一次函數(shù)經(jīng)典題及答案(編輯修改稿)
2025-07-15 23:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 條射線．畫函數(shù)y=12+5x的圖象如圖11－21所示．（3）當(dāng)x=5時(shí)，y＝15+25=25（萬(wàn)元） ∴5年后的產(chǎn)值是25萬(wàn)元．例7 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖11－22所示，求函數(shù)表達(dá)式．［分析］ 從圖象上可以看出，它與x軸交于點(diǎn)（1，0），與y軸交于點(diǎn)（0，3），代入關(guān)系式中，求出k為即可．解：由圖象可知，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和（0，3）兩點(diǎn)，代入到y(tǒng)=kx+b中，得 ∴ ∴此函數(shù)的表達(dá)式為y=3x3.例8 求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式．［分析］ 圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，再將點(diǎn)（2，1）代入，求出b即可．解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b，∴圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1），∴l(xiāng)=22+b．∴b=5，∴所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；（3）與實(shí)際生活相聯(lián)系，通過(guò)函數(shù)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題．例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數(shù)）成正比例．（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？［分析］ 判斷某函數(shù)是一次函數(shù)，只要符合y=kx+b（k，b中為常數(shù)，且k≠0）即可；判斷某函數(shù)是正比例函數(shù)，只要符合y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)即可．解：（1）y是x的一次函數(shù)．∵y+a與x+b是正比例函數(shù)，∴設(shè)y+a=k(x+b)（k為常數(shù)，且k≠0）整理得y=kx+（kba）．∵k≠0，k，a，b為常數(shù)，∴y=kx+(kba)是一次函數(shù)．（2） 當(dāng)kba=0，即a=kb時(shí)，y是x的正比例函數(shù)．例9 某移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費(fèi)，然后每通話1分，再付電話費(fèi)0．4元；“神州行”使用者不交月租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)0．6元（均指市內(nèi)通話）若1個(gè)月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元．（1）寫出y1，y2與x之間的關(guān)系；（2）一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？（3）某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，則選擇哪種通訊方式較合算？［分析］ 這是一道實(shí)際生活中的應(yīng)用題，解題時(shí)必須對(duì)兩種不同的收費(fèi)方式仔細(xì)分析、比較、計(jì)算，方可得出正確結(jié)論．解：（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整數(shù)） y2=0．6x（其中x≥0，且x是整數(shù)）(2)∵兩種通訊費(fèi)用相同， ∴y1=y2，即50+0．4x=0．6x． ∴x＝250．∴一個(gè)月內(nèi)通話250分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同．（3）當(dāng)y1=200時(shí)，有200=50+0．4x，∴x=375（分）． ∴“全球通”可通話375分．當(dāng)y2=200時(shí)，有200=0．6x， ∴x=333（分）．∴“神州行”可通話333分． ∵375＞333，∴選擇“全球通”較合算．例10 已知y+2與x成正比例，且x=2時(shí)，y=0．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y≥0？（4）若點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上，求m的值；（5）設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且S△ABP=4，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．［分析］ 由已知y+2與x成正比例，可設(shè)y+2=kx，把x=2，y=0代入，可求出k，這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進(jìn)行分析，點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．解：（1）∵y+2與x成正比例，∴設(shè)y+2=kx（k是常數(shù)，且k≠0）∵當(dāng)x=2時(shí)，y=0． ∴0+2＝k（2），∴k＝1．∴函數(shù)關(guān)系式為x+2=x，即y=x2．（2）列表；x02y20描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示．（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x≤2時(shí)，y≥0．∴當(dāng)x≤2時(shí)，y≥0．(4)∵點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上， ∴6=m2, ∴m＝8．（5）函數(shù)y=x2分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，∴A（2，0），B（0，2）．∵S△ABP=|AP||OA|=4， ∴|BP|=.∴點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離為4． 又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2),且P在y軸負(fù)半軸上，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6).例11 已知一次函數(shù)y=（3k）x2k2+18.（1）k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？（2）k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）?（3）k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線y=x？（4）k為何值時(shí)，y隨x的增大而減??？[分析] 函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)某點(diǎn)，說(shuō)明該點(diǎn)坐標(biāo)適合方程；圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸上方，說(shuō)明常數(shù)項(xiàng)b＞O；兩函數(shù)圖象平行，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)相等；y隨x的增大而減小，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)小于0．解：（1）圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它是正比例函數(shù)．∴ ∴k＝2． ∴當(dāng)k=3時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（2）該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）.∴2=2k2+18， 且3k≠0， ∴k=177?！喈?dāng)k=177。時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，2)（3）函數(shù)圖象平行于直線y=x， ∴3k=1， ∴k＝4．∴當(dāng)k＝4時(shí)，它的圖象平行于直線x=x．（4）∵隨x的增大而減小， ∴3k﹤O． ∴k＞3．∴當(dāng)k＞3時(shí)，y隨x的增大而減?。?2 判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，2），C（4，2）是否在同一條直線上．[分析] 由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說(shuō)明在此直線上；若不成立，說(shuō)明不在此直線上．解：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b．由題意可知，∴∴過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x2． ∴當(dāng)x=4時(shí)，y=42=2．∴點(diǎn)C（4，2）在直線y=x2上．∴A（3，1）， B（0，2），C（4，2）在同一條直線上．學(xué)生做一做 判斷三點(diǎn)A（3，5），B（0，1），C（1，3）是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用．例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問(wèn)題：（1）x從0開(kāi)始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到30？這說(shuō)明了什么？（2）直線y=x與y=x+6的位置關(guān)系如何？甲生說(shuō)：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30，說(shuō)明y=6x比y=2x+8的值增長(zhǎng)得快．”乙生說(shuō)：“直線y=x與y=x+6是互相平行的．”你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？［分析］ （1）可先畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＞2時(shí)，6x＞2x+8，所以，y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30．（2）直線y=x與y=x+6中的一次項(xiàng)系數(shù)相同，都是1，故它們是平行的，所以這兩位同學(xué)的說(shuō)法都是正確的．解：這兩位同學(xué)的說(shuō)法都正確．例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說(shuō)：“如果老師買全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠．”乙旅行社說(shuō)：“所有人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠．”已知全票價(jià)為240元．（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；（2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠．［分析］ 先求出甲、乙兩旅行社
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