基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神(編輯修改稿)
2025-07-14 15:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的定義就是．必須明確指出，這個說法是錯誤的，因為它隱含地規(guī)定了乘方的次數(shù)與開方的次數(shù)的關(guān)系（也就是方程（１）左右雙方的兩個乘方次數(shù)的關(guān)系）是分數(shù)分子與分母的關(guān)系，而這一點正是需要著力論證的事情．正因為如此，我們在定義２后面特意提醒：“這里只是一個暫時的記號”．中學(xué)教材還有一點遺漏：在中是先開方后乘方還是先乘方后開方？看來似乎是先對乘次方，再對開次方．定義２則很明白是這樣作的．因此自然有一個問題：可否先開方后乘方，即定義為？實際上不但可以，而且有時還更好．原因下面再說．在下面的討論中，我們暫時限制冪為正，所以負指數(shù)的問題因為比較明確，不會有什么誤解，所以這里不說了.我們先來證明先開方后乘方也是可以的．定理１．定義２中的就是定義１中的的次方．證明．記定義１中的為，它的存在和唯一性上面已經(jīng)說了．它是一個正實數(shù)，因此可以對它求任意正整數(shù)次冪．由定義１，雙方求次冪有．但是是正整數(shù)，從而就是一個連乘積，所以因此，是方程的算術(shù)根（注意是正實數(shù)）而按照定義１，亦即 ?。ǎ玻 ∵@個證明的要害是：把的有理分數(shù)冪變成的正整數(shù)冪．反正作為方程的算術(shù)根是正實數(shù)，它的正整數(shù)冪就是簡單的連乘積，所以可以應(yīng)用前面講的指數(shù)定律．以后許多證明都是這樣來的．這就是為什么前面說先開方后乘方有時更好．另一個更重要的問題是：有理分數(shù)可以寫成不同形狀的分數(shù)，如等等，于是就有不同的和．所以至關(guān)重要的是要證明定理２．如果為正整數(shù)，則對于有 ?。ǎ常┯辛诉@個定理以后，我們才看見了中確實是一個有理分數(shù)．（但是我們下面還會給出一個符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)要求的形式化的證明，雖然這對于大多數(shù)中學(xué)老師——更不說是全部中學(xué)生——是完全不必要的）．證明的方法和定理１的證明方法是一樣的．證明．對乘以次方．由于即所以由（２）式有第一步的方括號處我們應(yīng)用了（２）式；第二步最外層的方括號處，我們利用了為正整數(shù)，從而可以利用前面關(guān)于冪運算的指數(shù)定律的第２條；最后一步則是定理的假設(shè)．同樣，我們也有這樣，和是同一個方程的算術(shù)根（和是正實數(shù)從定義２中已經(jīng)明確）．由算術(shù)根的唯一性即知二者相等．證畢． ，也不會有大的難處，所以不再討論.在小平邦彥的書中，以上全部內(nèi)容只寫了不到１頁的篇幅．他說：＂在本節(jié)，我們將對在高中數(shù)學(xué)中學(xué)過的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)進行嚴格的論證＂由此可見日本對高中學(xué)生和教師是什么樣的要求！我比較詳細地寫了這么多，無非是感到此書言簡意駭,而自己教了這么多年的書，其實沒有把最基本的東西講清楚，實在汗顏,所以多寫了幾句.下面再來證明對于有理分數(shù)冪，冪運算的３條定律也成立．因為證法完全一樣，下面只證明第一條：如果為正整數(shù)，而，則有
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