【文章內(nèi)容簡介】 忽略振動自由度，則有：Cv1= R =3R ∴Cv1’= =Cv2= R = Cv2’= =Cv = == ( + )= (J/gK)329 氣體分子的質(zhì)量可以由定容比熱算出來，試推導(dǎo)由定容比熱計算分子質(zhì)量的公式。設(shè)氬的定容比熱Cv = 75Cal?Kg1?K1,求氬原子的質(zhì)量和氬的原子量.解：（1）一摩爾物質(zhì)定容熱容量為：Cv =ucv,對理想氣體來說：Cv = (t+r+2s)R分子質(zhì)量m = = ?= (t+r+2s)R?= (t+r+2s) ? (Cv=75cal/kg?k)(2) 氬是單原子分子，故Cv = R =3(Cal/mol?K)故氬的原子量u= = 102(Kg/mol)分子質(zhì)量m= = 1026(Kg)330 某種氣體的分子由四個原子組成，它們分別處在正四面體的四個頂點：（1）求這種分子的平動、轉(zhuǎn)動和振動自由度數(shù)。（2）根據(jù)能均分定理求這種氣體的定容摩爾熱容量。解：（1）因n個原子組成的分子最多有3n個自由度。其中3個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，3n1個是振動自由度。這里n=4，故有12個自由度。其中3個平動、個轉(zhuǎn)動自由度，6個振動自由度。(2) 定容摩爾熱容量：Cv= (t+r+2s)R = 182= 18（Cal/mol?K）第四章 氣體內(nèi)的輸運(yùn)過程4－ ， 時的平均自由程為 m，求氫分子的有效直徑。解：由 ＝ 得：＝ 代入數(shù)據(jù)得： （m）4－ ，求其在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程和連續(xù)兩次碰撞間的平均時間。解： ＝ 代入數(shù)據(jù)得： － （m） ＝ 代入數(shù)據(jù)得： ＝ （s）4－ m，求其碰撞頻率，已知：（1）氧氣的溫度為300K，； （2）氧氣的溫度為300K， atm解：由 ＝ 得 ＝ ＝ 代入數(shù)據(jù)得： ＝ （ ） （ ）4－ 時的平均自由程為 。 （1）已知分子的有效直徑為 ，求氣體的壓強(qiáng)。 （2）求分子在 的路程上與其它分子的碰撞次數(shù)。 解：（1）由 得： 代入數(shù)據(jù)得： （2）分子走 路程碰撞次數(shù) （次）4－ 下，癢分子的平均自由程為 ，在什么壓強(qiáng)下，其平均自由程為 ？設(shè)溫度保持不變。 解：由 得 4－ HG，設(shè)氣體分子的有效直徑為 ，求 時單位體積內(nèi)的分子數(shù)，平均自由程和碰撞頻率。 解： （2） （3）若電子管中是空氣，則 4－ 壓強(qiáng)為 時，氬分子和氖分子的平均自由程分別為 和 ，問： （1）氬分子和氖分子的有效直徑之比是多少？ （2） 時， 為多大？ （3） 時， 為多大？解：（1）由 得： （2）假設(shè)氬分子在兩個狀態(tài)下有效直徑相等，由 得： （3）設(shè)氖氣分子在兩個狀態(tài)下有效直徑相等，與（2）同理得： 4－，電子不斷與氣體分子相碰撞，因電子的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以后者可以認(rèn)為是靜止不動的。設(shè)電子的“有效直徑”比起氣體分子的有效直徑 來可以忽略不計。 （1）電子與氣體分子的碰撞截面 為多大？ （2）證明：電子與氣體分子碰撞的平均自由程為： ，n為氣體分子的數(shù)密度。解：（1）因為電子的有效直徑與氣體分子的有效直徑相比，可以忽略不計，因而可把電子看成質(zhì)點。又因為氣體分子可看作相對靜止，所以凡中心離電子的距離等于或小于 的分子都能與電子相碰，且碰撞截面為： （2）電子與氣體分子碰撞頻率為： （ 為電子平均速率） 4－ 試證明：一個分子在連續(xù)兩次碰撞之間所走路程至少為x的幾率是 解：根據(jù) （）式知在 個分子中自由程大于x的分子占總分子數(shù)的比率為 ＝ 由幾率概念知：對于一個分子，自由程大于x的幾率為 ，故一個分子連續(xù)兩次碰撞之間所走路程至少為x的幾率是 。4－、在10000段自由程中，（1）有多少段長于10cm？（2）有多少段長于50cm？（3）有多少段長于5cm而短于10cm？（4）？（5）有多少段長度剛好為10cm？解： 個分子中按不同自由程分布的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率與一個分子在 段自由程中按不同自由程分布幾率相同，即 個分子在某一自由程的分子數(shù)就是 段自由程中具有這個自由程的段數(shù)。故可表示自由程長于x的段數(shù)（1）設(shè)長于10cm的段數(shù)為 ，總段數(shù)為 ＝ （段）（2）設(shè)長于50cm的段數(shù)為 ＝ （段）（3）設(shè)長于5cm短于10cm的段數(shù)為 （段）（4） （段） （5）按統(tǒng)計規(guī)律，不能確定長度剛好為10cm的有多少段。4－，問經(jīng)過多少時間后其中還能保留一半未與其它分子相碰。設(shè)氧分子都以平均速率運(yùn)動，氧氣的溫度為300K。解：考慮分子在t時間內(nèi)走了x路程未被碰的分子數(shù)與總分子數(shù)中自由程大于x的分子數(shù)相等。設(shè)自由程大于x的分子數(shù)為N，則 （s）4－（用mmHg表示），才能保證從陰極發(fā)射出來的電子有90％能達(dá)到20cm遠(yuǎn)處的陽極，而在中途不與空氣分子相碰？解：設(shè)從陰極發(fā)射出來的電子有 個，自由程大于20cm的電子有N個，則 故 由本章第8題知：若溫度為 ，因空氣的主要成分是氮氣，故由《熱學(xué)》 例題1得空氣分子的有效直徑的近似值： 代入數(shù)據(jù)得：4－ 的氣體。在電子槍前相距x處放置一收集電極，用來測定能自由通過（即不與氣體分子相碰）這段距離的電子數(shù)。已知電子槍發(fā)射電子流強(qiáng)度為 （微安）當(dāng)氣壓 ，x＝10cm時，到達(dá)收集極的電子流強(qiáng)度為 。（1）電子的平均自由程為多大？（2）當(dāng)氣壓降到 時，到達(dá)收集極的電子流為多大？解：由于電子流強(qiáng)度與電子數(shù)成正比，所以有 ， 是自由程大于x的電子在收集極引起的電子流強(qiáng)度。（1） （2）由上題知： 得： 4－ 時的沾次滯系數(shù)為 試計算氮分子的有效直徑，已知氮的分子量為28。解：由《熱學(xué)》（）式知：代入數(shù)據(jù)得：4－ 時的導(dǎo)熱系數(shù)為 ，定容摩爾熱容量為： ，試計算氮分子的有效直徑解：由《熱學(xué)》（）式 代入數(shù)字得：4－： 、 求氧分子的平均自由程。 解： 代入數(shù)據(jù)得 4－，它們在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)嗲的沾滯系數(shù)分別為 和 ，求：（1）氬分子與氦分子的碰撞截面之比 ；（2）氬氣與氦氣的導(dǎo)熱系數(shù)之比 ；（3）氬氣與氦氣的擴(kuò)散系數(shù)之比 。解：已知 （1）根據(jù) （2） 由于氮氬都是單原子分子，因而摩爾熱容量C相同 （3） 現(xiàn)P、T都相同， 4－，截面積為 的管子貯有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的 氣，一半 分子中的C原子是放射性同位素 ，在 時放射性分子密集在管子左端，其分子數(shù)密度沿著管子均勻地減小，到右端減為零。（1）開始時，放射性氣體的密度梯度是多少？（2）開始時，每秒有多少個放射性分子通過管子中點的橫截面從左側(cè)移往右側(cè)？（3）有多少個從右側(cè)移往左側(cè)？（4）開始時，每秒通過管子截面擴(kuò)散的放射性氣體為多少克？解：已知管子長l＝，截面積 （1）由題知、開始時左端全部是放射性分子，單位體積分子數(shù)為n，而右端則為零。故放射性氣體密度梯度： 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下任何氣體單位體積的分子數(shù)為： （2）根據(jù)擴(kuò)散現(xiàn)象的微觀解釋知，在 時間內(nèi)通過中點ds由左移到右的分子數(shù)為〔N中－ 中 〕dsdt參看《熱學(xué)》（4－1）表，可取 cm。因為管很細(xì)，可假設(shè)在開始1秒內(nèi) 近似不變，則在1秒內(nèi)從左端通過S面移往右端的分子數(shù)代入數(shù)據(jù)得（個）（3）同理可得1秒內(nèi)從右端通過S面移往左端的放射性分子數(shù)： （個）（4）每秒通過S面擴(kuò)散的放射性分子數(shù)（個）故每秒通過S面擴(kuò)散的放射性氣體質(zhì)量4－，在圓柱體外面套上一個共軸的圓筒，兩者之間充以空氣。當(dāng)圓筒以一定的角速度轉(zhuǎn)動時，由于空氣的沾滯作用，圓柱體將受到一個力距 由懸絲的扭轉(zhuǎn)程度可測定此力距，從而求出空氣的沾滯系數(shù)。設(shè)圓柱體的半徑為R，圓筒的半徑為 ，兩者的長度均為L，圓筒的角速度為 ，試證明： ， 是待測的沾滯系數(shù)。證明：氣體與圓柱相互作用的沾滯力為： 只考慮平衡時的情況，可以近似地認(rèn)為圓柱體不動，圓筒的轉(zhuǎn)速為： 設(shè)緊靠圓筒的那些分子流速與圓筒轉(zhuǎn)動速度相同 由牛頓沾滯定律知，圓柱體所受沾滯力圓柱體側(cè)面積4－，其間充滿氫氣，若氫氣的沾滯系數(shù)為 ，問外筒的轉(zhuǎn)速多大時才能使不動的內(nèi)筒受到107dyn的作用力？解：由上題結(jié)果知：其中 則代入數(shù)據(jù)得： （弧度/秒）4－，兩筒的長度均為L，內(nèi)筒和外筒的半徑分別為 和 ，內(nèi)筒和外筒分別保持在恒定的溫度 和 ，且 ，已知兩筒間空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為K，試證明：每秒由內(nèi)筒通過空氣傳到外筒的熱量為： 證明：由付里葉定律： 則在單位時間內(nèi)通過以r為半徑的柱面的熱量為： 由于 且 、 是恒量故由 面?zhèn)鞯?面的熱量也是一恒量，故上式兩端積分得： 第五章 熱力學(xué)第一定律5－ 升為 ，若在升溫過程中：（1）體積保持不變；（2）壓強(qiáng)保持不變；（3）不與外界交換熱量，試分別求出氣體內(nèi)能的改變，吸收的熱量，外界對氣體所作的功，設(shè)氦氣可看作理想氣體，且 ，解：理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，一過程中氣體溫度的改變相同，所以內(nèi)能的改變也相同，為：熱量和功因過程而異，分別求之如下：（1）等容過程：V=常量 A＝0由熱力學(xué)第一定律， （2）等壓過程：由熱力學(xué)第一定律，負(fù)號表示氣體對外作功，（3）絕熱過程Q＝0由熱力學(xué)第一定律 5－；（1）等溫過程；（2）絕熱過程；（3）等壓過程，試分別求出在這些過程中氣體內(nèi)能的改變，傳遞的熱量和外界對氣體所作的功，設(shè)氮氣可看作理想氣體，且 ，解：把上述三過程分別表示在PV圖上，（1）等溫過程理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，過程中溫度不變，故由熱一、 負(fù)號表示系統(tǒng)向外界放熱（2）絕熱過程由 或 得由熱力學(xué)第一定律 另外，也可以由 及 先求得A（3）等壓過程，有或 而 所以 ＝ ＝ ＝ 由熱力學(xué)第一定律，也可以由 求之另外，由計算結(jié)果可見，等壓壓縮過程，外界作功，系統(tǒng)放熱，內(nèi)能減少，數(shù)量關(guān)系為，系統(tǒng)放的熱等于其內(nèi)能的減少和外界作的功。5－3 ，分別經(jīng)過下列過程從外界吸收了80cal的熱量。（1）若為等溫過程，求終態(tài)體積。（2）若為等容過程，求終態(tài)壓強(qiáng)。（3）若為等壓過程，求氣體內(nèi)能的變化。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且 解：（1）等溫過程 則故 （2）等容過程 （3）等壓過程 5－4 為確定多方過程方程 中的指數(shù)n，通常取 為縱坐標(biāo)， 為橫坐標(biāo)作圖。試討論在這種圖中多方過程曲線的形狀，并說明如何確定n。解： 將 兩邊取對數(shù) 或 比較 知在本題圖中多方過程曲線的形狀為一直線，如圖所示。直線的斜率為 可由直線的斜率求n?；?即n可由兩截距之比求出。5－5 室溫下一定量理想氣體氧的體積為 ，壓強(qiáng)為 。經(jīng)過一多方過程后體積變?yōu)?，壓強(qiáng)為 。試求：（1）多方指數(shù)n；（2）內(nèi)能的變化；（3）吸收的熱量；（4）氧膨脹時對外界所作的功。設(shè)氧的 。解：（1） 或 取對數(shù)得（2） ＝ 內(nèi)能減少。（3） （4）由熱力學(xué)第一定律 也可由 求 5－6 一摩爾理想氣體氦，原來的體積為 ，溫度為 ，設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程體積被壓縮為 ，求在壓縮過程中，外界對系統(tǒng)所作的功。設(shè)氦氣的 。解： 由熱力學(xué)第一定律5－7 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的 氧氣，經(jīng)過一絕熱過程對外作功 。求終態(tài)壓強(qiáng)、體積和溫度。設(shè)氧氣為理想氣體，且 ， 解：絕熱 由熱力學(xué)第一定律 5－。原來溫度為 ，若（1）；（2）先經(jīng)過等溫過程再經(jīng)過等容過程達(dá)到與（1）同樣的終態(tài)。試分別計算在以上兩種過程中外界對氣體所作的功。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且 。解：如圖，將兩種過程在 圖上表示。 （1）絕熱過程 負(fù)號表示系統(tǒng)對外界作功 （2） 等容過程外界對氣體不作功 ＝ ，一摩爾單原子理想氣體先經(jīng)過一絕熱過程，再經(jīng)過一等溫過程，最后壓強(qiáng)和體積均為原來的兩倍，求整個過程中系統(tǒng)吸收的熱量。若先經(jīng)過等溫過程再經(jīng)過絕熱過程而達(dá)到同樣的狀態(tài)，則結(jié)果是否相同？解：（1）先絕熱壓縮再等溫膨脹，從態(tài)1到態(tài)2如圖，對態(tài)2 又，僅等溫過程吸熱 （2）先等溫膨脹再絕熱壓縮，氣體從態(tài)1到態(tài)2，如圖由（1）知 又 ＝ 僅等溫過程態(tài)1到態(tài)4吸熱，＝273ln16＝ J可見，結(jié)果與(1)中不同，說明熱量是過程量。5－，求下列過程中氣體所吸收的熱量： （1）；（2）先等容冷卻再等壓膨脹到（1）所達(dá)到的終態(tài)。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且 。解：（