二元二次不定方程解法探討(編輯修改稿)
2025-07-20 08:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 入方程得 解之得原方程的正整數(shù)解為： 四. 求根公式法。求根公式一直以來(lái)是一元二次方程的主要解法，把二元二次轉(zhuǎn)化為已知的一元二次求解，即化未知為已知。例4. 求 的正整數(shù)解.解：把原方程看成的二元二次方程， 因?yàn)?所以只可能取 5,4,3,2,1,0 分別代入方程，求得正整數(shù)解為： 。若一個(gè)不定方程有整數(shù)解，它當(dāng)然就有實(shí)數(shù)解。當(dāng)方程的實(shí)數(shù)解集為有界集時(shí)，就能用這一必要條件確定整數(shù)解的界限，然后逐一檢驗(yàn)以確定全部解。應(yīng)著眼于整數(shù)，利用整數(shù)的各種性質(zhì)產(chǎn)生適用的不等式，進(jìn)行解得估計(jì)。例6. 求不定方程的全部整數(shù)解. 解：假設(shè)方程有整數(shù)解，當(dāng)然就有實(shí)數(shù)解。作為 X 的二次方程其判別式應(yīng)非負(fù)，即 可解得 即 ，將y在這一范圍內(nèi)的整數(shù)逐一代入原方程檢驗(yàn)（可首先檢查上述判別式是否為完全平方數(shù)），從而得出方程的全部整數(shù)解為，例 式求求出所有的整數(shù)解使得 能夠整除,其中. 解：首先估計(jì) 的范圍。令則 ，注意到所以或若則________（1）顯然，若，則，此時(shí)與（1）矛盾，因此,此時(shí) 易知（當(dāng)時(shí)，上式不成立）從而得出 若，則 _____________（2）于是有，否則（2）左邊此時(shí)（2）式為易知，從而得出的方程的整數(shù)解為六、同余法。求的整數(shù)解。解：利用同于，因?yàn)椋粤?，顯然，對(duì)任意整數(shù)都不能被整除，故原方程無(wú)整數(shù)解。七、換元法。求的整數(shù)解。解：令有，因，故，令則，列表如下： K…63036… P…1890918…Q
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