求函數(shù)極限的若干方法畢業(yè)設(shè)計(jì)論文(編輯修改稿)
2025-07-19 14:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 二元函數(shù)極限的定義及相關(guān)定理定義1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的點(diǎn)，的某個(gè)去心領(lǐng)域，如果，使得即滿(mǎn)足不等式，的一切點(diǎn)，都有成立，則稱(chēng)為當(dāng)時(shí)的極限，記作 或,上述極限又稱(chēng)為二重極限． 注：定義中要求任意方式趨于時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于．定義2 二元初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的，由二元函數(shù)極限的定義可知，若為二元初等函數(shù)，是函數(shù)定義域內(nèi)的一點(diǎn)，則．定理7 二元函數(shù)的洛必達(dá)法則若二元函數(shù)滿(mǎn)足：（1）為有限點(diǎn)；（2）；（3），不同時(shí)為零；（4）．則，（條件（2）在時(shí)結(jié)論依然成立．）定理8 二元函數(shù)的兩邊夾定理設(shè)在區(qū)域有意義，是的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，且，若，則．本章給出了一元函數(shù)、二元函數(shù)極限的基本概念以及相關(guān)定理，下一章將重點(diǎn)研究一元函數(shù)、二元函數(shù)極限的若干計(jì)算方法．第2章 函數(shù)極限的計(jì)算方法在這一章里將利用第一章中一元函數(shù)、二元函數(shù)極限的相關(guān)定義及定理，研究一元函數(shù)、二元函數(shù)極限的若干計(jì)算方法與技巧．第1節(jié) 一元函數(shù)極限的計(jì)算方法1．1利用定義求函數(shù)的極限例1 證明：．證 ＞0，＜成立，解得＜，取，于是存在，使得當(dāng)0 ＜＜時(shí),有＜，故． 注：一般的取值要依賴(lài)于，但它不是由唯一確定的．在上例中還可以把取的更小一些，這取決于函數(shù)式放縮的程度．例2 證明：=．解析 這是一個(gè)關(guān)于自變量趨向于無(wú)窮大的函數(shù)極限，先將函數(shù)式適當(dāng)放大，再根據(jù)函數(shù)定義求證函數(shù)極限．證 ，當(dāng)，，有，取，則當(dāng)時(shí)，有，故=．利用定義法求函數(shù)極限時(shí)要注意：（1）在上面的式子中運(yùn)用了適當(dāng)放大的方法，這樣求解比較簡(jiǎn)便． 但要注意這種放大必須要“適度”，這樣才能根據(jù)給定的來(lái)確定，同時(shí)要注意此題中的不一定非要是整數(shù)，只要是正數(shù)即可；（2）函數(shù)在所求點(diǎn)的極限與函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)無(wú)關(guān)，函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律．對(duì)于一般的函數(shù)而言，利用定義法來(lái)求函數(shù)的極限通常比較麻煩，但是，對(duì)于分段函數(shù)間斷點(diǎn)處的極限問(wèn)題最常用的還是定義法． 對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，通常根據(jù)分段函數(shù)極限的定義，先求出函數(shù)在此間斷點(diǎn)處的左右極限，若左右極限相等，則所求函數(shù)極限存在，否則，極限不存在．例3 ，求在時(shí)的極限．解 ，，故 ．例4 討論 ，在點(diǎn)處的極限．解 ===3，，故不存在．對(duì)于未定式的極限問(wèn)題最常用的是洛比達(dá)法則． 1．2用洛比達(dá)法則求未定式極限例5 求極限．解析 當(dāng)時(shí)，分子趨向于0，分母趨向于0，這是一個(gè)型極限，可直接用洛比達(dá)法則．解 由洛比達(dá)法則，=． 注：若使用了洛比達(dá)法則后，分子分母導(dǎo)數(shù)之比依然符合洛比達(dá)法則，則可繼續(xù)使用洛比達(dá)法則，直到求出函數(shù)極限值為止． 例如：．例6 求極限．分析 用恒等變形，這是一個(gè)型的極限，再用洛比達(dá)法則求解． 解．例7 求極限（）．解析 ，對(duì)取對(duì)數(shù)，使函數(shù)變?yōu)榈男问剑缓罄蒙项}的方法求解．解 =，其中 =，故=e=1．在運(yùn)用洛比達(dá)法則時(shí)，應(yīng)該注意以下問(wèn)題：①洛比達(dá)法則中的求導(dǎo)是分別對(duì)分子和分母同時(shí)求
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