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線代第二章答案(編輯修改稿)

2024-10-10 21:17 本頁面
　

【文章內容簡介】 ? 由對角矩陣的性質知 ??????????????????naaaA10011211?? 12? 解下列矩陣方程 ? (1) ?????? ???????? 12 6431 52 X ? 解 ?????? ???????? ? 12 6431 52 1X ?????? ???????? ?? 12 6421 53 ?????? ?? 80 232 ? (2) ?????? ????????????234 311111 012112X ? 解 1111 012112234 311???????????????????X ????????? ???????? ??033 232101234 31131 ???????? ????32538122 ? (3) ?????? ???????????????? 10 1311 0221 41 X ? 解 11 11 0210 1321 41 ?? ????????????? ?????????X ???????????? ??????? ?? 21 0110 1311 42121 ????????????? 21 0103 66121 ????????? 04111 ? (4) ????????? ???????????????????021 102341010 100001100 001010 X ? 解 11010 100001021 102341100 001010 ??????????????????? ???????????X ????????????????? ???????????010 100001021 102341100 001010????????????201 431012 ? 13? 利用逆矩陣解下列線性方程組 ? (1)???????? ??????353 2522132321321321xxx xxxxxx ? 解 方程組可表示為 ?????????????????????????321153 522321321xxx ? 故 ?????????????????????????????????? ?001321153 522321 1321xxx ? 從而有 ????????001321xxx ? (2)???????? ??????0523 1322321321321xxx xxxxxx ? 解 方程組可表示為 ??????????????????????????????012523 312111321xxx? 故 ??????????????????????????????????????? ?305012523 312111 1321xxx ? 故有 ????????305321xxx ? 14? 設 Ak?O (k 為正整數(shù) )? 證明 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1? 證明 因為 Ak?O ? 所以 E?Ak?E? 又因 為 E?Ak?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)? 所以 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E? 由定理 2 推論知 (E?A)可逆 ? 且 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1? 證明 一方面 ? 有 E?(E?A)?1(E?A)? 另一方面 ? 由 Ak?O? 有 E?(E?A)?(A?A2)?A2?? ? ??Ak?1?(Ak?1?Ak) ?(E?A?A2?? ? ??A k?1)(E?A)? 故 (E?A)?1(E?A)?(E?A?A2?? ? ??Ak?1)(E?A)? 兩端同時右乘 (E?A)?1? 就有 (E?A)?1(E?A)?E?A?A2?? ? ??Ak?1? 15? 設方陣 A滿足 A2?A?2E?O? 證明 A 及 A?2E都可逆 ? 并求 A?1及 (A?2E)?1? 證明 由 A2?A?2E?O 得 A2?A?2E? 即 A(A?E)?2E? 或 EEAA ??? )(21 ? 由定理 2 推論知 A 可逆 ? 且 )(211 EAA ??? ? 由 A2?A?2E?O 得 A2?A?6E??4E? 即 (A?2E)(A?3E)??4E? 或 EAEEA ???? )3(41)2( 由定理 2 推論知 (A?2E)可逆 ? 且 )3(41)2( 1 AEEA ??? ? ? 證明 由 A2?A?2E?O 得 A2?A?2E? 兩端同時取行列式得 |A2?A|?2? 即 |A||A?E|?2? 故 |A|?0? 所以 A 可逆 ? 而 A?2E?A2? |A?2E|?|A2|?|A|2?0? 故 A?2E 也可逆 ? 由 A2?A?2E?O ?A(A?E)?2E ?A?1A(A?E)?2A?1E? )(211 EAA ??? ? 又由 A2?A?2E?O?(A?2E)A?3(A?2E)??4E ? (A?2E)(A?3E)??4 E? 所以 (A?2E)?1(A?2E)(A?3E)??4(A?2 E)?1?
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