求解熱傳導(dǎo)方程的高精度隱式差分格式畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-19 14:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 構(gòu)造熱傳導(dǎo)方程的精度為的絕對穩(wěn)定的隱式差分格式，并討論了穩(wěn)定性，數(shù)值值結(jié)果與經(jīng)典CrankNicholson 格式進(jìn)行比較，數(shù)值結(jié)果表明,該方法是有效求解擴(kuò)散方程的數(shù)值計(jì)算.本文分為三大部分，第一部分簡單介紹熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)典差分格式，第二部分主要介紹熱傳導(dǎo)方程的高精度格式的構(gòu)造和穩(wěn)定性，第三部分給出具體的數(shù)值算例，結(jié)果與CrankNicolson格式，準(zhǔn)確值進(jìn)行比較，最后給出結(jié)論。預(yù)備知識利用下面的各種數(shù)值微分公式得到不同的差分格式 截?cái)嗾`差：一般說來，微分方程的解不會精確地滿足差分方程。將差分方程中的各個項(xiàng)同時用微分方程的解在相應(yīng)點(diǎn)的值代入，利用泰勒展開，就會得到一個誤差項(xiàng)，這個誤差項(xiàng)就是截?cái)嗾`差。相容性：若時間步長以及空間步長同時趨于，截?cái)嗾`差，就說差分格式與微分方程是相容的。一個差分格式與一個微分方程相容，則表明當(dāng)時，差分算子與微分算子對任一光滑函數(shù)的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相應(yīng)的微分方程，而截?cái)嗾`差則是對這一近似程度的一個度量。收斂性：考察差分格式在理論上的準(zhǔn)確解能否任意逼近微分方程的解。如果當(dāng)時間步長以及空間步長趨于時，我們稱差分格式是收斂的，即時間步長以及空間步長趨于時，差分格式的解逼近于微分方程的解。穩(wěn)定性：差分格式的計(jì)算是逐層計(jì)算的，計(jì)算第層上的時，要用到第層上計(jì)算出來的結(jié)果。計(jì)算時的舍入誤差，必然會影響到的值，從而就要分析這種誤差傳播的情況。因此，一個有實(shí)用價值的數(shù)值方法應(yīng)該具有能夠控制這種誤差影響的性能，這就是數(shù)值方法的穩(wěn)定性。精度：如果一個差分格式的截?cái)嗾`差，就說差分格式對時間是階精度的，對空間是階精度的。Lax 等價定理：給定一個適定的線性初值問題以及與其相容的差分式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂性的充分必要條件。定理1（von Neumann條件） 微分方程的差分格式穩(wěn)定的必要條件是當(dāng)，,對所有有 ， 其中為增長因子（或增長矩陣），表示的特征值，為常數(shù)。 定理2 如果差分格式的增長矩陣是正規(guī)矩陣，則 von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。 當(dāng)為實(shí)對稱矩陣，酉矩陣，Hermite矩陣時，von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的充分必要條件。 當(dāng)時，即只有一個元素，則von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的充要條件。定理3 如果存在常數(shù)使得 ， ，則差分格式是穩(wěn)定的。1. 熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)典差分格式考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊界問題：我們可以對用向前差分用二階差商得到差分格式為 ()證：（用taylor展開） 把上述代入差分格式中，得截?cái)嗾`差為： 從上述可知，截?cái)嗾`差為，它對空間方向?yàn)橐浑A截?cái)嗾`差而對時間方向?yàn)槎A截?cái)嗾`差。證：先把差分格式公式()改寫為： 其中利用穩(wěn)定性的Fourier方法，令，并將它代入上式就得到消去共因子有由此得到增長因子因?yàn)閗0,h0且，所以必然左邊成立，則右邊為顯然這個格式是相容的。它在時穩(wěn)定的，因?yàn)榘凑誏ax定理可知；它是條件收斂的（收斂條件）。 隱式差分格式我們可以對用向后差分，用二階差商，得到差分格式為： () 隱式差分格式的截?cái)嗾`差證：（用taylor展開） 把上述代入差分格式中，得截?cái)嗾`差為： 從上述可知，截?cái)嗾`差為，它對時間方向?yàn)橐浑A截?cái)嗾`差，而對空間為二階截?cái)嗾`差。 隱式差分格式的穩(wěn)定性證:先用差分格式（）為： 其中利用穩(wěn)定性的Fourier方法令，并將它代入上式就得到消去公因子有由此得到增長因子顯然這個格式是相容的。它是無條件穩(wěn)定，因?yàn)榘凑誏ax定理可知，該格式收斂的。 、 CrankNicolson格式我們在在前面討論的顯格式和隱格式，即： （） （） 用乘（），用乘（），把其結(jié)果相加就得到一個差分格式 （）其中，我們乘差分格式公式(）為加權(quán)隱式格式。從上述可以看到，當(dāng)時的情況，此時我們把它單獨(dú)寫出 （） 此格式一般稱作CrankNicolson格式。此外我們注意到，當(dāng)時，公式(）為向后差分格式（隱式格式）；當(dāng)時，公式(）為向前差分格式（顯式格式）。 CrankNicolson差分格式的截?cái)嗾`差證：（用taylor展開） 把上述代入差分格式中，得截?cái)嗾`差為： 從上述可知，截?cái)嗾`差為，它對空間方向?yàn)槎A截?cái)嗾`差，而對時間方向?yàn)槎A截?cái)嗾`差，則此隱格式的精度為2。 CrankNicolson差分格式的穩(wěn)定性證：由差分格式公式（）可以寫成如下形式其中消去公因子有由此得到增長因子顯然這個格式是相容的。它是無條件穩(wěn)定，因?yàn)榘凑誏ax定理可知，CrankNicolson差分格式收斂的。2． 高精度格式的構(gòu)造本文熱傳導(dǎo)方程對空間變量應(yīng)用四階緊致格式離散，對時間變量應(yīng)用梯形方法，構(gòu)造擴(kuò)散方程的精度為的絕對穩(wěn)定的隱式差分格式[4]求解常微分方程初值問題 對方程兩邊從到積分，得 ()用左矩形公式計(jì)算上式右側(cè)積分，即并用作為的近似值，得 (）故歐拉法也稱為矩形法。歐拉法形式簡單,
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