品質(zhì)統(tǒng)計原理-常用的機率分佈與統(tǒng)計分布(編輯修改稿)
2025-07-15 03:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 t(50,50,4,true)/範例、工管系某品管實驗，經(jīng)整理資料得知具有N(,)，177。試問此實驗不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令隨機變數(shù)X代表實驗資料，其具有N(,)，則P(163。x163。)=P[()/163。()/163。()/]=/=normdist(,true)normdist(,true)/(4) 伽瑪分配Gamma Distribution如隨機變數(shù)X，具有以下的機率密度函數(shù)，則該分配稱之為伽瑪分配： () 其中a、b是伽瑪分配的參數(shù)，其值均大於0。Where the gamma function G is defined as: 222。伽瑪函數(shù)將被運用到數(shù)個統(tǒng)計量分配ChiSquare, t, F Distribution。母體樣本分配、參數(shù)統(tǒng)計量隨機抽取推 論檢定計算描述 如何將樣本資料{x1, x2,…,xn}推估母體參數(shù)(m, s2)，此種由抽樣資料推論母體的長像，統(tǒng)計上稱為統(tǒng)計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體(m,s2)。從母體中抽取數(shù)個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統(tǒng)計量，而樣本統(tǒng)計量所服從的機率分配則稱之為統(tǒng)計分配，亦稱抽樣分配(Sampling Distribution)。常用的統(tǒng)計分配有常態(tài)分配，t分配，卡方分配，F(xiàn)分配等。 統(tǒng)計推論的目的係利用樣本裏的資訊對母體作結(jié)論，所採之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C(N, n)個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣(Random Sampling)。樣本統(tǒng)計量：◎ 集中趨勢統(tǒng)計量平均數(shù)?！?離散趨勢統(tǒng)計量變異數(shù)與標準差等。=(x1 + x2 + …+ xn)/n = (229。ni =1 xi)/nS2=[229。ni =1 (xi)2]/(n1)， ([229。ni =1 (xi)2]：Sum Square)常用統(tǒng)計分配：(1)常態(tài)分配上述已定義過常態(tài)分配，主要是用來說明隨機變數(shù)的分佈狀況。而在統(tǒng)計應(yīng)用上，常態(tài)分配是用來推論與檢定母體的特徵值。如，以樣本平均值去推論m，『其中的統(tǒng)計分配即常態(tài)分配』。大數(shù)法則 從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數(shù)，即 174。 (n174。165。)174。m (E[]= m)中央極限定理19世紀法國學(xué)數(shù)家Pierre Simon de Laplace(17491827)所提出。他是從觀察到『量測誤差有常態(tài)分配的趨向』而得到此定理?！簶颖酒骄鶖?shù)大都趨近於常態(tài)分配』。中央極限定理的精神：從『任何以期望值m，變異數(shù)s2的母體中』，隨機抽出n個樣本{x1, x2,…,xn}且x =x1+x2+…+xn，則樣本平均值將會趨近於標準常態(tài)分配。 ()其中s/n1/2稱之為標準誤(Standard Error)；s2/n變異誤(Error Variance)。範例、致遠管理學(xué)院女學(xué)生平均身高為160cm，標準差為9cm；茲隨機抽取36位女學(xué)生，試問平均身高大於160cm而小於162cm的機率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數(shù)代表隨機抽取36位的平均身高，即 =160, s/ n1/2 = 9/(36)1/2=，則P(160 163。163。 162) = P[(160160)/ 163。 (160)/163。(162160)/]=/=normdist(162,160,true)normdist(160,160,true)/範例、致遠管理學(xué)院學(xué)生選修『科技與人生』人數(shù)服從二項分配B(n, p= )，為了避免選修該課程的人數(shù)過多，影響教學(xué)品質(zhì)，倘選修的人數(shù)超過80人則開2班上課。試問本學(xué)期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數(shù)X代表選修該課程的學(xué)生人數(shù)，則 P(X179。80)=1binomdist(79,1000,true)= 另應(yīng)用中央極限定理，因E[X]=np=70、V[X]=np(1p)=，則 P(X179。80)=P[(X70)/()1/2 179。(8070)/()1/2]=(2)卡方分配(ChiSquare)一個可用『常態(tài)隨機變數(shù)』來定義的重要的抽樣分配就是卡方分配(c2)。倘z1, z2,…,zk為k個獨立且相同分配的常態(tài)隨機變數(shù)，期望值0且變異數(shù)1，簡記為NID(0,1)(Normally and Independently Distribution)，隨機變數(shù) x = z12+z22+…+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數(shù)。通常以隨機變數(shù)X~ c2k表示?？ǚ綑C率密度函數(shù)，0 163。 x 165。 ()The gamma function G is defined as: 其期望值與變異數(shù)為：E[X] = k V[X] = 2k卡方分配是不對稱的統(tǒng)計分配，其對應(yīng)的機率分配隨著自由度k而有所不同。假設(shè){x1, x2,…,xn}是一個來自N(m, s2)分配的隨機樣本。則其平方和除以s2後就依循卡方分配。SS/s2= [229。ni =1 (xi)2]/s2= c2n1 另S2=[229。ni =1 (xi)2]/(n1) = SS/(n1)= [s2/(n1)]c2n1 S2的分配為[s2/(n1)]c2n1。故樣本變異數(shù)的抽樣分配為一個常數(shù)乘以卡方分配。[如下圖，卡方分配(k =1, 5, 15)] 假設(shè)隨機變數(shù)X~ c2n1，定義c2a,n1為自由度(n1)之卡方分配其右邊(累積)機率等於a的臨界值，即P(X 179。 c2n1)= a，則P(X 179。 c21 a/2,n1)= 1 a/2， 及 P(c21 a/2,n1 163。 X 163。 c2a/2,n1)= 1 a a = ，a/2 = ，c2a/2= ，c21 a/2= 倘P(X 179。 c21 a/2,n1)= 1 a/2， P(c1 a/2,n12 163。 X 163。 c a/2,n12)= 1 a ,4，,13，,4，,13。 /=chiinv(,4)/，/=chiinv(,13)/
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