一元二次方程教材分析(編輯修改稿)
2025-07-20 04:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義, 若不符合實(shí)際意義, 則舍去）.八. 適當(dāng)補(bǔ)充一些問(wèn)題（一）目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容, 考慮到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以適當(dāng)擴(kuò)充. 定理的前提條件是: 二次項(xiàng)系數(shù).例13. 根與系數(shù)關(guān)系補(bǔ)充內(nèi)容① 已知xx2是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 則② 已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是 2, 求它的另一個(gè)根 a 和 k 的值③ 已知xx2是方程 的兩個(gè)根, 求下列代數(shù)式的值: 。 。 。 ④ 已知關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 a 和 b, 且有 a2 ab + b2 = 12, 求a的值⑤ 在等腰△ABC中, 三邊分別為a、b、c, 已知 a = 3, 且b和c是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 求△ABC的周長(zhǎng)（二）可化為一元二次方程的簡(jiǎn)單的分式方程例14. 解下列方程:① ② 九. 幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題本章的主要內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、應(yīng)用舉例等, 這些都是重要的基礎(chǔ)知識(shí), 打好基礎(chǔ)很重要, 因此教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生切實(shí)掌握它們. 此外, 本章教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注以下問(wèn)題. （一）教學(xué)中應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題, 加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)建模思想的滲透在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中, 應(yīng)重視相關(guān)內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系, 可以選擇一些適合一元二次方程內(nèi)容而又接近本班學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題, 結(jié)合這些問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)的內(nèi)容. 對(duì)于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一元二次方程的問(wèn)題, 關(guān)鍵是弄清實(shí)際問(wèn)題的背景, 找出實(shí)際問(wèn)題中相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系, 并把這樣的關(guān)系 “翻譯”為一元二次方程. 這里需要指出, 正確地理解實(shí)際問(wèn)題情境是完成這一工作的基礎(chǔ). （二）教學(xué)中應(yīng)結(jié)合一元二次方程的特點(diǎn), 從說(shuō)理的角度討論方程的解法本章所討論的對(duì)象是一元二次方程, 它的特殊性是其未知數(shù)為二次, 這是前所未見(jiàn)的. 將面臨的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)解的老問(wèn)題, 是解決問(wèn)題的基本思路. 正因如此, 將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程, 即“降次”, 成為解一元二次方程的基本策略. 這也是化歸思想在解一元二次方程時(shí)的具體體現(xiàn). 教學(xué)中應(yīng)反復(fù)指出學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)要了解以下兩點(diǎn): 1. 用配方法、因式分解法等解一元二次方程時(shí), 要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃蜗仁狗匠剔D(zhuǎn)化為一元一次方程, 也就是使未知數(shù)從二次變?yōu)橐淮? 一元二次方程的降次變形, 是由一個(gè)二次方程得到兩個(gè)一次方程, 因此一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)根. .2. 配方法是公式法的基礎(chǔ), 通過(guò)配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式, 它省略了具體的配方過(guò)程. 十. 本章滲透的數(shù)學(xué)思想與方法教學(xué)中要讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程, 通過(guò)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng), 逐步認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì), 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法．本章涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法較多, 如化歸思想、建模思想、配方法、換元法、降次法等等.1．化歸思想 解方程中的化歸思想, 即逐步使方程變形為x=a的形式, 是解方程的基本指導(dǎo)思想, 它對(duì)各種方程都適用.2．降次法解二次（高次）方程的主要思想是降次, 配方法可以看作是開(kāi)方降次, 因式分解法可以看作是分解降次, 它們的共同目的是將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程, 進(jìn)而求出方程的根．降次還有著廣泛的應(yīng)用.3．換元法學(xué)生在本章中接觸換元法, 這一方法在后續(xù)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用．用換元法解方程應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察方程的特征, 方程中的未知數(shù)包含在相同的代數(shù)式中可以考慮設(shè)輔助未知數(shù)進(jìn)行“換元”．本章中還有一類(lèi)題目只是把一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)字母而不引進(jìn)輔助未知數(shù), 這是“換元法”思想的靈活運(yùn)用, 這一點(diǎn)應(yīng)適當(dāng)向?qū)W生說(shuō)明.4．配方法和對(duì)稱(chēng)思想配方法是代數(shù)式恒等變形中的一個(gè)重要方法, 學(xué)生已經(jīng)在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)接觸過(guò), 本章應(yīng)用配方法直接解方程, 進(jìn)一步推出求根公式, 更說(shuō)明了其重要作用．配方法還可以靈活使用, 用來(lái)求代數(shù)式的值.補(bǔ)充習(xí)題:（僅供參考）一、選擇題1. 下列說(shuō)法中, 正確命題有（ C ）①一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等②數(shù)據(jù)5，2，7，1，2，4的中位數(shù)是3，眾數(shù)是2③等腰梯形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形④Rt△ABC中，∠C=90176。，兩直角邊a，b分別是方程x2－7x＋7=0的兩個(gè)根，則AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2. 關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、且有，則的值是（ B ）A．1 B．－1 C．1或－1 D． 2 3. 一元二次方程根的情況是（ A ）A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根4. 某商品原售價(jià)289元,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元,設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( A )A. B. C. 289(12x)=256 D. 256(12x)=2895. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（D）A． B． C． D．或6. 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ D ）A．2 C. －1，2 D. －1，37. 一元二次方程的解是（ C ?。〢. B. C. 或 D. 或8. 若一元二次方程式 的兩根為0、2，則之值為何？BA．2 B．5 C．7 D． 89. 如圖(十三)，將長(zhǎng)方形ABCD分割成1個(gè)灰色長(zhǎng)方形與148個(gè)面積相等的小正方形。根據(jù)右圖，若灰色長(zhǎng)方形之長(zhǎng)與寬的比為5：3，則：＝？DA．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：2910．關(guān)于方程式的兩根，下列判斷何者正確？AA．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2C．兩根都小于0 D．兩根都大于211. 已知x=1是方程x2+bx2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ C ） 12. 已知一元二次方程x2－4x+3=0兩根為xx2, 則x1x2=（ B?。?A. 4 B. 3 C. －4 D. －313. 下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（
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