二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-15 06:53 本頁面
【文章內容簡介】 值為.（二）二元連續(xù)函數(shù)在橢圓域上的最值 求二元連續(xù)函數(shù)在橢圓域上的最值,我們可以分為橢圓域內的函數(shù)最值和橢圓域邊界上的函數(shù)最值兩部分進行求解.首先對二元連續(xù)函數(shù)求一階偏導數(shù),令 求解方程組可得函數(shù)的駐點,因為駐點不一定都是的極值點,所以還要對駐點進行判別,令,.同在圓域內的判別方法一樣,將的駐點代入到中求出相應的函數(shù)值 （5）對于二元函數(shù)在橢圓域邊界上的最值,:,對它求一階偏導數(shù)之后,令 解方程組可得到橢圓域邊界上的極值點,代入函數(shù)中,求得橢圓域邊界上的函數(shù)值 （6）綜合上述得出橢圓域內的函數(shù)值（4）和橢圓域邊界上的函數(shù)值（5）,通過比較所得函數(shù)值的大小可得到二元函數(shù)在橢圓域上的最大值和最小值. 方法二:,變形為,代入到二元函數(shù)中,可得到一個一元函數(shù),對這個一元函數(shù)求極值（即二元函數(shù)在橢圓域邊界上可能的函數(shù)值）得 （7）再求出的端點值 , （8） 綜合上述橢圓域內的函數(shù)值（5）和橢圓域邊界上的函數(shù)值（7）與（8）,通過比較所得函數(shù)值的大小可得到二元函數(shù)在橢圓域上的最大值和最小值.例2 求二元函數(shù)在橢圓區(qū)域上的最大值和最小值.解 由 可得唯一的駐點,再求出,.因為當駐點為時,所以駐點不是二元連續(xù)函數(shù)的極值點,也就不是最值點,我們可用兩種方法來求解.1）,先對它求一階偏導數(shù),再令 由方程組可得到橢圓域邊界上可能的最值點有,.將它們分別代入到二元函數(shù)中,可求得相應的函數(shù)值,.綜合上述兩種情況得出的函數(shù)值有和,通過比較函數(shù)值的大小可得到函數(shù)在橢圓域邊界上的最大值為,最小值為.2） ,代入到函數(shù)中,可得到一個一元函數(shù),對它求一階導數(shù)可得,令,求解方程可得一元函數(shù)的極值點,代入到函數(shù)中,.綜合上述所得橢圓域內的函數(shù)值和橢圓域邊界上的函數(shù)值和,通過比較所得函數(shù)值的大小從而得到函數(shù)在橢圓域上的最大值為,最小值為.二、二元連續(xù)函數(shù)在多邊形區(qū)域上的最值二元連續(xù)函數(shù)在邊形區(qū)域上的最值問題,隨著邊界的復雜程度加大,對它的求解難度也在加大,但在總體上還是可以分為區(qū)域內和區(qū)域邊界上兩部分進行討論.對于邊形區(qū)域內的最值,我們對函數(shù)求一階偏導數(shù)之后,令 可求得函數(shù)在邊形區(qū)域內的駐點,因為駐點不一定都是函數(shù)的極值點,令,將滿足條件的駐點代入到中求出相應的函數(shù)值 （9） 邊形區(qū)域是由條直線段圍成的封閉區(qū)域,其邊界有條直線段構成,朗格朗日乘數(shù)法就很難求解,分別代入到二元函數(shù)
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