相合估計。 21．設(shè)是來自總體的一個樣本，是的一個估計量，若且試證是的相合（一致）估計量。 證 由切比雪夫不等式，對任意的有 于是 即 依概率收斂于，故是的相合估計。 22．設(shè)是取自均勻分布在上的一個樣本，試證是的相合估計。
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