排列組合與二項式定理復習教材(編輯修改稿)
2025-07-04 18:58 本頁面
【文章內容簡介】 法？解:第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個元素有種方法。第二步將5個“不同元素(書)”,一共有＝1800種方法. 變題1:6本不同的書全部送給5人,有多少種不同的送書方法？變題2: 5本不同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 變題3: 5本相同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 答案:1.。 2.。 3..例6:身高互不相同的7名運動員站成一排,甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？解:(插空法)現(xiàn)將其余4個同學進行全排列一共有種方法,再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中(但無需要進行排列),一共有＝240種方法.例7:⑴ 四個不同的小球放入四個不同的盒中,一共有多少種不同的放法？⑵ 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解: ⑴根據分步計數(shù)原理:一共有種方法.⑵(捆綁法)第一步從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法,＝144種方法.四、歸納小結:如果兩個組合中的元素完全相同,那么不管元素的順序如何,它們是相同的組合。只有當兩個組合中的元素不完全相同時,才是不同的組合.五、基礎知識訓練:(一)選擇題:1. 在下列問題中:(1)從1,2,3三個數(shù)字中任取兩個,可以組成多少個和?(2)從1,2,3三個數(shù)字中任取兩個,可以組成多少個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)?(3)將3個乒乓球投入5個容器,每個容器只能容納一個乒乓球,問有多少種投法?(4)將3張編號的電影票給三個同學,每人一張,有多少種分法?屬于組合問題的是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)2. 從10名同學中選出3名代表,所有可能的不同選法種數(shù)是( ) 3. (200013)凸10邊形共有對角線( ) 4. 某班有50名學生,其中有一名正班長,一名副班長,現(xiàn)選派5人參加一個游覽活動,其中至少有一名班長(正、副均可)參加,共有幾種不同的選法,其中錯誤的一個是( )=+ B. n=C. n= =5. 從7名男隊員和5名女隊員中選出4人進行乒乓球男女混合雙打,不同的組隊數(shù)有( )A. B. 4 C. 2 D. A(二)填空題:6. = .7. 平面內有12個點,其中任意3點不在同一直線上,以每3點為頂點畫三角形,一共可畫三角形的個數(shù)是 .8. 從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)中取出2個數(shù),使它們的和是偶數(shù),共有 種選法.9. 有13個隊參加籃球賽,比賽時先分成二組,第一組7個隊,第二組6個隊,各組都進行單循環(huán)賽(即每隊都要與本組其它各隊比賽一場),然后由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽決定冠、亞軍,共需要比賽的場數(shù)是 .10. 4個男同學進行乒乓球雙打比賽,有 種配組方法.(三)解答題:11. 某賑災區(qū)醫(yī)療隊由4名外科醫(yī)生和8名內科醫(yī)生組成,現(xiàn)需從中選派5名醫(yī)生去執(zhí)行一項任務.(1)若某內科醫(yī)生必須參加,而某外科醫(yī)生因故不能參加,有多少種選派方法？(2)若選派的5名醫(yī)生中至少有1名內科和外科醫(yī)生參加,有多少中選派方法？解: (1)依題意,=210種選派方法. (2)方法一:5名醫(yī)生全由內科醫(yī)生組成,有種方法,故符合題意的方法為=936種。 方法二:我們將內科、外科醫(yī)生分別當作一組有序實數(shù)對的前后兩實數(shù),則按題意組隊方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四種,故共有+++=736種.12. 九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,…,8,從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù),如果6可以當作9使用,問可以組成多少個三位數(shù)？解:可以分為兩類情況:① 若取出6,則有種方法。②若不取6,一共有+＝602種方法.13. 在產品檢驗時,常從產品中抽出一部分進行檢查,現(xiàn)從10件產品中任意抽3件.(1) 一共有多少種不同的抽法?(2) 如果10件產品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3) 如果10件產品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? 排列、組合的應用一、高考要求:熟練應用排列、組合知識解排列組合應用題.二、知識要點:排列問題與組合問題的根本區(qū)別在于,屬排列問題。不需要考慮元素順序,屬組合問題.三、典型例題:例1:完成下列選擇題與填空題:(1)有三個不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種. (2)四名學生爭奪三項冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) (3)有四位學生參加三項不同的競賽,①每位學生必須參加一項競賽,則有不同的參賽方法有 。②每項競賽只許有一位學生參加,則有不同的參賽方法有 。③每位學生最多參加一項競賽,每項競賽只許有一位學生參加,則不同的參賽方法有 .解析 (1)完成一件事是“分步”進行還是“分類”進行,“投四封信”這件事分四步完成,每投一封信作為一步,每步都有投入三個不同信箱的三種方法,因此:N=3333=34=81,故答案選A.本題也可以這樣分類完成,①四封信投入一個信箱中,有C31種投法。②四封信投入兩個信箱中,有C32(C41A22+C42C22)種投法。③四封信投入三個信箱,有兩封信在同一信箱中,有C42A33種投法、,故共有C31+C32(C41A22+C42C22)+C42A33=81(種).故選A.(2)因學生可同時奪得n項冠軍,故學生可重復排列,將4名學生看作4個“店”,3項冠軍看作“客”,每個“客”都可住進4家“店”中的任意一家,即每個“客”:N=444=.(3)①學生可以選擇項目,而競賽項目對學生無條件限制,所以類似(1)可得N=34=81(種)。②競賽項目可以挑學生,而學生無選擇項目的機會,每一項可以挑4種不同學生,共有N=43=64(種)。③等價于從4個學生中挑選3個學生去參加三個項目的競賽,每人參加一項,故共有C43A33=24(種).注 本題有許多形式,一般地都可以看作下列命題:設集合A={a1,a2,…,an},集合B={b1,b2,…,bm},則f:A→B的不同映射是mn,f:B→≤m,則f:A→B的單值映射是:Amn.例2:同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則四張賀年卡不同的分配方式有( ) 解法一 由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),這個數(shù)目不大,化為填數(shù)問題之后,可用窮舉法進行具體的填寫:再按照題目要求檢驗,最終易知有9種分配方法.解法二 記四人為甲、乙、丙、丁,則甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3種分配方式。以
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