浙教版九年級上第三章圓的基本性質(zhì)全章教案(編輯修改稿)
2025-07-04 20:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 做． 圓的軸對稱性(2)教學目標 ，并會用垂徑定理及其推論解決有關(guān)證明、計算和作圖問題； ，培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力和計算能力，結(jié)合應用問題向?qū)W生進行愛國主義教育.教學重點和難點垂徑定理的兩個推論是重點；由定理推出推論1是難點.教學過程設(shè)計一、從學生原有的認知結(jié)構(gòu)提出問題 ，并說出定理的題設(shè)和結(jié)論.(由學生敘述) ，教師引導學生寫出垂徑定理的下述形式： 題設(shè) 結(jié)論 指出：垂徑定理是由兩個條件推出三個結(jié)論，即由①②推出③④⑤.提問：如果把題設(shè)和結(jié)論中的5條適當互換，情況又會怎樣呢?引出垂徑定理推論的課題二、運用逆向思維方法探討垂徑定理的推論 ，選①③為題設(shè)，可得： 由于一個圓的任意兩條直徑總是互相平分的，但是它們不一定是互相垂直的，所以要使上面的題設(shè)能夠推出上面的結(jié)論，還必須加上“弦AB不是直徑”這一條件. 這個命題是否為真命題，需要證明，結(jié)合圖形請同學敘述已知、求證，教師在黑板上寫出. 已知：如圖736，在⊙O中，直徑CD與弦AB(不是直徑)相交于E，且E是AB的中點. 求證：CD⊥AB，.分析：要證明CD⊥AB，即證OE⊥AB，而E是AB的中點，＝BC，AD＝BD. 證明：連結(jié)OA，OB，則OA＝OB，△AOB為等腰三角形. 因為E是AB中點，所以O(shè)E⊥AB，即CD⊥AB， 又因為CD是直徑，所以 2.(1)引導學生繼續(xù)觀察、思考，若選②③為題設(shè)，可得： (2)若選①④為題設(shè)，可得： 以上兩個命題用投影打出，引導學生自己證出 最后，教師指出：如果垂徑定理作為原命題，任意交換其中的一個題設(shè)和一個結(jié)論，即可得到一個原命題的逆命題，按照這樣的方法，可以得到原命題的九個逆命題，然后用投影打出其它六個命題： ，在感性認識的基礎(chǔ)上，引導學生用文字敘述其中最常用的三個命題，教師板書出垂徑定理的推論1. 推論1 (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； (3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧. .在圖735的基礎(chǔ)上，再加一條與弦AB平行的弦EF，請同學們觀察、猜想，會有什么結(jié)論出現(xiàn)：(圖737) 學生答 接著引導學生證明上述猜想成立.(重點分析思考過程，然后學生口述，教師板書.) 證明：因為EF∥AB，所以直徑CD也垂直于弦EF， 最后，猜想得以證明，請學生用文字敘述垂徑定理的又一推論： 推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 三、應用舉例，變式練習 例1 平分已知. 引導學生畫圖，寫已知、求作. 已知： (圖738)，求作：的中點. 分析：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，連結(jié)AB，作弦AB的垂直平分線，它一定平分. 作法：(由學生口述，教師板書，師生共同作圖) 練習1 四等分已知. 引導學生在平分的基礎(chǔ)上，進一步平分AM和BM，即可四等分AB. 作圖后，提問：四等分弦AB是否可四等分，為什么?如圖739所示. 在學生回答的基礎(chǔ)上，強調(diào)：這種作法是錯誤的，雖然在等分時作法是對的，但是在等分和時是錯誤的，因為AT，BT的垂直平分線不能平分和，請同學們務必注意. 練習2 按圖740，填空：在⊙O中 (1)若MN⊥AB，MN為直徑；則 ， ， ； (2)若AC＝BC，MN為直徑；AB不是直徑，則 ， ， ； (3)若MN⊥AB，AC＝BC，則 ， ， ； (4)若＝，MN為直徑，則 ， ， .此練習的目的是為了幫助學生掌握垂徑定理及推論1的條件和結(jié)論. 例2 1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋(圖741)的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)，拱高(弧的中點到弧的距離，也叫弓形高)，求橋拱的半徑.() 首先可借此題向?qū)W生介紹“趙州橋”，對學生進行愛國主義教育，(有條件可放錄像)同時也可激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣. 關(guān)于趙州橋的說明： 趙州橋又名“安濟橋”，位于河北省趙縣城南交河上，是我國現(xiàn)存的著名古代大石拱橋、隋開皇大業(yè)年間(590～608)，橋面寬約10米，跨徑約為37米，弧形平緩，拱圈為28條并列的石條組成，上設(shè)四個小拱，既減輕重量，節(jié)省材料，又便于排洪，且增美觀在世界橋梁史上，其設(shè)計與工藝之新為石拱橋的卓越典范，跨度之大在當時亦屬首創(chuàng)，反映了我國古代勞動人民的智慧與才能. 分析：(1)首先說明跨度、拱高等概念，然后引導學生設(shè)法把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并畫出幾何圖形(圖742)，且一邊畫圖一邊解釋：橋拱是圓弧形，以O(shè)為圓心，R為半徑畫出一段圓弧表示橋拱，弦AB表示橋的跨度，即AB＝，參照上圖寫出數(shù)學問題的已知和求解. (2)實際問題已轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，下面討論如何解決這個問題. 啟發(fā)學生觀察圖形、發(fā)現(xiàn)：對于，如果經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，并延長交于點C，那么根據(jù)垂徑定理可知，OD平分弦，OC平分弧，即C點為AB的中點，CD就是拱高，這樣做出的圖形符合題意. 根據(jù)勾股定理，在Rt△AOD中就可求出半徑R. 解題過程，參考課本. 對于此題，學生往往是過的中點C先作出弓形高CD，即過C作CD⊥AB，垂足為D，如果是這樣的話，可引導學生根據(jù)垂徑定理，首先證明直線CD經(jīng)過圓心O，仍然可利用勾股定理，求出半徑R. 說明：此題的解題思路是，經(jīng)過圓心作弦的垂線，說明它平分弦且平分弦所對的弧也可以經(jīng)過弧的中點作弦的垂線，只要抓住弦長、弦心距、弓形高及半徑之間的關(guān)系，已知其中的兩個量，可以求出其它兩個未知量，這種思考方法今后要經(jīng)常用到. 例3 已知；如圖743，⊙O半徑為6厘米，弦AB與半徑OA的夾角為30176。. 求：弦AB的長. 分析：，只要
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