【文章內(nèi)容簡介】 理。人們怎樣尋求真理并證明其是真理呢？在此，希臘人也繪出了方案。這個方案在從公元前 600年到公元前 300年這段時期逐漸發(fā)展，它是何時由何人最先提出尚無定論，但到公元前 300年，它已經(jīng)相當完善了。從廣義的、使用數(shù)字和幾何圖形這方面來看，數(shù)學早于古典時期希臘人的研究幾千年就開始形成了。廣義來講數(shù)學包括了許多已經(jīng)消失了的文明（最有名的有埃及文明和巴比倫文明）的貢獻。除了希臘文明外，在其他文明中數(shù)學并不是一個獨立體系，它沒有形成一套方法，僅為了直接而實用的目的被研究。它是一種工具，是一系列相互無關(guān)的、簡單的、幫助人們解決日常問題的規(guī)則，如推算日歷、農(nóng)業(yè)和商業(yè)往來。這些規(guī)則是由試探、錯誤、經(jīng)驗和簡單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。這些文明中的數(shù)學的最優(yōu)之處在于，它顯示了思維的某些活力和堅韌，盡管不嚴格，成就也遠非輝煌。這類數(shù)學的特點可用經(jīng)驗主義一言蔽之。巴比倫人和埃及人的經(jīng)驗主義數(shù)學為希臘人的研究工作揭開序幕。雖然希臘文明沒有完全脫離外界影響——希臘思想家們曾在埃及和巴比倫游歷學習——盡管現(xiàn)代意義上的數(shù)學必須經(jīng)受希臘的理性氛圍的熏陶，希臘人的創(chuàng)造與他們所吸收的知識卻有天壤之別。希臘人已決心探索數(shù)學真理，他們不能把工作建筑在前人（有名的埃及人和巴比倫人）粗糙的、經(jīng)驗主義的、有限的、零散的，在很多情況下是不精確的成果之上。數(shù)學原本是一些關(guān)于數(shù)字和幾何圖案的基本事實，必然是一個真理體系。數(shù)學推理旨在推導出關(guān)于自然現(xiàn)象，如天體運動的真理，必然得出不容置疑的結(jié)論。怎樣達到這些目的？數(shù)學的本原應是處理抽象對象。對于創(chuàng)造了希臘數(shù)學的哲學家來說，嚴格的真理只適用于永恒不變的實體以及關(guān)系。幸運的是，人類由對事物的感性認識得到的認識可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現(xiàn)實和思想的真實載體。青睞抽象還有一個原因，欲使數(shù)學更強有力，就必須在一個抽象概念中包涵它所表示實物的本質(zhì)特征。從而數(shù)學上的直線必須包括拉伸的繩子、直尺邊、田地的邊界和光線的路徑。相應地，數(shù)學上的直線沒有粗細、顏色、分子結(jié)構(gòu)和繃緊度之分。希臘人明確地指出數(shù)學是處理抽象事物的。柏拉圖在《共和國》中提及幾何學家：你是否也知道，他們雖利用可見的形象并拿來進行推理，但他們想的并不是這些東西，而是類似于這些東西的理想形象：他們所看到的不是所畫的圖形，而是絕對正方形及絕對直徑……。他們力求看到事物本質(zhì)，而這只有用心靈之目才能看到。因而數(shù)學首先處理點、線和整數(shù)等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來定義，而基本概念正如亞里士多德所說應該是不可定義的，否則就沒有起始點。希臘人的精明之處表現(xiàn)在，他們要求被定義的概念應有現(xiàn)實的對應物體，或是論證得到或是構(gòu)造得到。因而人們無法定義三等分角并證明有關(guān)它的定理，它可能并不存在。實際上，由于希臘人無法在他們自己提出的作圖條件下三等分角，他們就沒有引入這個概念。為了推導出數(shù)學概念，希臘人從自明的、無人懷疑的公理入手。柏拉圖用他的回憶理論證明了公理的可行性。正如我們前面提到過的，他認為存在一個真理的客觀世界。人在出世前有過精神世界的經(jīng)歷，只要激發(fā)一下就可以回憶起以前的經(jīng)歷從而認識到幾何學公理是真理，這并不需要實踐。但亞里士多德并不這樣認為，他認為公理是可理解的原理，符合思維而沒有什么可懷疑的。亞里士多德在《后驗分析》中指出，我們憑著絕對可靠的直覺認識到公理是真理，而且，我們必須以這些公理作為推導的基礎(chǔ)。相反，如果使用了一些并未證明是真理的事實，下一步推理就需要證明這些事實，而這一過程是無限循環(huán)的，那么這就變成了永無止境的回退。他又區(qū)分了公理和公設(shè)，公理對所有思想領(lǐng)域皆真，包括“等量加等量還是等量”這樣的命題。公設(shè)則適用于專業(yè)學科，如幾何學。從而有，“兩點決定一條唯一的直線”。亞里士多德也的確指出公設(shè)無需一望便知其為真，但應被其所推出的結(jié)果所支持。然而這種不證自得的真理是數(shù)學家所需要的。從公理出發(fā)，可用推理得出結(jié)論。有多種推理方法，比如，歸納、類比和演繹，其中只有一種能夠證明結(jié)論的正確性。由一千只蘋果都是紅的而得出蘋果都是紅的這個結(jié)論，是歸納，不一定可靠。類似的，由于約翰的兄弟已從大學畢業(yè)，而約翰受教于同樣的老師，所以也應該能從大學畢業(yè)，這是由類比推出的推理，當然也是不可靠的。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會死這樣的結(jié)論。這里所涉及到的邏輯，亞里士多德稱之為三段式演繹法。在亞里士多德的其他推理規(guī)則中，還有歸謬法（一個命題不可能既真又假）及排中律（一個命題必須為真或假）。他和世人都毫無疑問地承認這些推理原理用于任一前提時，推導出的結(jié)果和前提一樣可靠。因此，如果前提為真，則結(jié)論也為真。值得一提的是，后面我們將要討論的，亞里士多德從已為數(shù)學家所應用的推理方法中抽象出了演繹邏輯法。雖然幾乎所有希臘哲學家都宣稱演繹推理是獲取真理的唯一可靠方法，柏拉圖的觀點卻有些不同。他雖然不否定演繹證明，卻認為沒必要。因為數(shù)學公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據(jù)柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在《西艾泰德斯》一書中的比喻來說，定理，就像關(guān)在鳥籠中的鳥。它們呆在那里，你只須伸手進去抓住它們。學習就是一個收集的過程。在柏拉圖的對話《梅農(nóng)》里，通過巧妙地詢問一個年輕奴隸，蘇格拉底證實了同底等高的正方形面積是等腰三角形面積的兩倍。從而蘇格拉底成功地得出結(jié)論，即便是沒有受過幾何學訓練的奴隸也可以在適當?shù)奶崾鞠禄貞浧饋?。認識到人們是多么堅定相信演繹推理是很重要的。假設(shè)一位科學家在不同地區(qū)測量了一百個形狀大小不同的三角形，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和在實驗精度允許范圍內(nèi)都是 180176。，他當然可以下結(jié)論，任何三角形的內(nèi)角和都是 180176。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數(shù)學上不會被認可。同樣，只要你高興，你可以檢驗任意多的偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都是兩個素數(shù)的和，但這種檢驗也不是演繹證明，因而結(jié)果也不是數(shù)學定理。那么看來，演繹證明是一種很嚴格的要求。但是，希臘的數(shù)學家們，他們（主要是哲學家）堅持一定要用演繹推理，因為這樣可以得到真理，永恒的真理。哲學家們偏愛演繹推理還有一個原因，他們致力于理解人類和物質(zhì)世界的廣泛知識。為了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有為而生之，從可接受的基本原理進行演繹推理要比用歸納或類比，更加可行。古希臘人喜愛演繹法的另一個原因應歸結(jié)于他們的社會構(gòu)成。富有階層進行哲學、數(shù)學和藝術(shù)活動，這些人不干體力勞動。奴隸、非公民和自由手工業(yè)者，從事商業(yè)和家務勞動，甚至從事最重要的職業(yè)。受過教育的自由人不動手，很少進行商貿(mào)活動。柏拉圖認為商貿(mào)活動，對于自由人來說是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。亞里士多德認為在理想條件下公民（與奴隸相對）不應從事任何商業(yè)。在畢歐欽人（Boeotian，希臘人的一個部落）中，用商務來褻瀆自己的人十年內(nèi)不得擔任公職。對于這種階層里的思想家，是不用實驗和觀察的，因此也無法從中獲得科學或數(shù)學結(jié)論。雖然希臘人堅持運用演繹推理的原因很多，但還有一個問題，即：是哪個哲學家或哲學派別首先提出這個要求的。遺憾的是，我們對于蘇格拉底時代以前的哲學家們的學說和著作的認識是零碎的，盡管眾說紛紜，卻無定論。到了亞里士多德時代，對演繹推理的要求已經(jīng)確定，因為他闡明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴格標準。希臘人欲得到宇宙的數(shù)學規(guī)律，他們在這方面成就如何呢？由歐幾里得、阿波羅紐斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所創(chuàng)立的數(shù)學的精華有幸傳給了我們。在時間上他們屬于希臘文化的第二個重要時期，亞歷山大里亞時期（公元前 300年—公元 600年）。在公元前 4世紀，馬其頓的菲利浦王著手征服波斯人，后者控制了近東，是歐洲希臘人的世敵。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。亞歷山大擊敗了波斯人，把擴大的希臘帝國的文化中心遷到了一個他謙虛地以自己名字命名的新城市。亞歷山大死于公元前 323年，但他發(fā)展新中心的計劃由其在埃及接受了托勒密王號的后繼者繼續(xù)?？梢钥隙W幾里得約于公元前 300年生活在亞歷山大里亞，在那里教育學生，雖然他自己也許是在柏拉圖學院完成了學業(yè)。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個人生活的全部。歐幾里得著作具有系統(tǒng)、演繹的形式，是許多古希臘人孤立發(fā)現(xiàn)的匯合，他們的主要著作《幾何原本》給出了空間和空間中圖形的規(guī)律。歐幾里得的《原本》是他對空間幾何的全部貢獻。歐幾里得從一本已失傳的書中接收了圓錐曲線的理論，在亞歷山大里亞學習數(shù)學的小亞細亞拍加人阿波羅紐斯，繼續(xù)其關(guān)于拋物線、橢圓和雙曲線的研究，并寫出了這方面的經(jīng)典著作《圓錐曲線》。在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對純幾何學知識增添了幾本著作《論球和圓柱》，論《劈錐曲面體與球體》，《拋物線的求積》。他都是用歐多克斯（Eudoxus）提出的方法來計算復雜的面積和體積，后來被稱作窮竭法?，F(xiàn)在這些問題可用微積分來解決。希臘人對空間和空間圖形的研究，作出了一個重要貢獻——三角學。這一學科的創(chuàng)始人是喜帕恰斯。他生活在羅德斯和亞歷山大里亞，約死于公元前 125年。三角學由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）發(fā)展，并由在亞歷山大亞里工作的埃及人托勒密給出完整的、權(quán)威的描述。他的主要著作《數(shù)學匯編》，阿拉伯人稱之為《大匯編》，知名度更廣。三角學研究三角形邊、角的量化關(guān)系。希臘人主要關(guān)注球面上的三角形，其邊是由大圓（圓心在球心）弧組成的。因為在希臘天文學中，行星和恒星沿大圓運行，所以他們的三角學，主要應用于行星和恒星的運動。同一理論加以改變，又可用于平面上的三角形，這正是我們現(xiàn)在學校里所學的那種三角學形式。三角學的引入要求其使用者具有較高深的算術(shù)和某些代數(shù)知識。希臘人怎樣在這些領(lǐng)域內(nèi)工作的，我們將在后面討論（見第五章）。借助于這樣一些發(fā)現(xiàn)，數(shù)學從模糊的、經(jīng)驗的割裂狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為輝煌的、龐大的、系統(tǒng)化的和充滿智慧的創(chuàng)造物。然而，歐幾里得、阿波羅紐斯和阿基米得的經(jīng)典著作（托勒密的《大匯編》是個例外）所涉及到的空間及空間圖形的性質(zhì)卻囿于視野之內(nèi)，對其中所蘊含的更廣泛意義卻少有提示。這些著作似乎和揭示自然的真理無關(guān)，實際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數(shù)學。在這方面，希臘數(shù)學課本與現(xiàn)代數(shù)學課本和文獻沒有什么兩樣。這些書的目的僅僅是為了組織和顯示已取得的數(shù)學成果，而省略了這些工作的動機，定理的來源和提示及其應用。因而許多研究古希臘科學的人都認為，古希臘這一時期的數(shù)學家主要是為了數(shù)學本身而探索數(shù)學，他們指出并證實了這個論斷，并提及歐幾里得的《原本》及阿波羅紐斯的《圓錐曲線》這兩部當時最著名的著作。然而，就像僅憑二項展開式定理就得出牛頓是一個純粹數(shù)學家的結(jié)論，他們僅憑這兩部著作就得了這個論斷，視野未必過于狹窄。真正的目的是探索自然。在物質(zhì)世界的探索中，甚至連幾何學的真理也是非常重要的。很清楚，對于希臘人，幾何學原理是宇宙的整體結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，空間是其中的基本組成部分。因而關(guān)于空間和空間圖形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何學實際上是一門更大的宇宙科學的一部分。比如，當天文學數(shù)學化時（在柏拉圖時代出現(xiàn)），球體上的幾何學研究就著手進行了。實際上，希臘語中的球一詞，對畢達哥拉斯派的人來說，就意味著天文學。歐幾里得的《現(xiàn)象》就是專門討論用于天文學的球面幾何學的。有了這些證據(jù)和對更近代的數(shù)學的發(fā)展狀況更充分的了解，我們也許可以肯定這一點，即科學探討必然會引起數(shù)學問題，而數(shù)學是探索自然的一部分。我們不必專門去研究這些，只須檢驗希臘人在探索自然中做了些什么，以及這些人中包括誰。物理科學中最偉大的成就是在天文學上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學觀測，但卻強調(diào)說他們沒有建立或統(tǒng)一理論，沒有對看上去無規(guī)律的行星運動作出解釋。歐多克斯（柏拉圖學園里的一名學生，其純粹幾何學工作包括在歐幾里得《原本》的第五篇和第十二篇中）著手解決“整理外觀”的問題。他的解答是歷史上第一個相當完備的天文學理論。我們描述歐多克斯的理論，只是為了表明它是完全徹底的數(shù)學化理論，并且涉及到天體的相互作用。這些球體，除了那個固定的恒星外，都不是物質(zhì)實體，而是數(shù)學的構(gòu)想。他也不想嘗試去描述引起球體轉(zhuǎn)動的力，他的理論在思想上是極先進的，因為在今天，科學的目的就是為了尋求數(shù)學描述而不是物理解釋。在歐多克斯之后這一理論為三位最著名的理論天文學家阿波羅紐斯、喜帕恰斯和托勒密所繼承，其成果包括在托勒密的《大匯編》一書里。阿波羅紐斯關(guān)于天文學的著作現(xiàn)已失傳。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的《大匯編》（第十二篇）中廣為引用。他作為一個天文學家是如此著名以致獲得了艾普西?。ㄏＥD字母ε的讀音）的雅號，因為他對月球運動做了許多研究工作，而ε是月球的記號。關(guān)于喜帕恰斯的工作我們只知道一點，他的工作也同樣地被《大匯編》引用。現(xiàn)在我們所承認的托勒密天文學的基本方案在歐多克斯和阿波羅紐斯時代的希臘天文學就已形成。在這種方案中，行星 P以 S為中心作勻速圓周運動，而 S本身以地球 E為中心作勻速圓周運動。S運動的圓叫從圓，P運動的圓叫周轉(zhuǎn)圓。對某些行星來說，點 S就是太陽，但在其他情形下則只不過是數(shù)學上假設(shè)的一個點。P與 S的運動方向可能相符，可能相反，太陽和月球的情況就屬于后一種。托勒密也將這套方案加以變化來描述某些行星運動。通過適當選取周轉(zhuǎn)圓和從圓的半徑以及天體在周轉(zhuǎn)圓上的和周轉(zhuǎn)圓心在從圓上的運動速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天體運動與那時的觀測結(jié)果十分吻合。從喜帕恰斯時代起，人們就能預報月蝕，誤差不超過一兩小時，但對日蝕的預報卻不那么準。這種預報之所以可能，是托勒密運用了他稱之為專門為天文學而發(fā)明的三角學。圖 從探求真理的觀點來看，值得提及的是托勒密和歐多克斯一樣，充分認識到他的理論只是符合觀測結(jié)果的方便的數(shù)學化描述，而不一定是自然的真正設(shè)計。對于某些行星，他有幾種可供選擇的方案，他選擇了數(shù)學上較簡單的那個。托勒密在他的著作《大匯編》的第十三篇中說，在天文學上，人們應尋求盡可能簡單的數(shù)學模型。但托勒密的數(shù)學模型，被基督教接受為真理。托勒密的理論提供了第一個相當完整的證據(jù)，說明自然是一致的而且具有不變的規(guī)律，而且也是希臘人對柏拉圖提出的合理解釋表觀天體運動這一問題的最后解答。在整個希臘時期沒有任何一部著作能像《大匯編》那樣對宇宙的看法有如此深遠的影響，并且除了歐