組合數(shù)學(xué)第四盧開澄標(biāo)準(zhǔn)答案第四章(編輯修改稿)
2025-07-04 21:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 、藍(lán)色對(duì)這9個(gè)格進(jìn)行染色，要求兩個(gè)格著紅色，其余染藍(lán)色，問有多少種著色方案？123456789[解]. 一個(gè)3180。3的正方形棋盤，只能旋轉(zhuǎn)，不能翻轉(zhuǎn)，其詳細(xì)的置換群為:不動(dòng)0176。： P1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。: P2=(5)(1793)(2486)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。: P3=(5)(1397)(26 84)旋轉(zhuǎn)180176。: P4=(5)(19)(28)(37)(46)轉(zhuǎn)動(dòng)群格式置換循環(huán)節(jié)不動(dòng) 0176。(1)91個(gè)9個(gè)中心 177。90176。(1)1(4)22個(gè)3個(gè)中心 180176。 (1)1(2)41個(gè)5個(gè) 表將2個(gè)格著以r色，7個(gè)格著以b色，相當(dāng)于用b，r二種顏色對(duì)3180。3的正方形棋盤進(jìn)行染色。于是根據(jù)母函數(shù)形式的P243。lya定理，方案枚舉：P(b,r)=[(b+r)9+2(b+r)(b4+r4)2+(b+r)(b2+r2)4]其中b7r2的系數(shù)即為所求染色方案數(shù)： ==[36+4]/4=10(種) 。. 試用貝恩塞特引理解決n個(gè)人圍一圓桌坐下的方案問題。[解].(參見ppt第四章167。6. .)目標(biāo)集： n個(gè)坐位；圖象集：n!個(gè)著色方案(排坐)。轉(zhuǎn)動(dòng)群的2n個(gè)置換(參見第7題(第二版)，(第三版))，只有幺元有n!個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(圖象)，其他2n1個(gè)置換沒有不動(dòng)點(diǎn)(因?yàn)闆]有兩個(gè)坐位坐同一人)，即c1(e)= c1(P1)= n!，c1(P2)= c1(P3)=…= c1(P2n)=0。故由Burnside引理有 l=[c1(e)]/2n =n!/ 2n =(n1)!/2個(gè)方案。. 對(duì)正六角形的6個(gè)頂點(diǎn)用5種顏色進(jìn)行染色，試問有多少種不同的方案？旋轉(zhuǎn)使之重合作為相同處理。o1243zyx162。5x6z162。y162。[解]. 圖，使之重合的剛體運(yùn)動(dòng)群，它含有關(guān)于正六角形中心軸旋轉(zhuǎn)177。60176。，177。120176。，180176。的置換，繞過2個(gè)對(duì)角的軸翻轉(zhuǎn)180o的置換，以及繞過2個(gè)對(duì)凹的軸翻轉(zhuǎn)180o的置換：不動(dòng)0176。：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 旋轉(zhuǎn) 177。60176。：(1 2 3 4 5 6)，(6 5 4 3 2 1)旋轉(zhuǎn) 177。120176。：(1 3 5)(2 4 6)，(5 3 1)(6 4 2)旋轉(zhuǎn)180176。：(1 4)(2 5)(3 6)翻轉(zhuǎn)(角角) 180176。：(1)(2 6)(3 5)(4)，(2)(1 3)(4 6)(5)，(3)(1 5)(2 4)(6)翻轉(zhuǎn)(凹凹) 180176。：(1 4)(2 3)(5 6)，(1 2)(3 6)(4 5)，(1 6)(2 5)(3 4)。轉(zhuǎn)動(dòng)群格式置換循環(huán)節(jié)所求方案數(shù)不動(dòng) 0176。(1)61個(gè)6個(gè)56旋轉(zhuǎn) 177。60176。(6)12個(gè)1個(gè) 251旋轉(zhuǎn) 177。120176。(3)22個(gè)2個(gè) 252旋轉(zhuǎn) 180176。(2)31個(gè)3個(gè) 53翻轉(zhuǎn)(角角) 180176。(1)2(2)23個(gè)4個(gè)354翻轉(zhuǎn)(凹凹) 180176。(2)33個(gè)3個(gè)353 表于是根據(jù)P243。lya定理，可得不同的染色方案數(shù)為： l===18060 =1505(種) 。. 若G和G162。是兩個(gè)群 G 180。G162。?{(g,g162。)|g206。 G , g162。206。 G162。 }, (g1,g162。1) (g2,g162。2)?(g1g2,g162。1g162。2),G 180。G162。的單位元素是(e,e162。)。試證G 180。G162。成群。[證]. 1176。封閉性：(g1,g162。1) , (g2,g162。2) 206。 G 180。G162。 222。( g1 , g2 206。 G)217。 (g162。1 , g162。2 206。 G162。)222。( g1 g2 206。 G)217。 (g162。1 g162。2 206。 G162。) (群G和G162。的封閉性)222。(g1g2,g162。1g162。2) 206。 G 180。G162。222。(g1,g162。1) (g2,g162。2) 206。 G 180。G162。
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