【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù)。 20. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間（單位：min）服從的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 ，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10min，他就離開。（1）設(shè)某顧客某天去銀行，求他未等到服務(wù)就離開的概率；（2）設(shè)某顧客一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)的概率。解 （1）設(shè)隨機(jī)變量X表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間，依題意X服從的指數(shù)分布，且顧客等待時間超過10min就離開，因此，顧客未等到服務(wù)就離開的概率為；（2）設(shè)Y表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù)，則Y服從的二項分布，所求概率為21. 設(shè)X服從，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解 查正態(tài)分布表可得（1）；（2）；（3）；（4） （5）。22. 設(shè)X服從，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解 當(dāng)時，借助于該性質(zhì)，再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可求得（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。23. 某廠生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布，合格品的規(guī)格規(guī)定為，求該廠滾珠的合格率。解 所求得概率為24. 某人上班所需的時間（單位：min）已知上班時間為8：30，他每天7：50出門，求：（1）某天遲到的概率；（2）一周（以5天計）最多遲到一次的概率。解 （1）由題意知某人路上所花時間超過40分鐘，他就遲到了，因此所求概率為；（2）記Y為5天中某人遲到的次數(shù)，則Y服從的二項分布，5天中最多遲到一次的概率為。習(xí)題五解答1. 二維隨機(jī)變量只能取下列數(shù)組中的值：，且取這些組值的概率依次為，求這二維隨機(jī)變量的分布律。解 由題意可得的聯(lián)合分布律為X\Y01100002002. 一口袋中有四個球，它們依次標(biāo)有數(shù)字。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時，袋中每個球被取到的可能性相同。以X、Y分別記第一、二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的分布律及。解 X可能的取值為，Y可能的取值為，相應(yīng)的，其概率為或?qū)懗蒟\Y12310230。3. 箱子中裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品，每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取2次，定義隨機(jī)變量X、Y如下：X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。分別就下面兩種情況求出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。解 （1）在放回抽樣時，X可能取的值為，Y可能取的值也為，且或?qū)懗? X\Y0101（2）在無放回情形下，X、Y可能取的值也為0或1，但取相應(yīng)值的概率與有放回情形下不一樣，具體為或?qū)懗蒟\Y01014. 對于第1題中的二維隨機(jī)變量的分布，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解 把第1題中的聯(lián)合分布律按行相加得X的邊緣分布律為X102概率按列相加得Y的邊緣分布律為Y01概率5. 對于第3題中的二維隨機(jī)變量的分布律，分別在有放回和無放回兩種情況下，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解 在有放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率在無放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率6. 求在D上服從均勻分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)及分布函數(shù)，其中D為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域。解 。易算得D的面積為，所以的密度函數(shù)y11 0 1 x 的分布函數(shù)當(dāng)或時，； 當(dāng)時, ； 當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，綜合有 7. 對于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。解 X的邊緣密度函數(shù)為= = Y的邊緣密度函數(shù)為 = = 8. 在第3題的兩種情況下，X與Y是否獨立，為什么？解 在有放回情況下，由于，而，即；容易驗證，由獨立性定義知X與Y相互獨立。在無放回情況下，由于，而，易見，所以X與Y不相互獨立。9. 在第6題中，X與Y是否獨立，為什么？解 ，而，易見，所以X與Y不相互獨立。10. 設(shè)X、Y相互獨立且分別具有下列的分布律：X210Y13概率概率寫出表示的分布律的表格。解 由于X與Y相互獨立，因此例如其余的聯(lián)合概率可同樣算得，具體結(jié)果為X\Y1321011. 設(shè)X與Y是相互獨立的隨機(jī)變量，X服從上的均勻分布，Y服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，求的聯(lián)合密度函數(shù)及。解. 由均勻分布的定義知 由指數(shù)分布的定義知 因為X與Y獨立，易得的聯(lián)合密度函數(shù) y x 概率，經(jīng)計算有。 12. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 求：（1）系數(shù)；（2）；（3）證明X與Y相互獨立。解 （1）必須滿足，即，經(jīng)計算得；（2）；（3）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) = 同理可求得Y的邊緣密度函數(shù)為 易見，因此X與Y相互獨立。13. 已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 （1）求常數(shù)；（2）分別求關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；（3）X與Y是否獨立？解 （1）滿足，即解得；（2）X的邊緣密度函數(shù) = Y的邊緣密度函數(shù)為 = （3），而，易見，因此X與Y不相互獨立。14. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為X\Y01012且，（1） 求常數(shù)的值；（2）當(dāng)?。?）中的值時，X與Y是否獨立？為什么？解 （1）必須滿足，即，可推出，另外由條件概率定義及已知的條件得由此解得，結(jié)合可得到，即 （2）當(dāng)時，可求得，易見因此，X與Y不獨立。15. 對于第2題中的二維隨機(jī)變量的分布，求當(dāng)時X的條件分布律。解 易知，因此時X的條件分布律為X|Y=2123概率16. 對于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布，求當(dāng)時Y的條件密度函數(shù)。解 X的邊緣密度函數(shù)為（由第7題所求得） 由條件密度函數(shù)的定義知當(dāng)時Y的條件密度函數(shù)為 = 習(xí)題六解答1. 設(shè)X的分布律為X2024概率求出：以下隨機(jī)變量的分布律。（1）；（2）；（3）。解 由X的分布律可列出下表概率20240246311340416由此表可定出（1）的分布律為0246概率（2）的分布律為3113概率（3）的分布律為0416概率其中。2. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)的泊松分布，記隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量Y的分布律。解 由于X服從參數(shù)的泊松分布，因此而 ；。即Y的分布律為Y01概率3. 設(shè)X的密度函數(shù)為 求以下隨機(jī)變量的密度函數(shù)：（1）；（2）；（3）。解 求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)可通過先求其分布函數(shù)，然后再求密度函數(shù)。如果為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則也