高中數(shù)學必修二好題解答題精選附答案(編輯修改稿)
2025-07-15 13:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∥面PAD；（Ⅱ）若PD與面GAP所成的角的正弦值為，求四棱錐D﹣PAHG的體積．【解答】（Ⅰ）證明：連接AC，交BD于O，則O為AC的中點，連接OM，∵M為PC的中點，則OM∥PA，∵OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，∵PA?平面GPA，平面GPA∩平面MDB＝GH，∴PA∥GH，而PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥面PAD；（Ⅱ）解：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），設(shè)＝（0，λ，λ），則，＝（0，λ，λ﹣2），設(shè)平面PAG的一個法向量為．由，取z＝1，得．，由PD與面GAP所成的角的正弦值為，得|cos＜＞|＝，解得：或λ＝﹣1（舍）．∴G為DM的中點，則H為OD的中點，此時，PA＝，GH＝＝，．D到平面PCAH的距離d＝＝．由，得cos＜＞＝＝＝．∴sincos＜＞＝．則GH與PA間的距離為h＝．∴四棱錐D﹣PAHG的體積V＝＝．7．如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ADC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90176。，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，（I）證明：平面ABD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直線AD與平面ACE所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取CD的中點M，連接BM，可得四邊形BMDE是正方形．BC2＝BM2+MC2＝2．∵BD2+BC2＝DE2+BE2+BC2＝DC2，∴∠CBD＝90176。，∴BD⊥BC．又AC⊥平面CDE，BD?平面BCDE，∴BD⊥AC，故BD⊥平面ABC．∵BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：過點D作DH⊥CE．∵AC⊥DH，∴DH⊥平面ACE．∴∠DAH即為AD與平面ACE所成的角．AB＝DC＝2．在Rt△DCE中，DE＝1，CD＝2，∴CE＝，∴DH＝＝＝．∵AC＝＝，∴AD＝＝，在Rt△AHD中，sin∠DAH＝＝．8．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD＝λPC．（Ⅰ）求證：平面BDP⊥平面BCP；（Ⅱ）若平面ABP與平面ADP所成銳二面角的余弦值為，求λ的值．【解答】（Ⅰ）證明：∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又∵CD⊥PC，AD∩CD＝D，∴PC⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，設(shè)AB＝AD＝1，則CD＝2，由題意知在梯形ABCD中，有BD＝BC＝，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，又PC∩BC＝C，∴BD⊥平面BCP．∵BD?平面BDP，∴平面BPD⊥平面BCP．（2）解：以點D為原點，DA、DC、DQ為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設(shè)AB＝1，PC＝a，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，2，a），＝（1，0，0），＝（0，2，a），設(shè)＝（x，y，z）為平面ADP的一個法向量，則＝＝0，可得，令z＝﹣2，則y＝a，∴＝（0，a，﹣2）．同理可得平面ABP的一個法向量＝（a，0，1）．∴|cos|＝＝＝，解得：a＝，∴λ＝．9．已知直線2x+y﹣4＝0與圓C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）相交于點M、N，且|OM|＝ON|（O為坐標原點）．（Ⅰ）求圓C的標準方程；（Ⅱ）若A（0，2），點P、Q分別是直線x+y+2＝0和圓C上的動點，求|PA|+|PQ|的最小值及求得最小值時的點P坐標．【解答】解：（Ⅰ）化圓C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）為．則圓心坐標為C（m，），∵|OM|＝|ON|，則原點O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率k＝，∴m＝2或m＝﹣2．∴圓心為C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5或（x+2）2+（y+1）2＝5，由于當圓方程為（x+2）2+（y+1）2＝5時，直線2x+y﹣4＝0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去，∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5；（Ⅱ）點A（0，2）關(guān)于直線x+y+2＝0的對稱點為A′（﹣4，﹣2），則|PA|+|PQ|＝|PA′|+|PQ|≥|A′Q|，又A′到圓上點Q的最短距離為|A′C|﹣r＝﹣＝3﹣＝2．∴|PA|+|PQ|的最小值為2，直線A′C的方程為y＝x，則直線A′C與直線x+y+2＝0的交點P的坐標為（﹣，﹣）．10．已知圓C過點P（2，2），且與圓M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）關(guān)于直線x﹣y+6＝0對稱．（1）求圓C的方程；（2）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于點A和點B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．【解答】（1）解：由題意可得點C和點M（﹣6，6）關(guān)于直線x﹣y+6＝0對稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．設(shè)C（m，n），由且，解得：m＝0，n＝0．故原C的方程為x2+y2＝r2．再把點P（2，2）代入圓C的方程，求得r＝．故圓的方程為：x2+y2＝8；（2）證明：過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，則得直線OP和AB平行，理由如下：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y﹣2＝k（x﹣2），PB：y﹣2＝﹣k（x﹣2）．由，得（1+k2）x2+4k（1﹣k）x+4（1﹣k）2﹣8＝0，∵P的橫坐標x＝2一定是該方程的解，∴，同理，xB＝．由于AB的斜率kAB＝＝＝＝1＝kOP（OP的斜率），∴直線AB和OP一定平行．11．已知圓C的圓心在直線y＝x+1上，半徑為，且圓C經(jīng)過點P（3，6）和點Q（5，6）．①求圓C的方程．②過點（3，0）的直線l截圖所得弦長為2，求直線l的方程．【解答
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