【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理。人們?cè)鯓訉で笳胬聿⒆C明其是真理呢？在此，希臘人也繪出了方案。這個(gè)方案在從公元前 600年到公元前 300年這段時(shí)期逐漸發(fā)展，它是何時(shí)由何人最先提出尚無(wú)定論，但到公元前 300年，它已經(jīng)相當(dāng)完善了。從廣義的、使用數(shù)字和幾何圖形這方面來(lái)看，數(shù)學(xué)早于古典時(shí)期希臘人的研究幾千年就開(kāi)始形成了。廣義來(lái)講數(shù)學(xué)包括了許多已經(jīng)消失了的文明（最有名的有埃及文明和巴比倫文明）的貢獻(xiàn)。除了希臘文明外，在其他文明中數(shù)學(xué)并不是一個(gè)獨(dú)立體系，它沒(méi)有形成一套方法，僅為了直接而實(shí)用的目的被研究。它是一種工具，是一系列相互無(wú)關(guān)的、簡(jiǎn)單的、幫助人們解決日常問(wèn)題的規(guī)則，如推算日歷、農(nóng)業(yè)和商業(yè)往來(lái)。這些規(guī)則是由試探、錯(cuò)誤、經(jīng)驗(yàn)和簡(jiǎn)單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。這些文明中的數(shù)學(xué)的最優(yōu)之處在于，它顯示了思維的某些活力和堅(jiān)韌，盡管不嚴(yán)格，成就也遠(yuǎn)非輝煌。這類數(shù)學(xué)的特點(diǎn)可用經(jīng)驗(yàn)主義一言蔽之。巴比倫人和埃及人的經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)為希臘人的研究工作揭開(kāi)序幕。雖然希臘文明沒(méi)有完全脫離外界影響——希臘思想家們?cè)诎＜昂桶捅葌愑螝v學(xué)習(xí)——盡管現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)必須經(jīng)受希臘的理性氛圍的熏陶，希臘人的創(chuàng)造與他們所吸收的知識(shí)卻有天壤之別。希臘人已決心探索數(shù)學(xué)真理，他們不能把工作建筑在前人（有名的埃及人和巴比倫人）粗糙的、經(jīng)驗(yàn)主義的、有限的、零散的，在很多情況下是不精確的成果之上。數(shù)學(xué)原本是一些關(guān)于數(shù)字和幾何圖案的基本事實(shí)，必然是一個(gè)真理體系。數(shù)學(xué)推理旨在推導(dǎo)出關(guān)于自然現(xiàn)象，如天體運(yùn)動(dòng)的真理，必然得出不容置疑的結(jié)論。怎樣達(dá)到這些目的？數(shù)學(xué)的本原應(yīng)是處理抽象對(duì)象。對(duì)于創(chuàng)造了希臘數(shù)學(xué)的哲學(xué)家來(lái)說(shuō)，嚴(yán)格的真理只適用于永恒不變的實(shí)體以及關(guān)系。幸運(yùn)的是，人類由對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)得到的認(rèn)識(shí)可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現(xiàn)實(shí)和思想的真實(shí)載體。青睞抽象還有一個(gè)原因，欲使數(shù)學(xué)更強(qiáng)有力，就必須在一個(gè)抽象概念中包涵它所表示實(shí)物的本質(zhì)特征。從而數(shù)學(xué)上的直線必須包括拉伸的繩子、直尺邊、田地的邊界和光線的路徑。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)上的直線沒(méi)有粗細(xì)、顏色、分子結(jié)構(gòu)和繃緊度之分。希臘人明確地指出數(shù)學(xué)是處理抽象事物的。柏拉圖在《共和國(guó)》中提及幾何學(xué)家：你是否也知道，他們雖利用可見(jiàn)的形象并拿來(lái)進(jìn)行推理，但他們想的并不是這些東西，而是類似于這些東西的理想形象：他們所看到的不是所畫(huà)的圖形，而是絕對(duì)正方形及絕對(duì)直徑……。他們力求看到事物本質(zhì)，而這只有用心靈之目才能看到。因而數(shù)學(xué)首先處理點(diǎn)、線和整數(shù)等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來(lái)定義，而基本概念正如亞里士多德所說(shuō)應(yīng)該是不可定義的，否則就沒(méi)有起始點(diǎn)。希臘人的精明之處表現(xiàn)在，他們要求被定義的概念應(yīng)有現(xiàn)實(shí)的對(duì)應(yīng)物體，或是論證得到或是構(gòu)造得到。因而人們無(wú)法定義三等分角并證明有關(guān)它的定理，它可能并不存在。實(shí)際上，由于希臘人無(wú)法在他們自己提出的作圖條件下三等分角，他們就沒(méi)有引入這個(gè)概念。為了推導(dǎo)出數(shù)學(xué)概念，希臘人從自明的、無(wú)人懷疑的公理入手。柏拉圖用他的回憶理論證明了公理的可行性。正如我們前面提到過(guò)的，他認(rèn)為存在一個(gè)真理的客觀世界。人在出世前有過(guò)精神世界的經(jīng)歷，只要激發(fā)一下就可以回憶起以前的經(jīng)歷從而認(rèn)識(shí)到幾何學(xué)公理是真理，這并不需要實(shí)踐。但亞里士多德并不這樣認(rèn)為，他認(rèn)為公理是可理解的原理，符合思維而沒(méi)有什么可懷疑的。亞里士多德在《后驗(yàn)分析》中指出，我們憑著絕對(duì)可靠的直覺(jué)認(rèn)識(shí)到公理是真理，而且，我們必須以這些公理作為推導(dǎo)的基礎(chǔ)。相反，如果使用了一些并未證明是真理的事實(shí)，下一步推理就需要證明這些事實(shí)，而這一過(guò)程是無(wú)限循環(huán)的，那么這就變成了永無(wú)止境的回退。他又區(qū)分了公理和公設(shè)，公理對(duì)所有思想領(lǐng)域皆真，包括“等量加等量還是等量”這樣的命題。公設(shè)則適用于專業(yè)學(xué)科，如幾何學(xué)。從而有，“兩點(diǎn)決定一條唯一的直線”。亞里士多德也的確指出公設(shè)無(wú)需一望便知其為真，但應(yīng)被其所推出的結(jié)果所支持。然而這種不證自得的真理是數(shù)學(xué)家所需要的。從公理出發(fā)，可用推理得出結(jié)論。有多種推理方法，比如，歸納、類比和演繹，其中只有一種能夠證明結(jié)論的正確性。由一千只蘋(píng)果都是紅的而得出蘋(píng)果都是紅的這個(gè)結(jié)論，是歸納，不一定可靠。類似的，由于約翰的兄弟已從大學(xué)畢業(yè)，而約翰受教于同樣的老師，所以也應(yīng)該能從大學(xué)畢業(yè)，這是由類比推出的推理，當(dāng)然也是不可靠的。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會(huì)死這樣的結(jié)論。這里所涉及到的邏輯，亞里士多德稱之為三段式演繹法。在亞里士多德的其他推理規(guī)則中，還有歸謬法（一個(gè)命題不可能既真又假）及排中律（一個(gè)命題必須為真或假）。他和世人都毫無(wú)疑問(wèn)地承認(rèn)這些推理原理用于任一前提時(shí)，推導(dǎo)出的結(jié)果和前提一樣可靠。因此，如果前提為真，則結(jié)論也為真。值得一提的是，后面我們將要討論的，亞里士多德從已為數(shù)學(xué)家所應(yīng)用的推理方法中抽象出了演繹邏輯法。雖然幾乎所有希臘哲學(xué)家都宣稱演繹推理是獲取真理的唯一可靠方法，柏拉圖的觀點(diǎn)卻有些不同。他雖然不否定演繹證明，卻認(rèn)為沒(méi)必要。因?yàn)閿?shù)學(xué)公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據(jù)柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認(rèn)他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在《西艾泰德斯》一書(shū)中的比喻來(lái)說(shuō)，定理，就像關(guān)在鳥(niǎo)籠中的鳥(niǎo)。它們呆在那里，你只須伸手進(jìn)去抓住它們。學(xué)習(xí)就是一個(gè)收集的過(guò)程。在柏拉圖的對(duì)話《梅農(nóng)》里，通過(guò)巧妙地詢問(wèn)一個(gè)年輕奴隸，蘇格拉底證實(shí)了同底等高的正方形面積是等腰三角形面積的兩倍。從而蘇格拉底成功地得出結(jié)論，即便是沒(méi)有受過(guò)幾何學(xué)訓(xùn)練的奴隸也可以在適當(dāng)?shù)奶崾鞠禄貞浧饋?lái)。認(rèn)識(shí)到人們是多么堅(jiān)定相信演繹推理是很重要的。假設(shè)一位科學(xué)家在不同地區(qū)測(cè)量了一百個(gè)形狀大小不同的三角形，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和在實(shí)驗(yàn)精度允許范圍內(nèi)都是 180176。，他當(dāng)然可以下結(jié)論，任何三角形的內(nèi)角和都是 180176。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數(shù)學(xué)上不會(huì)被認(rèn)可。同樣，只要你高興，你可以檢驗(yàn)任意多的偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和，但這種檢驗(yàn)也不是演繹證明，因而結(jié)果也不是數(shù)學(xué)定理。那么看來(lái)，演繹證明是一種很嚴(yán)格的要求。但是，希臘的數(shù)學(xué)家們，他們（主要是哲學(xué)家）堅(jiān)持一定要用演繹推理，因?yàn)檫@樣可以得到真理，永恒的真理。哲學(xué)家們偏愛(ài)演繹推理還有一個(gè)原因，他們致力于理解人類和物質(zhì)世界的廣泛知識(shí)。為了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有為而生之，從可接受的基本原理進(jìn)行演繹推理要比用歸納或類比，更加可行。古希臘人喜愛(ài)演繹法的另一個(gè)原因應(yīng)歸結(jié)于他們的社會(huì)構(gòu)成。富有階層進(jìn)行哲學(xué)、數(shù)學(xué)和藝術(shù)活動(dòng)，這些人不干體力勞動(dòng)。奴隸、非公民和自由手工業(yè)者，從事商業(yè)和家務(wù)勞動(dòng)，甚至從事最重要的職業(yè)。受過(guò)教育的自由人不動(dòng)手，很少進(jìn)行商貿(mào)活動(dòng)。柏拉圖認(rèn)為商貿(mào)活動(dòng)，對(duì)于自由人來(lái)說(shuō)是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。亞里士多德認(rèn)為在理想條件下公民（與奴隸相對(duì)）不應(yīng)從事任何商業(yè)。在畢歐欽人（Boeotian，希臘人的一個(gè)部落）中，用商務(wù)來(lái)褻瀆自己的人十年內(nèi)不得擔(dān)任公職。對(duì)于這種階層里的思想家，是不用實(shí)驗(yàn)和觀察的，因此也無(wú)法從中獲得科學(xué)或數(shù)學(xué)結(jié)論。雖然希臘人堅(jiān)持運(yùn)用演繹推理的原因很多，但還有一個(gè)問(wèn)題，即：是哪個(gè)哲學(xué)家或哲學(xué)派別首先提出這個(gè)要求的。遺憾的是，我們對(duì)于蘇格拉底時(shí)代以前的哲學(xué)家們的學(xué)說(shuō)和著作的認(rèn)識(shí)是零碎的，盡管眾說(shuō)紛紜，卻無(wú)定論。到了亞里士多德時(shí)代，對(duì)演繹推理的要求已經(jīng)確定，因?yàn)樗U明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。希臘人欲得到宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律，他們?cè)谶@方面成就如何呢？由歐幾里得、阿波羅紐斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)的精華有幸傳給了我們。在時(shí)間上他們屬于希臘文化的第二個(gè)重要時(shí)期，亞歷山大里亞時(shí)期（公元前 300年—公元 600年）。在公元前 4世紀(jì)，馬其頓的菲利浦王著手征服波斯人，后者控制了近東，是歐洲希臘人的世敵。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。亞歷山大擊敗了波斯人，把擴(kuò)大的希臘帝國(guó)的文化中心遷到了一個(gè)他謙虛地以自己名字命名的新城市。亞歷山大死于公元前 323年，但他發(fā)展新中心的計(jì)劃由其在埃及接受了托勒密王號(hào)的后繼者繼續(xù)?？梢钥隙W幾里得約于公元前 300年生活在亞歷山大里亞，在那里教育學(xué)生，雖然他自己也許是在柏拉圖學(xué)院完成了學(xué)業(yè)。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個(gè)人生活的全部。歐幾里得著作具有系統(tǒng)、演繹的形式，是許多古希臘人孤立發(fā)現(xiàn)的匯合，他們的主要著作《幾何原本》給出了空間和空間中圖形的規(guī)律。歐幾里得的《原本》是他對(duì)空間幾何的全部貢獻(xiàn)。歐幾里得從一本已失傳的書(shū)中接收了圓錐曲線的理論，在亞歷山大里亞學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小亞細(xì)亞拍加人阿波羅紐斯，繼續(xù)其關(guān)于拋物線、橢圓和雙曲線的研究，并寫(xiě)出了這方面的經(jīng)典著作《圓錐曲線》。在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對(duì)純幾何學(xué)知識(shí)增添了幾本著作《論球和圓柱》，論《劈錐曲面體與球體》，《拋物線的求積》。他都是用歐多克斯（Eudoxus）提出的方法來(lái)計(jì)算復(fù)雜的面積和體積，后來(lái)被稱作窮竭法?，F(xiàn)在這些問(wèn)題可用微積分來(lái)解決。希臘人對(duì)空間和空間圖形的研究，作出了一個(gè)重要貢獻(xiàn)——三角學(xué)。這一學(xué)科的創(chuàng)始人是喜帕恰斯。他生活在羅德斯和亞歷山大里亞，約死于公元前 125年。三角學(xué)由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）發(fā)展，并由在亞歷山大亞里工作的埃及人托勒密給出完整的、權(quán)威的描述。他的主要著作《數(shù)學(xué)匯編》，阿拉伯人稱之為《大匯編》，知名度更廣。三角學(xué)研究三角形邊、角的量化關(guān)系。希臘人主要關(guān)注球面上的三角形，其邊是由大圓（圓心在球心）弧組成的。因?yàn)樵谙ＥD天文學(xué)中，行星和恒星沿大圓運(yùn)行，所以他們的三角學(xué)，主要應(yīng)用于行星和恒星的運(yùn)動(dòng)。同一理論加以改變，又可用于平面上的三角形，這正是我們現(xiàn)在學(xué)校里所學(xué)的那種三角學(xué)形式。三角學(xué)的引入要求其使用者具有較高深的算術(shù)和某些代數(shù)知識(shí)。希臘人怎樣在這些領(lǐng)域內(nèi)工作的，我們將在后面討論（見(jiàn)第五章）。借助于這樣一些發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)從模糊的、經(jīng)驗(yàn)的割裂狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為輝煌的、龐大的、系統(tǒng)化的和充滿智慧的創(chuàng)造物。然而，歐幾里得、阿波羅紐斯和阿基米得的經(jīng)典著作（托勒密的《大匯編》是個(gè)例外）所涉及到的空間及空間圖形的性質(zhì)卻囿于視野之內(nèi)，對(duì)其中所蘊(yùn)含的更廣泛意義卻少有提示。這些著作似乎和揭示自然的真理無(wú)關(guān)，實(shí)際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數(shù)學(xué)。在這方面，希臘數(shù)學(xué)課本與現(xiàn)代數(shù)學(xué)課本和文獻(xiàn)沒(méi)有什么兩樣。這些書(shū)的目的僅僅是為了組織和顯示已取得的數(shù)學(xué)成果，而省略了這些工作的動(dòng)機(jī)，定理的來(lái)源和提示及其應(yīng)用。因而許多研究古希臘科學(xué)的人都認(rèn)為，古希臘這一時(shí)期的數(shù)學(xué)家主要是為了數(shù)學(xué)本身而探索數(shù)學(xué)，他們指出并證實(shí)了這個(gè)論斷，并提及歐幾里得的《原本》及阿波羅紐斯的《圓錐曲線》這兩部當(dāng)時(shí)最著名的著作。然而，就像僅憑二項(xiàng)展開(kāi)式定理就得出牛頓是一個(gè)純粹數(shù)學(xué)家的結(jié)論，他們僅憑這兩部著作就得了這個(gè)論斷，視野未必過(guò)于狹窄。真正的目的是探索自然。在物質(zhì)世界的探索中，甚至連幾何學(xué)的真理也是非常重要的。很清楚，對(duì)于希臘人，幾何學(xué)原理是宇宙的整體結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，空間是其中的基本組成部分。因而關(guān)于空間和空間圖形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何學(xué)實(shí)際上是一門(mén)更大的宇宙科學(xué)的一部分。比如，當(dāng)天文學(xué)數(shù)學(xué)化時(shí)（在柏拉圖時(shí)代出現(xiàn)），球體上的幾何學(xué)研究就著手進(jìn)行了。實(shí)際上，希臘語(yǔ)中的球一詞，對(duì)畢達(dá)哥拉斯派的人來(lái)說(shuō)，就意味著天文學(xué)。歐幾里得的《現(xiàn)象》就是專門(mén)討論用于天文學(xué)的球面幾何學(xué)的。有了這些證據(jù)和對(duì)更近代的數(shù)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r更充分的了解，我們也許可以肯定這一點(diǎn)，即科學(xué)探討必然會(huì)引起數(shù)學(xué)問(wèn)題，而數(shù)學(xué)是探索自然的一部分。我們不必專門(mén)去研究這些，只須檢驗(yàn)希臘人在探索自然中做了些什么，以及這些人中包括誰(shuí)。物理科學(xué)中最偉大的成就是在天文學(xué)上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學(xué)觀測(cè)，但卻強(qiáng)調(diào)說(shuō)他們沒(méi)有建立或統(tǒng)一理論，沒(méi)有對(duì)看上去無(wú)規(guī)律的行星運(yùn)動(dòng)作出解釋。歐多克斯（柏拉圖學(xué)園里的一名學(xué)生，其純粹幾何學(xué)工作包括在歐幾里得《原本》的第五篇和第十二篇中）著手解決“整理外觀”的問(wèn)題。他的解答是歷史上第一個(gè)相當(dāng)完備的天文學(xué)理論。我們描述歐多克斯的理論，只是為了表明它是完全徹底的數(shù)學(xué)化理論，并且涉及到天體的相互作用。這些球體，除了那個(gè)固定的恒星外，都不是物質(zhì)實(shí)體，而是數(shù)學(xué)的構(gòu)想。他也不想嘗試去描述引起球體轉(zhuǎn)動(dòng)的力，他的理論在思想上是極先進(jìn)的，因?yàn)樵诮裉欤茖W(xué)的目的就是為了尋求數(shù)學(xué)描述而不是物理解釋。在歐多克斯之后這一理論為三位最著名的理論天文學(xué)家阿波羅紐斯、喜帕恰斯和托勒密所繼承，其成果包括在托勒密的《大匯編》一書(shū)里。阿波羅紐斯關(guān)于天文學(xué)的著作現(xiàn)已失傳。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的《大匯編》（第十二篇）中廣為引用。他作為一個(gè)天文學(xué)家是如此著名以致獲得了艾普西隆（希臘字母ε的讀音）的雅號(hào)，因?yàn)樗麑?duì)月球運(yùn)動(dòng)做了許多研究工作，而ε是月球的記號(hào)。關(guān)于喜帕恰斯的工作我們只知道一點(diǎn)，他的工作也同樣地被《大匯編》引用?，F(xiàn)在我們所承認(rèn)的托勒密天文學(xué)的基本方案在歐多克斯和阿波羅紐斯時(shí)代的希臘天文學(xué)就已形成。在這種方案中，行星 P以 S為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而 S本身以地球 E為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。S運(yùn)動(dòng)的圓叫從圓，P運(yùn)動(dòng)的圓叫周轉(zhuǎn)圓。對(duì)某些行星來(lái)說(shuō)，點(diǎn) S就是太陽(yáng)，但在其他情形下則只不過(guò)是數(shù)學(xué)上假設(shè)的一個(gè)點(diǎn)。P與 S的運(yùn)動(dòng)方向可能相符，可能相反，太陽(yáng)和月球的情況就屬于后一種。托勒密也將這套方案加以變化來(lái)描述某些行星運(yùn)動(dòng)。通過(guò)適當(dāng)選取周轉(zhuǎn)圓和從圓的半徑以及天體在周轉(zhuǎn)圓上的和周轉(zhuǎn)圓心在從圓上的運(yùn)動(dòng)速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天體運(yùn)動(dòng)與那時(shí)的觀測(cè)結(jié)果十分吻合。從喜帕恰斯時(shí)代起，人們就能預(yù)報(bào)月蝕，誤差不超過(guò)一兩小時(shí)，但對(duì)日蝕的預(yù)報(bào)卻不那么準(zhǔn)。這種預(yù)報(bào)之所以可能，是托勒密運(yùn)用了他稱之為專門(mén)為天文學(xué)而發(fā)明的三角學(xué)。圖 從探求真理的觀點(diǎn)來(lái)看，值得提及的是托勒密和歐多克斯一樣，充分認(rèn)識(shí)到他的理論只是符合觀測(cè)結(jié)果的方便的數(shù)學(xué)化描述，而不一定是自然的真正設(shè)計(jì)。對(duì)于某些行星，他有幾種可供選擇的方案，他選擇了數(shù)學(xué)上較簡(jiǎn)單的那個(gè)。托勒密在他的著作《大匯編》的第十三篇中說(shuō)，在天文學(xué)上，人們應(yīng)尋求盡可能簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。但托勒密的數(shù)學(xué)模型，被基督教接受為真理。托勒密的理論提供了第一個(gè)相當(dāng)完整的證據(jù)，說(shuō)明自然是一致的而且具有不變的規(guī)律，而且也是希臘人對(duì)柏拉圖提出的合理解釋表觀天體運(yùn)動(dòng)這一問(wèn)題的最后解答。在整個(gè)希臘時(shí)期沒(méi)有任何一部著作能像《大匯編》那樣對(duì)宇宙的看法有如此深遠(yuǎn)的影響，并且除了歐