【文章內(nèi)容簡介】 　　.期望的性質　　（1）常數(shù)的期望等于該常數(shù)，即E（C）=C，C為常數(shù)；?。?）常數(shù)與隨機變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變量期望的乘積，即E（CX）=CE（X）；　?。?）隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；綜合性質（2）和（3），則有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2為常數(shù).　　一般地，其中Ci為常數(shù).　?。?）兩個相互獨立的隨機變量的乘積的期望等于隨機變量期望的乘積，即若X,Y為相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y） 方差　　 定義：設隨機變量X，且（XE（X））2的期望存在，則稱E（XE（X））2為隨機變量X 的方差，記為D（X），即D（X）=E（XE（X））2；又稱為隨機變量X的標準差. 若離散型隨機變量X的分布律為P（X=xk）=pk，k＝1，2，…，則　.　若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），則　　.方差計算公式：①D（X）=E（X2）（E（X））2即X的方差等于X2的期望—X的期望的平方② 若離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，…，則.③若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），則　.常用隨機變量的方差　?。?）0－1分布　　設離散型隨機變量X的分布律為　　其中0p1，則D（X）=p（1p）　?。?）二項分布設X～B（n,p），即（i＝1，2，…，n），q=1p，則 D（X）=npq.（3）泊松分布　　設X～P（λ），其分布律為，i＝0，1，2，…，則 D（X）=λ.（4）均勻分布　　設X～U（a,b），即概率密度為　　　，　則　　.（5）指數(shù)分布　　設X～E（λ），即概率密度為　，則　　.（6）正態(tài)分布　　設X～N（μ，σ2），即概率密度為，∞x+∞，則 D（X）=σ2.方差的性質（1）常數(shù)的方差等于零，隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差，即　　D（C）=0，D（X+C）=D（X），即D（CX）=C2D（X）.（3）兩個相互獨立隨機變量之和的方差等于它們方差之和，即若X，Y相互獨立，則　　D（X+Y）=D（X）+D（Y）下表是六種常見分布的期望和方差的結果?！　? 　　協(xié)方差與相關系數(shù)定義：設二維隨機變量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（XE（X））（YE（Y））]存在，則稱之為X與Y的協(xié)方差，記為cov（X,Y），即cov（X,Y）=E[（XE（X））（YE（Y））].（2）若離散型二維隨機變量（X,Y）的分布律為，（i,j＝1，2，…），　　則　.（3）若連續(xù)型二維隨機變量（X,Y）的概率密度為f（x,y），　　則　.　（4）計算公式：cov（X,Y）=E（XY）E（X）E（Y）特例：當X=Y時，cov（X,X）=D（X）（5）協(xié)方差的性質　　① cov（X,Y）=cov（Y,X）；　② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b為任意常數(shù)；　?、?④ 若X與Y相互獨立，則cov（X,Y）=0.f（x,y）≠fX（x）fY（y）,知X，Y一定不相互獨立。可見Cov（X,Y）=0是X與Y相互獨立的必要非充分條件。（1）定義：若D（X）0，D（Y）0，稱為X與Y的相關系數(shù)，記為，　　即　.（2）性質　?、? ② 相關系數(shù)的絕對值=1的充分必要條件是存在常數(shù)a，b，使　P{Y=aX+b}=1且a≠0.（3）不相關定義：若相關系數(shù)ρXY=0，則稱X與Y不相關.（4）相關系數(shù)的意義：兩個隨機變量的相關系數(shù)是它們之間線性關系程度的度量：，表示它們之間存在完全線性關系，即一次函數(shù)關系；ρXY=0，表示它們之間無線性相關關系，但是，不表示它們之間不存在其他相關關系；，表示它們之間存在一定的線性相關關系.若ρXY0，表示它們之間存在正線性相關關系，即上式中a0；若ρXY0，表示它們之間存在負線性相關關系，即上式中a0.（5）兩個重要結論　　① 隨機變量X與Y相互獨立X與Y不相關；反之未必.　?、?若二維隨機變量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，則ρXY=ρ，且二維隨機變量（X,Y）=0.、協(xié)方差矩陣　?。?）矩的定義：設X為隨機變量，k為正整數(shù)，① 如果E（Xk）存在，則稱E（Xk）為X的k階原點矩，記為vk=E（Xk）；② 如果存在，則稱 為X的k階中心矩，記為＝.（2）兩種隨機變量的矩　?、?離散型隨機變量的矩：若離散型隨機變量X的分布律為P{X=xi}=pi，i＝1，2，…，則　　，②連續(xù)型隨機變量的矩：若連續(xù)型隨機變量的概率密度為，則，.顯然，一階原點矩是期望，二階中心矩是方差.（3）混合矩定義：設X，Y為隨機變量，① 若（k,l＝1，2，…）存在，則稱其為X和Y的階混合原點矩；②若存在，協(xié)方差是二階混合中心矩.（4）協(xié)方差矩陣　?、?二維隨機變量的協(xié)方差矩陣定義：設二維隨機變量（X1,X2）的4個二階中心矩為　　C11=E[X1E（X1）] 2 =cov（X1 ,X1） =D（X1）, 　　C12=E[（X1E（X1））（ X2E（X2））] =cov（X1 ,X2）,　　C21=E[（X2E（X2））（ X1E（X1））] =cov（X2 ,X1）, 　　C22=E[（X2E（X2））] 2 =cov（X2 ,X2） = D（X2）,　　則稱矩陣為二維隨機變量（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.② n維隨機變量（X1,X2,…,Xn）的協(xié)方差矩陣定義：設n維隨機變量（X1,X2,…,Xn）的二階中心矩為（i,j＝1，2，…，n），則稱矩陣為維隨機變量（X1,X2,…,Xn）的協(xié)方差矩陣.第五章 大數(shù)定律及中心極限定理切比雪夫不等式定理：設隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數(shù)ε＞0，有　因為事件與事件是對立事件，所以 貝努利大數(shù)定律定理：設m是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對于任意正數(shù)ε，有 獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數(shù)定律定理：設X1, X2，…，Xn，…是獨立同分布隨機變量序列，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，（i＝1，2，…）均存在，則對于任意ε＞0有　獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理　定理：設X1, X2，…，Xn，…是獨立同分布隨機變量序列，且具有相同數(shù)學期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，（i＝1，2，…）均存在；再設隨機變量　的分布函數(shù)為Fn（x），則對任意實數(shù)x有其中Φ（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)兩個結論?、?定理說明，當n充分大時，不論獨立同分布隨機變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布；② 定理說明：當n充分大時，不論獨立同分布隨機變量服從什么分布，其平均值棣莫弗拉普拉斯D－L中心極限定理定理：設隨機變量Zn是獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任意實數(shù)x有 ，其中q=1p，Φ（x）　計算公式兩個結論：　?、佼攏充分大時， ；　 　②當n充分大時，第六章　統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布　　定義：設x1, x2，…，xn為總體X的樣本，若樣本函數(shù)T=T（x1, x2，…，xn）中不含任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計量；統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布. 定義：設x1, x2，…，xn為總體X的樣本，總體X的分布函數(shù)為F（x），若將樣本觀察值x1, x2，…，xn按由小到大排列為x（1），x（2），…，x（n），則稱之為有序樣本；用有序樣本定義函數(shù)，k＝1，2，…，n1，則稱Fn（x），F(xiàn)n（x）是一個非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn（∞）=0，F(xiàn)n（+∞）=1樣本均值及其抽樣分布（1）樣本均值的定義：設x1, x2，…，xn為總體X的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般記為，樣本均值的計算公式為　，其中，k為組數(shù)，xi為第i組的組中值，fi為第i組的頻數(shù).樣本均值的性質① 若稱樣本的數(shù)據(jù)與樣本均值的差為偏差，則樣本偏差之和為零，即② 偏差平方和最小，即對任意常數(shù)c，函數(shù)，當時取得最小值.樣本均值的抽樣分布定理：設x1, x2，…，xn為總體X的樣本，為樣本均值，（1） 若X～N（