方差分析及回歸分析(編輯修改稿)
2025-07-13 12:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （） 對(duì)于給定的置信水平1,查自由度為n2的T分布表可得滿足的臨界值ta根據(jù)不等式的恒等變形可得的置信度為1的置信區(qū)間為：這就是的置信度為1的預(yù)測(cè)區(qū)間，它是以為中心，長(zhǎng)度為的區(qū)間，(記)，區(qū)間的中點(diǎn)隨x0而線性變化，它的長(zhǎng)度在處最短，x0越遠(yuǎn)離，預(yù)測(cè)區(qū)間的長(zhǎng)度就越長(zhǎng)。預(yù)則區(qū)間的上限與下限落在關(guān)于經(jīng)驗(yàn)回歸直線對(duì)稱的兩條曲線上，并是喇叭形。當(dāng)n較大，Lxx充分大時(shí)， 可得y0的近似預(yù)測(cè)區(qū)間： （） 上式說明預(yù)測(cè)區(qū)間的長(zhǎng)度，即預(yù)測(cè)的精度主要由確定，因此在預(yù)測(cè)中，是一個(gè)基本而重要的量。控制問題在實(shí)際應(yīng)用中往往還需要考慮預(yù)測(cè)的反問題，即要以不小于1的概率將y0控制在(y1,y2)內(nèi)，也就是使 相應(yīng)的x0應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)。這類問題稱為控制問題。根據(jù)前一段的討論，若x0滿足 （）則可有因此控制問題一般是找滿足()的x0的范圍。但求解很麻煩。一種近似的處理法是：由將a，b，σ2分別用其無偏估計(jì)代,有從而根據(jù)查N()分布表確定，于是y0的置信度1的預(yù)測(cè)區(qū)間可近似認(rèn)為是要解決前述問題可以從滿足：的x0去尋找x0的控制范圍。顯然，當(dāng)時(shí)，問題無解，否則方程組 有解由此得x0的控制范圍是(min(),max())三、線性相關(guān)的檢驗(yàn)前面的討論都是在假定y與x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系的前提下進(jìn)行的，若這個(gè)假定不成立，則我們建立的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程也失去意義，為此必須對(duì)y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系作檢驗(yàn)，為解決這個(gè)問題，先作手：偏差平方和分解記，稱它為總偏差平方和，它反映數(shù)據(jù)yi的總波動(dòng)，易得L有如下分解式：其中就是前面提到的殘差平方和,稱為回歸平方和，上式右邊的交叉項(xiàng)： 由上可知，U越大，Qe就越小，x與y間線性關(guān)系就越顯著；反之，x與y之間的線性關(guān)系越不顯著。于是，自然地考慮到檢驗(yàn)回歸方程是否有顯著意義是考察U/Q的大小，其比值大，則L中U占的比重大，回歸方程有顯著意義，反之，無顯著意義。線性相關(guān)的F檢驗(yàn)根據(jù)上段的思想來構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，先看下面的定理。 當(dāng)H0:b=0 成立時(shí) U/σ2～(1),且Q與U相互獨(dú)立。證：當(dāng)H0成立時(shí)，∴ 于是，我們還知，且Q與相互獨(dú)立，從而Q與U=獨(dú)立，由上面的定理及F分布的構(gòu)造性定理知： （）因此可選它作檢驗(yàn)H0:b=0 的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真時(shí)F的值不應(yīng)太大，故對(duì)選定的水平α＞0，由P()=α查F(1,n2)分布表確定臨界值F1α分位數(shù)，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)代入()式算出的F值合F≥F1α?xí)r，不能接受H0，認(rèn)為建立的回歸方程有顯著意義。 檢驗(yàn)H0：經(jīng)驗(yàn)公式無顯著意義(α=)選用 由查表得Fα=現(xiàn)計(jì)算F值由L=Lyy=Q=LU=得因F＞Fα，所以拒絕H0，認(rèn)為所得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程有顯著意義。四、相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系由前面的討論，有：得回歸平方和U=r2L殘差平方和 可見r2反映了回歸平方和在總偏差平方和中占的比重，該比重越大，誤差平方和在總偏差平方和中占的份量就越小。通常稱r2為擬合優(yōu)度系數(shù)。r就是變量x與y的積差相關(guān)系數(shù)，另方面由 看出，在檢驗(yàn)y與x是否顯著線性相關(guān)時(shí)，F(xiàn)檢驗(yàn)法與相關(guān)系數(shù)T檢驗(yàn)法等效。區(qū)別相關(guān)關(guān)系不表明因果關(guān)系，是雙向?qū)ΨQ的，在相關(guān)分析中，對(duì)所討論的兩個(gè)變量或多個(gè)變量是平等對(duì)待的，相關(guān)系數(shù)r反映數(shù)據(jù)(xi,yi)所描述的散點(diǎn)對(duì)直線的靠攏程度?；貧w分析中，變量在研究中地位不同，要求因變量(響應(yīng)變量)y是隨機(jī)變量，自變量一般是可控制的普通變量(當(dāng)然也可以是隨機(jī)的)。在回歸方程中，回歸系數(shù)只反映回歸直線的陡度，且它不是雙向?qū)ΨQ的。167。 一元非線性回歸前面討論的線性回歸問題，是在回歸模型
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