概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率歷史介紹(編輯修改稿)
2025-07-12 21:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 4枚金幣；若B勝，則結(jié)果同（1）他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應(yīng)為24/2+18/2=21枚，B應(yīng)為0/2+6/2=3枚。（3） 費(fèi)爾馬從不同的理由出發(fā)也給出正確的解法。其方法不是直接計(jì)算賭徒贏局的概率，而是計(jì)算期望的贏值。（4） 費(fèi)爾馬認(rèn)為，兩賭徒離全勝所差局?jǐn)?shù)分別為sa局,sb局，則最多再進(jìn)行2sab+1局即可定勝負(fù)。所以再賭2局，共有4種情況：MM，MP，PM，PP；前3種情況都是梅累先勝3局，只有第4種情況保羅先勝3局，所以梅累所得金幣應(yīng)為24*3/4=18枚，保羅應(yīng)為24*1/4=6枚。1657年荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯是從與帕斯卡差不多的理由出發(fā)解決了這一問(wèn)題：如果某人在u+v個(gè)等概率的場(chǎng)合中有u個(gè)場(chǎng)合可贏得α，而有v個(gè)場(chǎng)合可贏得β，則他所期望的收入可用(uα+vβ)/(u+v)來(lái)估計(jì)，從而導(dǎo)致了現(xiàn)今稱之為數(shù)學(xué)期望的概念（惠更斯在1657年出版的《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，成為概率論的早期著作，首次明確提出數(shù)學(xué)期望的概念）。使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠基人則是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布第一伯努利，他考慮了擲n個(gè)骰子時(shí)所得點(diǎn)數(shù)總和等于m的可能性問(wèn)題，指出這種場(chǎng)合的數(shù)目等于的展開(kāi)式中這一項(xiàng)的系數(shù)，開(kāi)了母函數(shù)方法的先河。他建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即伯努利大數(shù)律；該定理斷言：設(shè)事件A的概率P（A）=p（0p1），若m表示前n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，從而m/n為事件A出現(xiàn)的頻率，則當(dāng)n→∞時(shí)， 式中ε為任一正實(shí)數(shù)。這一結(jié)果發(fā)表于他死后8年（1713）出版的遺著《推測(cè)術(shù)》（Ars conjectandi）中。這里所說(shuō)的事件的概率，應(yīng)理解為事件發(fā)生的機(jī)會(huì)的一個(gè)測(cè)度，即公理化概率測(cè)度（詳見(jiàn)后）。1716年前后，A。棣莫弗對(duì)p=1/2情形，用他導(dǎo)出的關(guān)于n！的漸近公式（即所謂斯特林公式）進(jìn)一步證明了漸近地服從正態(tài)分布（德國(guó)數(shù)學(xué)家C。F。高斯于1809年研究測(cè)量誤差理論時(shí)重新導(dǎo)出正態(tài)分布，所以也稱為高斯分布）。棣莫弗的這一結(jié)果后來(lái)被法國(guó)數(shù)學(xué)家P。S。拉普拉斯推廣到一般的p（0p1）的情形，后世稱之為棣莫弗拉普拉斯極限定理，這是概率論中第二個(gè)基本極限定理（見(jiàn)中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯對(duì)概率論的發(fā)展貢獻(xiàn)很大。他在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，寫出了《概率的分析理論》（1812年出版，后又再版6次）。在這一著作中，他首次明確規(guī)定了概率的古典定義（通常稱為古典概率，見(jiàn)概率），并在概率論中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函數(shù)等，從而實(shí)現(xiàn)了概率論由單純的組合計(jì)算到分析方法的過(guò)渡，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。拉普拉斯非常重視概率論的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)尤其感興趣。繼拉普拉斯以后，概率論的中心研究課題是推廣和改進(jìn)伯努利大數(shù)律及棣莫弗－拉普拉斯極限定理。在這方面，俄國(guó)數(shù)學(xué)家∏。Л。切比雪夫邁出了決定性的一步，1866年他用他所創(chuàng)立的切比雪夫不等式建立了有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)律。次年，又建立了有關(guān)各階絕對(duì)矩一致有界的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的中心極限定理；但其證明不嚴(yán)格，后來(lái)由Α。Α。馬爾可夫于1898年補(bǔ)證。1901年Α。М。李亞普諾夫利用特征函數(shù)方法，對(duì)一類相當(dāng)廣泛的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。繼李亞普諾夫之后，Α。Я。辛欽、Α。Η?？?tīng)柲缏宸颉。萊維及W。 費(fèi)勒等人在隨機(jī)變量序列的極限理論方面作出了重要貢獻(xiàn)。到20世紀(jì)30年代，有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的極限理論已臻完備。在此期間，由于實(shí)際問(wèn)題的需要，特別是受物理學(xué)的刺激，人們開(kāi)始研究隨機(jī)過(guò)程。1905年A。愛(ài)因斯坦和R。斯莫盧霍夫斯基各自獨(dú)立地研究了布朗運(yùn)動(dòng)。他們用不同的概率模型求得了運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移密度。但直到1923年，N。維納才利用三角級(jí)數(shù)首次給出了布朗運(yùn)動(dòng)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，并證明了布朗運(yùn)動(dòng)軌道的連續(xù)性。1907年馬爾可夫在研究相依隨機(jī)變量序列時(shí)，提出了現(xiàn)今稱之為馬爾可夫鏈（見(jiàn)馬爾可夫過(guò)程）的概念；而馬爾可夫過(guò)程的理論基礎(chǔ)則由柯?tīng)柲缏宸蛟?931年所奠定。稍后一些時(shí)候，辛欽研究了平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論（1934）。所有這些關(guān)于隨機(jī)過(guò)程的研究，都是基于分析方法，即將概率問(wèn)題化為微分方程或泛函分析等問(wèn)題來(lái)解決。從1938年開(kāi)始，萊維系統(tǒng)深入地研究了布朗運(yùn)動(dòng)，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直覺(jué)性，將邏輯與直覺(jué)結(jié)合起來(lái)，倡導(dǎo)了研究隨機(jī)過(guò)程的一種新方法，即概率方法。這種方法的特點(diǎn)是著眼于隨機(jī)過(guò)程的軌道性質(zhì)。萊維對(duì)概率論的另一重要貢獻(xiàn)是建立了獨(dú)立增量過(guò)程的一般理論。他的著作《隨機(jī)過(guò)程與布朗運(yùn)動(dòng)》（1948）至今仍是隨機(jī)過(guò)程理論的一本經(jīng)典著作?，F(xiàn)代概率論的另外兩個(gè)代表人物是J。L。杜布和伊藤清，前者創(chuàng)立了鞅論，后者創(chuàng)立了布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分理論。在概率發(fā)展史中特別值得一提的是柯?tīng)柲缏宸蛟?933年建立了概率論的公理化體系。概率論公理化體系的建立早在拉普拉斯給出概率的古典定義之前，人們就提出了幾何概率的概念，這是研究有無(wú)窮多個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象問(wèn)題的，著名的布豐（曾譯蒲豐）投針問(wèn)題 （1777）就是幾何概率的一個(gè)早期例子。19世紀(jì)，幾何概率逐步發(fā)展起來(lái)。但到19世紀(jì)末，出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果。以著名的貝特朗悖論為例：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。此問(wèn)題可以有三種不同的解答：① 由于對(duì)稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于 1/4點(diǎn)與3/4點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。設(shè)所有交點(diǎn)是等可能的，則所求概率為 1/2（圖1之a(chǎn)）圖② 由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過(guò)此端點(diǎn)的切線的交角在60176?！?
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