【文章內容簡介】 S 。因此，了解有限元結構動力學分析的基本理論對指導模態(tài)分析的研究是很有幫助的。對一個具有連續(xù)質量的結構用有限元法進行模態(tài)分析時，先將該結構離散為有限個單元組成的模型，求出單元剛度矩陣 和單元質量矩陣 ，按照節(jié)點自由度序ek][??eM號對號，對各單元的剛度矩陣和質量矩陣進行組集，得到總剛度矩陣 和總質量矩陣K，對于線性動力系統(tǒng)的小阻尼結構，可以采用復合阻尼 ，得出結構的振動微分??MC方程( 動力方程) ： （）??????????tFqKCqM???湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文12式中， — 加速度向量； — 速度向量； — 節(jié)點位移向量； — 整??q???q???q????tF體載荷向量。因為要對結構進行模態(tài)分析，要求解的是固有頻率和振型參數(shù)固有模態(tài)與外載荷無關，結構阻尼對固有頻率的影響很小，在求結構固有頻率和振型時，可以不考慮阻尼，公式() 可簡化為如下無阻尼自由振動方程∶ （）??????02???qKMωi式中： — 自由振動固有頻率iω特征方程為： （）????02???i展開此行列式，得到一個關于 的 n 次多項式，多項式的根(特征值)即為模型的iω固有頻率，將特征值代入公式()，就可求得特征向量，從而獲得給定頻率下的振型。可以證明，如剛度矩陣 是對稱正定陣，則這些特征值是正實數(shù)，因此，由公式??K()可以決定出彈性體的 n 個固有頻率值。而 n 就是用有限元法求解的節(jié)點位移參數(shù)的總自由度。顯然特征值僅取決于系統(tǒng)本身的剛度，質量等物理參數(shù)。n 個自由度的系統(tǒng)有 n 個固有頻率。湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文133 基于固有頻率變化的橫向裂紋識別研究應用機械振動的模態(tài)理論來識別結構中疲勞裂紋，一直是國內外的研究熱點?？偟膩碚f，識別結構物上是否有裂紋和識別裂紋的位置，目前已提出了許多的方法和理論，但對于裂紋深度的識別，在文獻中卻比較鮮見。本課題基于有限元模態(tài)分析，利用模態(tài)頻率的變化得出裂紋的影響變化規(guī)律，用以識別裂紋的位置與深度，具有一定的參考價值。 裂紋的存在對軸的固有頻率的影響對于一個做自由振動的系統(tǒng)，我們有： （）0??KxM?這里 M 和 K 分別是質量矩陣和剛度矩陣，令 是特征向量， 是相應的特征值，i iλ是相應的自然頻率，則由瑞利商可得：iω （）2iiTiiωxλ?如果令 表示系統(tǒng)剛度矩陣的變化，而 表示相應的特征值的變化，那么有：ΔKiΔ （）????iTiii MxKλ???這里認為軸上出現(xiàn)了裂紋，但并不影響軸的質量，也對軸的質量矩陣不產(chǎn)生影響這里也忽略了特征向量的變化，因為特征向量的變化對特征值的影響非常小。由方程()和()可得： （）iTiiMxKλΔ?又由（）式，可以得到∶ （）iiλ這里特征值 ， 是相對應的特征向量。方程（）兩邊微分可得：2iiωλ?ix （）iiiii dxKdx???湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文14 方程（）兩邊同時左乘 ，則有∶Tjx （）iTjiTjiiTjij MdxλxdKd???對于沒有裂紋出現(xiàn)的系統(tǒng)矩陣 M 和 K，它們都是實對稱矩陣，對于方程（）有： （）xλTjij?當 時，方程（）可變?yōu)椤胕j? （）iTiiTidK （）iTiiMxλ?比較方程() 和() ，我們可以看出，通過兩種不同的途徑所得到的這兩個方程是一致的。這兩個方程都說明了裂紋出現(xiàn)后改變結構的剛度，最終將直接影響到結構的固有頻率。 等截面光軸（懸臂梁）的橫向裂紋研究 有限元分析軟件 ANSYS 簡介ANSYS 軟件是融結構、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。它能與多數(shù) CAD 軟件接口，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，如Pro/Engineer、UG、CATIA、IDEAS、AutoCAD 等，是現(xiàn)代產(chǎn)品設計中的高級 CAE工具之一。ANSYS 軟件主要包括三個部分模塊：前處理模塊，分析計算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供了一個強大的實體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構造有限元模型；分析計算模塊包括結構分析、流體動力學性能分析、電磁場分析、聲場分析、壓力分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；后處理模塊可將計算結果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示等圖形方式顯示出來，也可將計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出 [4]。 ANSYS軟件，其主要的技術特點表現(xiàn)在以下幾個方面：?。籄NSYS 使用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫來存儲模型數(shù)據(jù)及求解結果，實現(xiàn)前后處湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文15理、分析求解及多場分析的數(shù)據(jù)統(tǒng)一。；ANSYS 具備三維建模能力，僅靠 ANSYS 的 GUI 圖形用戶接口)就可建立各種復雜的幾何模型。；ANSYS 提供了數(shù)種求解器，用戶可以根據(jù)分析要求選擇合適的求解器。；ANSYS 具有強大的非線性功能，可進行幾何非線性、材料非線性及狀態(tài)非線性分析。；ANSYS 具有智能網(wǎng)格劃分功能，根據(jù)模型的特點自動生成有限元網(wǎng)格。；ANSYS 的優(yōu)化設計功能，用戶可以確定最優(yōu)設計方案；利用 ANSYS 的拓撲優(yōu)化功能，用戶可以對模型進行外型優(yōu)化，尋求物體對材料的最佳利用。；ANSYS 可以實現(xiàn)多物理場耦合分析，研究各物理場間的相互影響。；ANSYS 提供了與多數(shù) CAD 軟件及有限元分析軟件的接口程序，可實現(xiàn)數(shù)據(jù)共享和交換，如 PRO/ENGINEER，NASTRAN ，ALGORFEM ， IDEAS，AUTOCAD ，SOLIDW ORDS ，PARASOLID 等。；ANSYS 開放式的結構使用戶可以利用 APDL，UIDL 和UPFS 對其進行二次開發(fā)。 MATLAB 簡介MATLAB 是由美國 MathWorks 公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的科學計算語言。MATLAB 是英文 Matrix Laboratory(矩陣實驗室)的縮寫，其集中了日常數(shù)學處理中的各種功能，包括高效的數(shù)值計算、矩陣運算、信號處理和圖形生成等功能，提供了一個人機交互的數(shù)學環(huán)境，其基本的數(shù)據(jù)結構是矩陣?，F(xiàn)在的 MATLAB 程序是 MathWorks 公司用 C 語言開發(fā)的。MATLAB 用戶可以像引用內部函數(shù)一樣對工具箱內 M 文件(MATLAB 程序)進行引用，并且用戶自己開發(fā)的應用程序也可以像引用內部函數(shù)一樣相互調用。在該系統(tǒng)下，可以集成的進行程序設計、數(shù)值計算、圖形繪制、控件設計、輸入輸出控制、文件管理等操作。與 VC, VB或 C 等開發(fā)工具相比，使用 MATLAB 可以大大簡化程序代碼，節(jié)省編程時間，達到湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文16事半功倍的效果。 系統(tǒng)分析模型本課題采用懸臂梁模型對等截面光軸裂紋進行研究。借助懸臂梁模型對軸上裂紋所產(chǎn)生的模態(tài)特性影響進行分析，獲取相關的軸的固有頻率變化規(guī)律，為軸裂紋的識別提供參考。具體的系統(tǒng)分析模型，如圖（）所示；圖（）為裂紋處的橫截面圖。圖 系統(tǒng)分析模型圖 裂紋處橫截面 為保證分析結果的真實性、有效性，系統(tǒng)分析模型所選用的參數(shù)應當保持統(tǒng)一，對應的等截面光軸具體幾何、 材料參數(shù)值如表 所示（系統(tǒng)分析模型的材料屬性為課題研究分析的 EQ1090 曲軸的材料屬性 QT700—2）表 等截面光軸的相關幾何，材料參數(shù)軸的幾何參數(shù)及材料屬性 參數(shù)值總長 L(m) 直徑 D(m) 密度 (kg/m3)?103LaDcrackLOaR湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文17楊氏模量 E（Pa） 103泊松比 ?圖 中，R 為等截面光軸的半徑；La 為裂紋在軸的主干上的位置，為變量；a 為裂紋在軸上對應位置的深度，為變量。對其相關變量的設定如下表 所示：表 等截面光軸的裂紋位置與深度的變量設定 裂紋在軸主干上的位置 La（ m） a(m)在圖（）中所示的系統(tǒng)模型中，外界施加的邊界約束條件為懸臂梁所受到的約束，即在軸的一個底面處施加固定約束，限制該底面上各節(jié)點的三個平動自由度。在研究無裂紋軸的固有頻率之前，首先，建立不同的無裂紋等截面光軸的有限元分析模型進行有限元求解。具體形式如下：；選取梁單元 BEAM3，取最大單元邊界邊長為 ,則有單元節(jié)點數(shù)目為 26，單元數(shù)目為 25，有限元求解得如下結果：=； =； =； =。1f2f3f4f；考慮到單元求解的精度，這里僅選取 SOLID92 與SOLID95 單元分別進行討論；(1) SOLID92 單元，不同網(wǎng)格密度的有限元求解；具體結果如下表 所示：表 SOLID92 單元不同網(wǎng)格密度下的等截面光軸前 4 階固有頻率等截面光軸前 4 階固有頻率（HZ）最大單元邊界長度 網(wǎng)格劃分節(jié)點數(shù)目網(wǎng)格劃分單元數(shù)目 1f2f3f4f 5815 3600 12077 7818 33144 22479 (2) SOLID95 單元，不同網(wǎng)格密度的有限元求解；具體結果如下表 所示：表 SOLID95 單元不同網(wǎng)格密度下的等截面光軸前 4 階固有頻率等截面光軸前 4 階固有頻率（HZ）最大單元邊界長度 網(wǎng)格劃分節(jié)點數(shù)目網(wǎng)格劃分單元數(shù)目 1f2f3f4f 5815 3600 湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文18 12077 7818 33144 22479 。先創(chuàng)建圓面再由三維實體單元進行拉伸 [4]，生成三維實體?？紤]到單元求解的計算精度，這里僅選用 PLANE82 與 SOLID95 單元，以不同的網(wǎng)格密度進行有限元求解。具體結果如下表 所示：表 PLANE82 與 SOLID95 單元不同網(wǎng)格密度的等截面光軸前 4 階固有頻率等截面光軸前 4 階固有頻率（HZ）PLANE82 智能網(wǎng)格劃分取值SOLID95 單元分布輸入值網(wǎng)格劃分節(jié)點數(shù)目網(wǎng)格劃分單元數(shù)目 1f2f3f4f6 10 5275 1140 7 10 1696 330 8 10 1159 220 9 10 1116 210 再引入‘桿的一端插入，另一端自由’ （懸臂梁）的基本振型的理論公式，用以求解系統(tǒng)模型的前 4 階固有頻率理論值。其振動頻率公式為∶ （）42ρALEIπpfii?式中，E—彈性模量（Pa） ；I—抗彎慣性矩（ ） ； —材料密度（kg/ ） ；m?3mA—橫截面面積（ ） ；L—軸的總長度（m） ； —第 階國有頻率（HZ） ；2 if—變量，是理論方程式根對應的數(shù)值，隨階次的不同而改變 ，前 4 階取ip值分別為 ，。則求解得無裂紋等截面光軸的前 4 階固有頻率理論值，如下：=； =； =； =。1f2f3f4f綜合以上求解結果并比較，可以看到，梁單元模型中低階振動固有頻率,其頻率與振型相對于理想值，其計算誤差影響不大；但是，對于高階次的振動,其頻率與振型的計算誤差影響就很明顯 [5]?？墒?，從這之中依然可以看到，ANSYS 求解是具有一定準確性的，通過理論公式計算所求得的理論值是可靠的，可用的。同時，從三維實體的模態(tài)分析中可以看到，空間的實體模型不同于平面的簡化模型。以往在平面簡化模型上求解出的 n 階次固有頻率理論值并不等同于實體模型的 n階次固有頻率，實體模型的 n 階次固有頻率往往是平面簡化模型某階次固有頻率在其對應三維實體上不同平面上的動態(tài)特性的反映，且由于實際的實體模型的運動特性不湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文19同于平面模型的理想的運動特性，是復雜多變的，往往要與某個整體系統(tǒng)的運動特性統(tǒng)一進行考慮。故而，由實體模型得到的結果相對于依照由平面理想經(jīng)驗公式得到的理論值是有所差距的，其實際值也僅是趨近于理論解。為獲取逼近于理論解的無裂紋等截面光軸的實體分析模型，通過實體模型的對比分析，并參照理想經(jīng)驗公式求解的理論值大小。最終，以模型對應參數(shù)為表 第四行的平面自由拉伸成實體的有限元分析模型作為無裂紋等截面光軸的實體分析模型。則其對應的前 4 階的每階次固有頻率振型圖如下圖 ，， 所示：圖 等截面光軸一階固有頻率振型 (Y—Z 平面)湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文20圖 等截面光軸二階固有頻率振型 (X—Z 平面)圖 等截面光軸三階固有頻率振型 (Y—Z 平面)湖 北 汽 車 工 業(yè) 學 院 畢 業(yè) 論 文21 圖 等截面光軸四階固有頻率振型 (X—Z 平面) 裂紋位置與裂紋深度的變化對軸固有頻率的影響