241圓的基礎(chǔ)習(xí)題附答案資料(編輯修改稿)
2025-07-21 02:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 S陰影=S扇形OAB﹣S△OAB=﹣=m2．點評：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 8．安定廣場南側(cè)地上有兩個大理石球，喜愛數(shù)學(xué)的小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側(cè)（如圖所示），他量了下兩磚之間的距離剛好是60cm，請你算出這個大理石球的半徑．考點：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．2987714專題：計算題．分析：經(jīng)過圓心O作地面的垂線，垂足為C點，連接AB，交OC于點D，可得出OC與AB垂直，利用垂徑定理得到D為AB的中點，由AB的長求出AD的長，設(shè)圓的半徑為xcm，即OA=OC=xcm，在直角三角形AOD中，OD=OC﹣CD=（x﹣10）cm，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為這個大理石球的半徑．解答：解：過圓心O作地面的垂線OC，交地面于點C，連接AB，與OC交于點D，如圖所示，由AB與地面平行，可得出OC⊥AB，∴D為AB的中點，即AD=BD=AB=30cm，又CD=10cm，設(shè)圓的半徑為xcm，則OA=OC=xcm，∴OD=OC﹣CD=（x﹣10）cm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：OA2=AD2+OD2，即x2=302+（x﹣10）2，整理得：x2=900+x2﹣20x+100，即20x=1000，解得：x=50，則大理石球的半徑為50cm．點評：此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，利用了方程的思想，結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵． 9．（1999?武漢）已知：如圖，OA、OB、OC是⊙O的三條半徑，∠AOC=∠BOC，M、N分別是OA、OB的中點．求證：MC=NC．考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．2987714專題：證明題．分析：根據(jù)圓的性質(zhì)可證OM=ON，又已知∠AOC=∠BOC，OC=OC，根據(jù)SAS可證△MOC≌△ONC，即證MC=NC．解答：證明：∵OA、OB為⊙O的半徑，∴OA=OB，（2分）∵M(jìn)是OA中點，N是OB中點，∴OM=ON，（4分）∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△MOC≌△NOC，（6分）∴MC=NC．（7分）點評：本題考查了圓的性質(zhì)和全等三角形的判定． 10．已知：如圖，∠PAC=30176。，在射線AC上順次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點，又OM⊥AP于M．求OM及EF的長．考點：垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．2987714分析：連接OF，由DB=6cm，求得OD的長，則可求得OA的長，由OM⊥AP，∠PAC=30176。，即可求得OM的長，然后在Rt△OMF中，利用勾股定理即可求得FM的長，又由垂徑定理，即可求得EF的長．解答：解：連接OF，∵DB=6cm，∴OD=3cm，∴AO=AD+OD=2+3=5cm，∵∠PAC=30176。，OM⊥AP，∴在Rt△AOM中，OM=AO=5=cm∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵M(jìn)F==cm∴EF=cm．點評：此題考查了直角三角形中30176。角的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等幾個知識點．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法． 11．（2013?溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．（1）求證：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．考點：圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．2987714分析：（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90176。，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．點評：此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 12．（2013?長寧區(qū)二模）如圖，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90176。，圓心O在△ABC內(nèi)部，且⊙O經(jīng)過B、C兩點，若BC=8，AO=1，求⊙O的半徑．考點：垂徑定理；勾股定理．2987714分析：連結(jié)BO、CO，延長AO交BC于點D，由于△ABC是等腰直角三角形，故∠BAC=90176。，AB=AC，再根據(jù)OB=OC，可知直線OA是線段BC的垂直平分線，故AD⊥BC，且D是BC的中點，在Rt△ABC中根據(jù)AD=BD=BC，可得出BD=AD，再根據(jù)AO=1可求出OD的長，再根據(jù)勾股定理可得出OB的長．解答：解：連結(jié)BO、CO，延長AO交BC于D．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。，∴AB=AC∵O是圓心，∴OB=OC，∴直線OA是線段BC的垂直平分線，∴AD⊥BC，且D是BC的中點，在Rt△ABC中，AD=BD=BC，∵BC=8，∴BD=AD=4，∵AO=1，∴OD=BD﹣AO=3，∵AD⊥BC，∴∠BDO=90176。，∴OB===5．點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵． 13．（2011?潘集區(qū)模擬）如圖，點A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延長線相交于點C，若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點．試判斷AB、AC之間的大小關(guān)系，并給出證明．考點：圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．2987714專題：證明題．分析：連接AD；由圓周角定理可得AD⊥BC，又D是BC的中點，因此AD是BC的垂直平分線，由此可得出AB=AC的結(jié)論．解答：解：AB=AC．證法一：連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC．
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