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正文內(nèi)容

糾錯(cuò)編碼的技術(shù)論文(編輯修改稿)

2024-07-21 00:25 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 或 (32)設(shè)分組碼()中,為了糾正一位錯(cuò)碼,則由式(32)可知需要監(jiān)督位數(shù)。若取,那么碼長。用表示這7個(gè)碼元,用,來表示三個(gè)監(jiān)督關(guān)系式的值,那么的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以規(guī)定如下表31:表31 的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系錯(cuò)碼位置錯(cuò)碼位置 無錯(cuò)由表一可以看出,僅當(dāng)一錯(cuò)碼位置出現(xiàn)在、或時(shí),為1;否則為0。也就是說、和四個(gè)碼元構(gòu)成監(jiān)督關(guān)系式: (33)同理,、和也構(gòu)成監(jiān)督關(guān)系式 : (34)還有、 和構(gòu)成監(jiān)督關(guān)系式 : (35)在發(fā)送端編碼時(shí),信息位、和的值決定于輸入信號(hào),因此它們是隨機(jī)的。而監(jiān)督位、和 應(yīng)根據(jù)信息位的取值按照監(jiān)督關(guān)系來確定,也就是監(jiān)督位應(yīng)使上述的、和的值為0,來表示碼組中沒有錯(cuò)碼,即: (36) 由上式解出的監(jiān)督位為 : (37) 故如給出信息位后,可以根據(jù)式(37) 得出監(jiān)督位,結(jié)果見下表32:表32 信息位對(duì)應(yīng)的監(jiān)督位信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位0000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111當(dāng)接收端收到各個(gè)碼組時(shí),可先按式(33),(34),(35)計(jì)算出,和的值,再根據(jù)它們的值按照表二判斷錯(cuò)碼的具體位置。按照這種方法構(gòu)成的碼稱為漢明碼。其中表二所列的(7,4)漢明碼的最小碼距,由糾檢錯(cuò)編碼定理可知,這種碼能糾正一位錯(cuò)碼或檢測(cè)兩個(gè)錯(cuò)碼。并且漢明碼的編碼效率是。則當(dāng)n很大時(shí),編碼效率接近于1。所以,漢明碼是一種高效碼。 線性分組碼的相關(guān)概念由于線性碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程的碼,式(36)就是這樣一組線性方程,可以將它改寫為: (38) 上述式中的“+”都指的是模二加,其中式(38)還能表示成如下的矩陣相乘形式: 其中:右上標(biāo)“T”表示將矩陣轉(zhuǎn)置。上式中的H稱為監(jiān)督矩陣,只要監(jiān)督矩陣H給定,編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就確定了。且H的行數(shù)就是監(jiān)督位r的數(shù)目。式(37)若變成矩陣的形式則為: = = Q (39)式中Q是一個(gè)階矩陣,式(39)表示只要給定信息位,再用信息位乘以矩陣Q,就可以得到監(jiān)督位。若將矩陣Q的左邊加上階單位方陣就可構(gòu)成新矩陣G (310) 矩陣G稱為生成矩陣,由它可以生成整個(gè)碼組,即 (311) 或 (312) 由此可知,若找到了生成矩陣G ,那么編碼方法就完全確定了。式(312)中的矩陣A是一n列的行矩陣,它的n個(gè)元素就是碼組中的n個(gè)碼元,所以發(fā)送的碼組就是A,因?yàn)榇a組在傳輸過程中可能由于干擾而引入差錯(cuò),故接收端收到的碼組可能和A不同。設(shè)接收到的碼組為矩陣B,它是一n列行矩陣,即: (313) 則發(fā)送碼組與接收碼組的差為 (模二加) 或 (314)上式中的E就是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)碼行矩陣 (315) 其中 當(dāng)ei =0,則表示該位接收碼元無錯(cuò);當(dāng)ei =1,則表示該位接收碼元有錯(cuò)。其中錯(cuò)碼矩陣稱為錯(cuò)誤圖樣。當(dāng)接收碼組有錯(cuò)時(shí),B與監(jiān)督矩陣的轉(zhuǎn)置相乘的積記為S,即: (316)上式中的S稱為校正子。由于,因此校正子S只和E有關(guān)??梢酝ㄟ^S求得E,然后進(jìn)行誤碼糾正。 循環(huán)碼 循環(huán)碼的概念在線性分組碼中,有一種重要的碼稱為循環(huán)碼。它是在嚴(yán)密的代數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上建立起來的。循環(huán)碼的編碼和解碼設(shè)備都不太復(fù)雜,并且檢錯(cuò)(糾錯(cuò))的能力較強(qiáng),這些特點(diǎn)有助于按照所要求的糾錯(cuò)能力系統(tǒng)地構(gòu)造這類碼,并簡化解碼方法。目前,循環(huán)碼在理論上和實(shí)踐上都有了較大的發(fā)展。循環(huán)碼除了具有線性碼的一般性質(zhì)外,還具有循環(huán)性,也就是循環(huán)碼中任何一個(gè)碼組向左或者向右循環(huán)移位仍然是這個(gè)碼組集合里的碼組。即如果是一個(gè)循環(huán)碼組,則、…也是該編碼中的碼組。在代數(shù)編碼理論中,把這種碼組中各碼元看作是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù),即一個(gè)長為n的碼組可以表示成: (317) 這種多項(xiàng)式中,x僅是碼元位置的標(biāo)記。因此我們并不關(guān)心x的取值。這種多項(xiàng)式有時(shí)稱為碼多項(xiàng)式。在整數(shù)運(yùn)算中,有模n運(yùn)算。在模n運(yùn)算下,一整數(shù)m等于其被n除得之余數(shù)。在碼多項(xiàng)式運(yùn)算中也有類似的按模運(yùn)算。若一任意多項(xiàng)式被一n次多項(xiàng)式除,得到商式和一個(gè)次數(shù)小于n的余式,即則寫為 (模) (318)這時(shí),碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算,即只取值0和1。不過注意,在模2運(yùn)算中,用加法代替了減法。在循環(huán)碼中,若是一個(gè)長為n的許用碼組,則在按模運(yùn)算下,亦是一個(gè)許用碼組。 循環(huán)碼的生成矩陣有了生成矩陣G,就可以由 k個(gè)信息位得出整個(gè)碼組,而且生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。由于G是k行n列矩陣,因此,若能找到k個(gè)已知碼組,就能構(gòu)成矩陣G。如前所述,這k個(gè)已知碼組必須是線性不相關(guān)的,否則,給定的信息位與編出的碼組就不是一一對(duì)應(yīng)的。在循環(huán)碼中,一個(gè)(n,k)碼有個(gè)不同碼組。若用表示其中前()位皆為0的碼組,則,,…,都是碼組,而且這k個(gè)碼組是線性無關(guān)的。因此它們可以用來構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣G。在循環(huán)碼中除全0碼組外,再?zèng)]有連續(xù)k位均為0的碼組,即連0的長度最多只能有位。因此必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為0的次多項(xiàng)式,而且,這個(gè)還是這種(n,k)碼中次數(shù)為的唯一的一個(gè)多項(xiàng)式。我們稱這唯一的次多項(xiàng)式為碼的生成多項(xiàng)式。一旦確定了,則整個(gè)(n,k)循環(huán)碼就被確定了。所有碼多項(xiàng)式都可被整除,而且任一次數(shù)不大于的多項(xiàng)式乘都是碼多項(xiàng)式。循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式應(yīng)該是的一個(gè)次因式。選用的生成多項(xiàng)式不同,產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。 循環(huán)碼的編碼方法循環(huán)碼的編碼步驟:,其次數(shù)小于k。用乘,這一運(yùn)算實(shí)際上是把信息碼后附加上個(gè)0。,得到商和余式。 (319)上述三步運(yùn)算,在用硬件實(shí)現(xiàn)時(shí),可以由除法電路來實(shí)現(xiàn)。除法電路的主體由一些移存器和模2加法器組成。用這種方法編出的碼組,前面是原來的k個(gè)信息位,后面是個(gè)監(jiān)督位。 循環(huán)碼的解碼方法循環(huán)碼的解碼:接收端解碼的要求有兩個(gè):檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。達(dá)到檢錯(cuò)目的的解碼原理十分簡單。當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯(cuò)誤時(shí),接收碼組與發(fā)送碼組相同,即,故接收碼組必定能被整除;若碼組在傳輸中發(fā)生錯(cuò)誤,則被除時(shí)可能除不盡而有余項(xiàng)。因此,我們就以余項(xiàng)是否為零來判別碼組中有無錯(cuò)碼。根據(jù)這一原理構(gòu)成的解碼器的核心就是一個(gè)除法電路和緩沖移存器,而且這里的除法電路與發(fā)送端編碼器中的除法電路相同。需要指出,有錯(cuò)碼的接收碼組也有可能被整除,這時(shí)的錯(cuò)碼就不能檢出了。這種錯(cuò)誤稱為不可檢錯(cuò)誤。不可檢錯(cuò)誤中的錯(cuò)碼數(shù)必定超過了這種編碼的檢錯(cuò)能力。在接收端為了能夠糾錯(cuò),要求每個(gè)可糾正的錯(cuò)誤圖樣必須與一個(gè)特定余式有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,這里,錯(cuò)誤圖樣是指錯(cuò)碼矩陣E的各種具體取值的圖樣,余式是指接收碼組被生成多項(xiàng)式除所得的余式。糾錯(cuò)可按下述步驟進(jìn)行:,得出余式;;,便得到已糾正錯(cuò)誤的原發(fā)送碼組。糾錯(cuò)解碼器由一4級(jí)反饋移位寄存器組成的除法電路和一緩沖移位寄存器組成.給定一(n,k)循環(huán)碼組集合,使前個(gè)高階信息數(shù)字全為零,于是得到有個(gè)碼組的集合,然后從這些碼組中刪去這i個(gè)零信息位數(shù)字,最終得到一種新的(,)的線性碼,我們稱這種碼為縮短循環(huán)碼??s短循環(huán)碼與產(chǎn)生該碼的原循環(huán)碼至少具有相同的糾錯(cuò)能力,縮短循環(huán)碼的編碼和譯碼可用原循環(huán)碼使用的電路完成。 循環(huán)冗余校驗(yàn)碼CRC碼 循環(huán)碼特別適合于檢測(cè)錯(cuò)誤,不僅因?yàn)樗泻軓?qiáng)的檢測(cè)能力,而且由于編碼器和錯(cuò)誤檢測(cè)電路都不太復(fù)雜。循環(huán)冗余校驗(yàn)碼又叫CRC碼,是常用的檢測(cè)錯(cuò)誤碼。CRC碼是由兩部分組成,前部分是信息碼,就是需要校驗(yàn)的信息,后部分是校驗(yàn)碼,如果CRC碼共長n個(gè)bit,信息碼長k個(gè)bit,就稱為(n,k)碼。它的編碼規(guī)則是:首先將原信息碼(kbit)左移r位運(yùn)用一個(gè)生成多項(xiàng)式(也可看成二進(jìn)制數(shù))用模2除上面的式子,得到的余數(shù)就是校驗(yàn)碼。非常簡單,要說明的:模2除
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