【文章內(nèi)容簡介】 的基金以4%的速度連續(xù)累積。同時每年以2400元的固定速連續(xù)地從基金中取錢，該基金可以維持多少時間？解： 設(shè)年實利率為i，則i = eδ ? 1設(shè)基金可維持t年，由兩現(xiàn)值相等得40000 = 2400atpi ￢解得t = 28第8 頁：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的現(xiàn)值相等，計算該永久年金的現(xiàn)值。解： 由題意： 11(1+i)6 = 13(1+i)7? i = 211PV = v + 3v2 + + (2n ? 1)vn + = v[1 + PV + 2(v + v2 + )]= v(1 + PV + 2 v1?v )解得:PV = 66￢np + B(Da)n|所代表的年金序列。用這種表達式給出如下25年遞減年金的現(xiàn)值：首次100元，然后每次減少3元。解： 年金序列：A + nB,A + (n ? 1)B, . . . ,A + 2B,A + B所求為25a2￢5p + 3(Da)25|45. 某期末年金（半年一次）為：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年結(jié)算名利率為16％。若記：A = a10p8% ￢ ，試用A表示這個年金的現(xiàn)值。解： 考慮把此年金分割成300元的固定年金和500元的遞減，故有：300a10p8% ￢ + 500(Da)10|8% = 300A +2 (10 ? A)i(2) = 6250 ? 325A46. 年利率8％的十年儲蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年遞增5％。計算第十年底的余額。解： 由題意：AV =1000s5p8% ￢ (1 + 8%)6 + (1000 +1000 + + 1000 )=1000(1 + 8%)5 ? 18% + 1000 1 ? ( )51 ? =47. 已知永久年金的方式為：第6年底各100元；第8年底各200元，第10年底各300元，依此類推。證明其現(xiàn)值為:100v4i ? vd第9 頁解： 把年金分解成：從第5年開始的100元永久年金，從第7年開始的100元永久年金. . .。從而PV =v4 100i1a2pi ￢1i= 100v4 1i11 ? v2 = 100v4i ? vd48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。證明其現(xiàn)值為：1600a168。1￢0p (I(4)a168。)(4)1| 元證： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1,R = 100m2 = 1600從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：1600(I(4)168。a)(4)1| 元再貼現(xiàn)到開始時：1600a168。1￢0p (I(4)a168。)(4)1| 元49. 從現(xiàn)在開始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，計算現(xiàn)值。解： 半年的實利率：j = (1 + 8%)12 ? 1 = %PV = 1 +1 + j+(1 + j)2 + = (1 ? 1 + j)?1= 50. 某人為其子女提供如下的大學(xué)費用：每年的前9個月每月初500元，共計4年。證明當(dāng)前的準備金為：6000a168。￢4p a168。(12)9/12|證： 首先把9個月的支付貼現(xiàn)到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 6000 從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：6000168。a(12)9/12|貼現(xiàn)到當(dāng)前：6000a168。￢4p a168。(12)9/12|第10 頁51. 現(xiàn)有如下的永久年金：第一個k 年每年底還；第二個k 年每年底還2R ；第三個k 年每年底還3R；依此類推。給出現(xiàn)值表達式。解： 把此年金看成從第nk年開始的每年為R的永久年金(n = 0, 1, 2, ):每個年金的值為Ra∞￢p在分散在每個k年的區(qū)段里：Ra∞|ak|再按標準永久年金求現(xiàn)值：R(a∞|)2ak|，20X表示首次付款從第三年底開始的永久年金：1, 2, 3, 的現(xiàn)值。計算貼現(xiàn)率。解： 由題意： ???X = 1i11+i20X = ( 1i + 1i2 ) 1(1+i)2解得：i = 即：d = i1+i = 53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = ，計算現(xiàn)值。與原答案有出入解： (期初年金)PV = 1 + 6v4 + 11v9 + =Σ∞i=1(5n ? 4)v(4n?4) =5(1 ? v4)2? 41 ? v4 = 64(期末年金)P168。V = v + 6v5 + 11v10 + = v PV = 54. 永久連續(xù)年金的年金函數(shù)為:(1 + k)t，年利率i，如果：0 k i ，計算該年金現(xiàn)值。與原答案有出入解： 由于0 k i，故下列廣義積分收斂：PV =∫ ∞0(1 + k)te?δtdt =∫ ∞0(1 + k1 + i)tdt =1ln(1 + i) ? ln(1 + k)第11 頁 55. 遞延一年的13年連續(xù)年金的年金函數(shù)為t2 ? 1 ，利息力為(1 + t)?1，計算該年金現(xiàn)值。與原答案有出入解：PV = exp(?∫ 1011 + tdt)∫ 141(t2 ? 1) exp(?∫ t?1011 + sds)dt = 56. 給出下列符號的表達式:Σnt=1(Ia)t| 和Σnt=1(Da)t|解： 由(Ia)t|表達式有：Σnt=1(Ia)t| =Σnt=1a168。￢tp ? tvti=1iΣnt=1a168。￢tp ? 1iΣt=1ntvt=1i2Σnt=1[(1 + i) ? vt?1] ? 1i(Ia)n| 展開求和即得=1i2 [n(1 + i) ? 2a168。￢np + nvn]由(Da)t|表達式有：Σnt=1(Da)t| =Σnt=1t ? a￢tpi=1iΣnt=1t ?Σt=1n1 ? vti=1in(n + 1)2? 1i2 (n ? a￢np )=i2n(n + 1) ? n + a￢npi257. 現(xiàn)有兩種永久年金：A－金額為p的固定期末年金；B－金額為q, 2q, 3q, 的遞增期末年金。分別對兩種年金的現(xiàn)值之差為0和得到極大兩種情況計算年利率。第12 頁解： 年金現(xiàn)值分別為：PVA = pa∞pi ￢ =piPVB = q(Ia)∞| =qi+qi2(1)當(dāng)PVA = PVB時有：ip = iq + q解得：???i = qp?q , p qi不存在, p ≤ q(2)令f(i) = pi? qi? qi2f0(i) = ? pi2 +qi2 + 2qi3 = 0解得：i = 2qp?q p q58. 某零件的使用壽命為9年，單位售價為2元；另一種產(chǎn)品，使用壽命15年，單價增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期間兩種產(chǎn)品的價格均以年增4%的幅度增加，要使兩種產(chǎn)品無差異的X為多少？(缺少利率?下面的計算年利率i = 5%)(與原答案有出入)解： 用9年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為：PV1 = 2 [1 + ()9 + ()18 + ()27]用15年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為：PV2 = (2 + X) [1 + ()15 + ()30]由PV1 = PV2有：X = 59. 計算m + n年的標準期末年金的終值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，smp7% ￢ = 34, snp11% ￢ = 128。解： 由s￢np 的表達式有：(1 + )n = % ￢ + 1AV = smp7% ￢ (1 + )n + snp11% ￢= smp7% ￢ (% ￢ + 1) + snp11% ￢= 第13 頁60. 甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，兩種股票都是每股10元。A股票每，共計10年，在第10次分紅后，甲以每股2元的價格將所有的股票出售，假設(shè)甲以年利率6%將紅利收入和股票出售的收入進行投資。B股票在前10年沒有紅利收入，如果乙也是以年利率6%進行投資，并且在n年后出售其股票。為了使甲乙在乙的股票出售時刻的累積收入相同，分別對n = 15, 20兩種情況計算乙的股票出售價格。解： 設(shè)X為買價，有價值方程：% ￢ + 2 = ?10|6% + X(1 + )?(n?10)從而有：X = (% ￢ + 2 ? ?10|6%)(1 + )(n?10)解得：X =??? n = 15 n = 2061. 某獎學(xué)金從1990年元旦開始以十萬元啟動，每年的6月30日和12月31日用半年結(jié)算名利率8%結(jié)算利息。另外，從1991年元旦開始每年初可以固定地收到捐款5000元。(從1991年的7月開始？)每年的7月1日要提供總額為一萬二千元的獎金。計算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余額。解： 由題意：AV = 100000(1+4%)20 +5000s20p4% ￢s2p4% ￢?12000(1+4%)s20p4% ￢s2p4% ￢ = 62. 已知貸款L經(jīng)過N（偶數(shù)）次、每次K元還清，利率i 。如果將還貸款次數(shù)減少一半，記每次的還款為K1，試比較K1與2K 的大小。解： 由題意：K1ampi ￢ = Ka2mpi ￢ ? K1 = K[1 +1(1 + i)m] 2K63. 已知貸款L經(jīng)過N次、每次K元還清，利率i 。如果將每次的還款額增加一倍，比較新的還款次數(shù)與N/2的大小。解： 由題意：2KaMpi ￢ = KaNpi ￢ ? vM =1 + vN2 vN2即：M N/2第14 頁64. 從1990年的元旦開始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，問：什么時刻，余額首次超過一萬元、十萬元。解： 半年實利率：i = (1 + 6%)1/2 ? 1 = % 余額首次超過X的時刻：500168。s2n|i≥ X從而解得：n ≈???8 X = 1000035 X = 10000065. 帳戶A從1985年元旦開始每年初存款1000元，共計10年；帳戶B從1985年元旦開始每年初存款500元；兩帳戶年利率均為5%。問：何時帳戶B的余額首次超過帳戶A。解： 由題意，設(shè)所求時間為n:1000168。a10p5% ￢ ≤ 500168。anp5% ￢解得：n ? 1 ≥ 30故在2015年的元旦B超過A。66. 已知A = sn|i,B = sn+1|i。用A和B給出n和i的表達式。解： 由= (1+i)n?1i得：(1 + i)A = B ? 1從而i = B?A?1A帶入sn|i = A解得：n =ln( A2B2?A?1+1)ln(B?1A ):1)A = anpi ￢ ,B = snpi ￢2)A = anpi ￢ ,B = a2npi ￢3)A = anpi ￢ ,B = s2npi ￢解： 1)Bvn = A ? i = n√BA? 12)ia￢np +a2njanj = 2 ? i = 2A? BA23)v2nB = A + vnA ? i = n√2BA+√A2+4AB? 168. 對于固定的n和L，且L n，證明：L = a￢np 在?1 i 1上有唯一解。第15 頁證： (斯圖姆判別？) 考慮如下現(xiàn)金流：初始時刻投入L,而后的n年每年末得到回報1,從而此投資的內(nèi)部收益率i滿足L = anpi ￢由于現(xiàn)金流只改變一次方向，從而由笛卡兒符號法則有，在?1 i 1,有唯一的內(nèi)部收益率。69. 證明：(Ia)npi + (Da)ni = (n + 1)anpi。 sn+1pi = i(Is)npi + (n + 1)。并給出實際背景解釋。證： 1)實際意義：現(xiàn)金流拆分(n + 1), (n + 1), , (n + 1) ????n, n ? 1, , 11, 2, , n(Ia)npi + (Da)ni =a168。￢np ? nvni+n ? a￢npi=a￢np ( i?dd ) + n(1 ? vn)i= (n + 1)a￢np2)實際意義：終值是本金(n + 1)和利息利滾利i(Is)npi的結(jié)果：i(Is)npi + (n + 1) = isn+1| ? (n + 1)i