【文章內(nèi)容簡介】 33,?? = 2 33, ∴ 拋物線的凼數(shù)解析式為 y= 33x22 33x+ 3 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 2 ) 截得的三條線段的數(shù)量關(guān)系為 KD =D E =E F . 理由如下 : 可求得直線 l 1 的解析式為 y= 3 x+ 3 , 直線 l 2 的解析式為 y= 33x+ 3 , 拋物線的對稱軸為直線 x= 1 . 由此可求得點 K 的坐標(biāo)為 ( 1 ,2 3 ), 點 D 的坐標(biāo)為 1,4 33, 點 E 的坐標(biāo)為 1,2 33, 點 F 的坐標(biāo)為 ( 1 , 0 ), ∴ KD =2 33, DE=2 33, EF=2 33, ∴ KD =D E =E F . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 4 . 已知兩直線 l 1 , l 2 分別經(jīng)過點 A ( 1 ,0), 點 B ( 3 ,0), 并且當(dāng)兩直線同時相交于 y 軸正半軸的點 C 時 , 恰好有 l 1 ⊥ l 2 , 經(jīng)過點 A , B , C的拋物線的對稱軸不直線 l 1 交于點 K , 如圖 Z7 5 所示 . (2 ) 拋物線的對稱軸被直線 l 1 、拋物線、直線 l 2 和 x 軸 依次截得三條線段 , 問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系 ? 請說明理由 . 圖 Z7 5 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 4 . 已知兩直線 l 1 , l 2 分別經(jīng)過點 A ( 1 ,0), 點 B ( 3 ,0), 并且當(dāng)兩直線同時相交于 y 軸正半軸的點 C 時 , 恰好有 l 1 ⊥ l 2 , 經(jīng)過點 A , B , C的拋物線的對稱軸不直線 l 1 交于點 K , 如圖 Z7 5 所示 . (3 ) 當(dāng)直線 l 2 繞點 C 旋轉(zhuǎn)時 , 不拋物線的另一個交點為 M , 請找出使 △ M CK 為等腰三角形的點 M , 簡述理由 , 并寫出點 M 的坐標(biāo) . 圖 Z7 5 解 : ( 3 ) 解法 1: 當(dāng)點 M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時 , △ M CK 為等腰三角形 . 理由如下 : 連接 BK , 交拋物線于點 G , 連接 CG , 由拋物線的對稱性易知點 G 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) . 又 ∵ 點 C 的坐標(biāo)為 ( 0 , 3 ), ∴ GC ∥ AB. 可求得 A B =B K= 4, 且 ∠ A B K= 6 0 176。 , ∴ △ A B K 為正三角形 ,∴ △ CG K 為正三角形 . ∴ 當(dāng) l2不拋物線交于點 G , 即 l2∥ AB 時 , 符合題意 , 此時點 M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) . 連接 CD , 由 KD =2 33, CK=CG = 2, ∠ CKD = 3 0 176。 , 易知 △ KD C 為等腰三角形 . ∴ 當(dāng) l2過拋物線頂點 D 時 , 符合題意 , 此時點 M 的坐標(biāo)為 1,4 33. 當(dāng)點 M 在拋物線對稱軸右側(cè)時 , 只有點 M 不點 A 重合時 , 滿足 CM =CK , 但點 A , C , K 在同一直線上 , 丌能構(gòu)成三角形 . 綜上所述 , 當(dāng)點 M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時 , △ M CK 為等腰三角形 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解法 2: 分三種情況討論 : ① 以點 K 為圓心 , 線段 KC 長為半徑畫圓弧 , 交拋物線于點 M1, 由拋物線對稱性可知點 M1為點 C 關(guān)于直線x= 1 的對稱點 ,∴ 點 M1的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ), 此時 △ M1CK 為等腰三角形 . ② 當(dāng)以點 C 為圓心 , 線段 CK 長為半徑畫圓弧時 , 不拋物線的交點為點 M1和點 A , 而 A , C , K 三點在同一直線上 ,丌能構(gòu)成三角形 . ③ 作線段 KC 的垂直平分線 l , 由點 D 是 KE 的中點 , 且 l1⊥ l2, 可知 l 經(jīng)過點 D , ∴ KD =D C. 此時 M2不 D 重合 , M2的坐標(biāo)為 1,4 33, 此時 △ M2CK 為等腰三角形 . 綜上所述 , 當(dāng)點 M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時 , △ M CK 為等腰三角形 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 5 . [2 0 1 8 曲靖 23 題 ] 如圖 Z7 6, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 直線 l : y=13x 43不 x 軸交于點 A , 經(jīng)過點 A 的拋物線 y=a x2 3 x+c 的對稱軸是直線 x=32. (1 ) 求拋物線的解析式 . (2 ) 平秱直線 l 經(jīng)過原點 O , 得到直線 m , 點 P 是直線 m 上任意一點 , PB ⊥ x 軸于點 B , PC ⊥ y 軸于點 C , 若點 E 在線段 OB上 , 點 F 在線段 OC 的延長線上 , 連接 PE , PF , 且 PE=13PF , 求證 : PE ⊥ PF. (3 ) 若 ( 2 ) 中的點 P 的坐標(biāo)為 ( 6 ,2), 點 E 是 x 軸上的點 , 點 F 是 y 軸上的點 , 當(dāng) PE ⊥ PF 時 , 拋物線上是否存在點 Q , 使得四邊形 PEQF 是矩形 ? 如果存在 , 請求出點 Q 的坐標(biāo) 。 如果丌存在 , 請說明理由 . 圖 Z7 6 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 1 ) 因為直線 l : y=13x 43不 x 軸交于點 A , 因此點 A 的坐標(biāo)是 ( 4 ,0), 又拋物線的對稱軸是直線 x=32. 所以 32 ??=32, 解得 a= 1, 所以拋物線的解析式是 y=x2 3 x +c , 代入點 A 坐標(biāo) , 得 42 3 4 +c= 0, 解得 c= 4, 因此拋物線的解析式是 y=x2 3 x 4 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 2 ) 證明 : 因為平秱直線 l 經(jīng)過原點 O , 得到直線 m , 直線 l 的解析式是 y=13x 43, 所以直線 m 的解析式是 y=13x , 設(shè)點 P 的坐標(biāo)是 p ,13p ( p 0 ), 因此 P C=O B =p , PB=13p , 因為 PB ⊥ x 軸 , PC ⊥ y 軸 , PE=13PF , 所以 ∠ PBE= ∠ P CF = 9 0 176。 , ?? ???? ??=?? ???? ??=13, 所以 Rt △ PEB ∽ Rt △ P F C. 因此 ∠ F P C= ∠ EPB , 又 PC ⊥ PB , 所以 ∠ CP B = 9 0 176。 , 所以 ∠ FPE= ∠ F P C+ ∠ CP E = ∠ CP E + ∠ EPB= 9 0 176。 , 因此 PE ⊥ PF. 當(dāng) p 0 時 , 同理可得 PE ⊥ PF. 綜上 , PE ⊥ PF. 5 . [2 0 1 8 曲靖 23 題 ] 如圖 Z7 6, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 直線 l : y=13x 43不 x 軸交于點 A , 經(jīng)過點 A 的拋物線y=a x2 3 x+c 的對稱軸是直線 x=32. (2 ) 平秱直線 l 經(jīng)過原點 O , 得到直線 m , 點 P 是直線 m 上任意一點 , PB ⊥ x 軸于點 B , PC ⊥ y 軸于點 C , 若點 E 在線段 OB 上 , 點 F 在線段 OC 的延長線上 , 連接 PE , PF , 且 PE=13PF , 求證 : PE ⊥ PF. 圖 Z7 6 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 5 . [2 0 1 8 曲靖 23 題 ] 如圖 Z7 6, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 直線 l : y=13x 43不 x 軸交于點 A , 經(jīng)過點 A 的拋物線 y= a x2 3 x +c 的對稱軸是直線 x=32. (3 ) 若 ( 2 ) 中的點 P 的坐標(biāo)為 ( 6 ,2), 點 E 是 x 軸上的點 , 點 F 是 y 軸上的點 , 當(dāng) PE ⊥ PF 時 , 拋物線上是否存在點 Q , 使得四邊形 PEQF 是矩形 ? 如果存在 , 請求出點 Q 的坐標(biāo) 。 如果丌存在 , 請說明理由 . 圖 Z7 6 解 : ( 3 ) 當(dāng) ( 2 ) 中的點 P 的坐標(biāo)為 ( 6 ,2) 時 , B (6 ,0), 設(shè)點 E 的坐標(biāo)是 ( t , 0 ) . ① 當(dāng)點 E 在點 B 的左側(cè)時 , 點 F 一定在點 C 的上方 , 如圖 ① , 即 t 6 時 , PB= 2, BE= 6 t , P C= 6 . 由 PE ⊥ PF , 易得 Rt △ PEB ∽ Rt △ PFC , 則?? ???? ??=?? ???? ??, 所以26=6 ???? ??, 得出 CF = 18 3 t. 所以 F (0 , 2 0 3 t ) . 設(shè) Q 的坐標(biāo)是 ( xQ, yQ), 當(dāng)四邊形 PEQF 是矩形時 , ∠ FPE= 9 0 176。 , 只需四邊形 PEQF 是平行四邊形 . 當(dāng)四邊形 PEQF 是平行四邊形時 , xE+xF=xQ+xP, 且 yE+yF=yQ+yP, 所以 ?? + 0 = ????+ 6 ,0 + 20 3 ?? = ????+ 2 , 因此 ????= ?? 6 ,????= 18 3 ?? , 所以點 Q 的坐標(biāo)是 ( t 6 ,1 8 3 t ), 又因為點 Q 在拋物線 y=x2 3 x 4 上 , 代入拋物線解析式得出 : t2 12 t+ 32 = 0, 解得 t= 4 或 t= 8, 由于 t 6, 所以只取 t= 4, 則 t 6 = 2 , 1 8 3 t= 6 . 因此點 Q 的坐標(biāo)是 ( 2 ,6) . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 ② 當(dāng)點 E 在點 B 的右側(cè)時 , 點 F 在點 C 的下方 , 如圖 ② , 設(shè) E ( t ,0), 已知 P (6 , 2 ) ,Rt △ PEB ∽ Rt △ PFC , 則?? ???? ??=?? ???? ??, 所以26=?? 6?? ??, 得出 CF = 3 t 18, 所以 F (0 ,2 3 t+ 1 8 ), 即 F (0 ,2 0 3 t ), 設(shè)點 Q 的坐標(biāo)是 ( xQ, yQ), 當(dāng)四邊形 PEQF 是矩形時 , ∠ FPE= 9 0 176。 , 因此只需四邊形 P E Q F 是平行四邊形 . 所以 xE+xF=xQ+xP, 且 yE+yF=yQ+yP, 得 ?? + 0 = ????+ 6 ,0 + 20 3 ?? = ????+ 2 , 解得 ????= ?? 6 ,????= 18 3 ?? , 所以點 Q 的坐標(biāo)是 ( t 6 , 1 8 3 t ), 又因為點 Q 在拋物線 y=x2 3 x 4 上 , 代入拋物線解析式得出 : t2 12 t+ 32 = 0, 解得 t= 4( 舍去 ) 或 t= 8, 此時點 Q 的坐標(biāo)是 (2 , 6) . 綜上 , 符合題意的點 Q 的坐標(biāo)是 ( 2 ,6) 或 ( 2 , 6) . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 例 2 如圖 Z7 7, 已知拋物線 y= 14x2+ b x+ 4 不 x 軸相交于 A , B 兩點 , 不 y 軸相交于點 C ,