【文章內容簡介】 面將敘述）。已知包角值為α1，定義兩個一維數(shù)組：float alpha[10]＝{ 90 . 0 , 100 . 0 , … ，170 . 0 , 180 . 0 } 。float K2[10]＝{ 0 . 68 , 0 . 74 ，… ， 0 . 98 , 1 . 00 } 。 調用一元函數(shù)的插值函數(shù)（見3 . 1 . 2 節(jié)），即可求出實際的系數(shù)值。四、齒輪傳動工況系數(shù)KA (見表3 一4 ) 決定工況系數(shù)KA值時有兩個自變量，即原動機的載荷特性和工作機的載荷特性，它們原本無數(shù)值概念，現(xiàn)分別定義整型變量i =0~2 及j=0~2 代表不同工況，用一個二數(shù)組KK [ 3 , 3 ]記錄表中系數(shù)值。因為表中自變量及函數(shù)的值均為離散值，因此查表時無須插值。有關變量及數(shù)組的定義如下：float KA 。 / ＊查得的系數(shù)值＊/ int i , j 。float KK [ 3 ][ 3 ] = { { 1 . 0 , 1 . 2 5，1 . 7 5 } , { 1 .2 5 , 1 . 5 0 , 2 . 0 0 } , { 1 . 5 , 1 . 75 , 2 . 25 } } 。 查表的流程圖見圖3 一3 。五、軸肩圓角處理論應力集中系數(shù)αa（見表3 一5 ) 決定系數(shù)αa時有兩個自變量，即：r / d 和D / d ，因此這是一個二維查表問題。將表中系數(shù)αa值記錄在一個二維數(shù)組AA [ 6 , 10 ]中。這個查表問題的特殊之處是兩個自變量及系數(shù)αa均有可能是連續(xù)量，這是因為由設計所得的D , d 及r值在一定范圍內是隨機的，因此必須采用二元函數(shù)插值。六、 單根v 帶（Y , Z , A , B 型）的基本額定功率P 1（見表3 一6 ，摘自GB / T13575 . 1 一1992）為了查得單根V 帶所傳遞的功率P1 ，查表時取決于三個自變量，即帶型、小帶輪直徑及小帶輪轉速，因此是一個三維查表問題?？蓪⒈碇蠵1 值記錄在一個三維數(shù)組中，例如NN ( 4 , 4 , 14 ）。這時如果還在程序中對此數(shù)組初始化會很不方便，因為數(shù)據(jù)太多?？蓪⒈碇蠵1值放在一個數(shù)據(jù)文件中，當程序開始運行時打開文件，將數(shù)據(jù)讀人三維數(shù)組中。這類問題可以降為連續(xù)的兩個低維查表問題。本例可先由帶型及小帶輪直徑查出表中一行數(shù)據(jù)，再根據(jù)小帶輪轉速進行一維查表，在后一個查表中要用一元函數(shù)插值。前面例4 和例5 中的二維查表問題也可化為兩個連續(xù)的一維查表問題?？傊?，在實際程序化時可靈活掌握。 一元函數(shù)插值設有一用數(shù)據(jù)表格給出的列表函數(shù)y = f ( x ), 如下表： 表37 列表函數(shù)x x 1 x 2 x 3 … x ny y 1 y 2 y 3 … y n由于列表函數(shù)只能給出結點x 1, x 2 ，… ，x n處的函數(shù)值y 1, y 2 ，… ，y n ，當自變量為結點的中間值時，當精度要求較低時可用附近結點上的函數(shù)值來近似代替；如果要求較高，則須用插值的方法求得。插值的基本思想是，設法構造一個函數(shù)y = g (x) 作為列表函數(shù)f (x )的近似表達式，然后計算g ( x )的值以得到f ( x ) 的值。最常用的近似函數(shù)類型為代數(shù)多項式(即形式為：)。代數(shù)插值的數(shù)學含義可表述如下：設y = f ( x ) 是區(qū)間 [ a , b ]上的連續(xù)函數(shù)，已知它在[ a , b ]上的幾個互于相同的點x1 , x2 , x3 , …, xn 上的函數(shù)值 y1 , y2, y3, …, yn。若代數(shù)多項式g ( x ) 滿足 g ( xi ) = yi（i = 1,2,3, …,n）則稱g (x) 為函數(shù)y = f (x )的插值多項式, x1 ,x2 ,x3 , …, xn 為插值結點，區(qū)間 [ a , b ]為插值區(qū)間，y = f ( x ）稱為被插值函數(shù)。插值問題的幾何意義是：通過給定的n個點（x1 , y1）,(x2 , y2) ,(x3 , y3) ,…,(xn , yn) 作一條n 1次的代數(shù)曲線y = gn1 (x)，用以近似地表示曲線y = f (x)。一、 線性插值最簡單的插值為兩點插值，即用一個一次多項式y(tǒng) = g1 (x ) 作為插值多項式，使兩個插值點滿足此式。其幾何意義就是求通過兩點（x1 , y1）, ( x2 , y2）的直線。通過這兩點的直線方程為： 圖34 兩點插值的幾何意義二、 二次插值線性插值只用到兩個數(shù)據(jù)點的信息，計算簡單，但求得的y = f (x) 誤差較大。如果多用一些數(shù)據(jù)點來求y = f ( x )的近似值，其結果的精確程度就會改善。設已知y = f (x )在xxx3上的值為yyy3 ，這時求作一個二次多項式y(tǒng) = g2 ( x ) ，使g2(x i) = yi ，i = 1 ,2 ,3 。其幾何意義是通過三點作一條曲線來近似曲線y =f ( x ）。如果三個點不在一直線上，作出的曲線就是拋物線。g2(x)叫做二次插值多項式。這種插值稱為二次插值或拋物線插值。一般來說,二次插值的近似程度比線性插值要好些。三、拉格朗日插值公式將線性插值和二次插值的方法推而廣之，可以求得n個結點的n1 次插值多項式為： 注意：適當提高插值公式的階數(shù)可以改善插值精度，但階數(shù)太高的插值公式效果并不好。在實際進行插值時，通常采用分段插值方法，將插值范圍劃分為若干段，在每一分段上用低階插值(如線性插值或拋物線插值）。介紹書p39公式再說下面的框圖 (3 2)注意：xixxi+1 說明是內插。二元函數(shù)的插值復雜，不講。 線圖的程序化在工程設計中，時常遇到一些線圖供查找系數(shù)或參數(shù)等使用，有些還以曲線族的形式給出，例如圖3 一11 就是根據(jù)齒輪在軸上不同的布置方式，根據(jù)齒寬系數(shù)φd 查找齒輪載荷系數(shù)Kβ 的一族曲線。線圖的程序化有以下幾種處理方法。( 1 ）找到線圖原來的公式，將公式編人程序。但不是所有的線圖都存在著原來的公式，即使有，有的一時也難以找到。如能找到，這是最精確的程序化處理辦法。( 2 ）將線圖離散化為數(shù)表，再用前面所述方法加以處理。例如表3 一8 就是圖3 一6 離散化后形成的數(shù)表。( 3 ）用曲線擬合的方法求出線圖的經驗公式，再將公式編人程序，下一節(jié)將詳細討論這個問題。 圖3—6 齒輪載荷分布系數(shù)Kβ1一齒輪在軸上對稱布置；2一非對稱布置，軸剛性大；3一非對稱布置，軸剛性?。?一懸臂布置b一齒寬，mm；d1一分度圓直徑，mm 表 38 齒輪載荷分布系數(shù)Kβ 建立經驗公式的方法實際的工程問題中時常需要用一定的數(shù)學方法將一系列測試數(shù)據(jù)或統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合成近似的經驗公式，這種建立經驗公式的過程也稱為曲線擬合。本節(jié)主要敘述采用最小二乘法的曲線擬合。如圖3 一7 中1 ~ 9 為已知點，y = f ( x ）是擬合所得的曲線，它不一定通過所有點，但盡可能接近這些點，因此反映了所給數(shù)據(jù)的趨勢，比較符合實際規(guī)律。一、 最小二乘法擬合的基本思想已知：由線圖或實驗所得m 個點的值 ( x1 ，y1 ) , ( x2 ，y2) ，… ，( xm，ym )設擬合公式為 因此每一結點處的偏差為： i = 1 , 2 ，… ，m偏差的平方和為 圖37 最小二乘法的曲線擬合 擬合公式y(tǒng) = f ( x ) 具有一定的函數(shù)類型及系數(shù)，例如 即為直線方程，如何決定系數(shù)及的值呢？最基本的要求就是由該系數(shù)決定的直線與各結點的偏差的平方和最小，因此稱最小二乘法擬合。擬合公式的類型通?？梢赃x取初等函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、代數(shù)多項式等。這一工作由編程人員來決定，一般先將數(shù)據(jù)畫在方格紙上，根據(jù)曲線形態(tài)判斷所采用的函數(shù)類型。本節(jié)只討論在選定函數(shù)類型的情況下如何確定各系數(shù)值的問題。 二、最小二乘法的多項式擬合設擬合公式為： 已知m個點的值( x1, y1 ), ( x2, y2 ), … ( xm, ym ), 且mn, 結點偏差的平方和為： 這表明偏差平方和是的函數(shù)，為使其最小，取對各自變量的偏導數(shù)等于零，得： 0, 1, 2, …, n即 0，1，2，…，n求各偏導數(shù)并經整理后可得下面的方程組： (35)其中，均為對i = 0, 1, 2, …, m求和。上公式中待定的系數(shù)(a0, a1, a2, …,an)共(n+1)個，方程也是(n+1)個，因此解此聯(lián)立方程，就可求得各系數(shù)。例31．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表，它有7個點，現(xiàn)要求用二次多項式擬合。點號 1 2 3 4 5 6 7x值y值3 2 1 0 1 2 3 4 2 3 0 1 2 5設經驗公式為 由上述實驗數(shù)據(jù)及經驗公式知m=7,n=2,代入公式（35）得以下3個方程： ()把用表中的值代入，得： 求解得： 最后得擬合后的經驗公式： 注意：( 1 )多項式的冪次不能太高，一般小于7 ，可先用較低的冪次，如誤差較大則再提高。( 2 )一組數(shù)據(jù)或一條線圖有時不能用一個多項式表示其全部，此時應分段處理，分段大都發(fā)生在拐點或轉折之處。此外如欲提高某區(qū)間的擬合精度，則應在該區(qū)間上采集更多的點。簡談：為了計算復雜函數(shù)的值，前面介紹幾種方法，都是設法求出其近似式——插值函數(shù)，最優(yōu)平方逼近函數(shù)，最優(yōu)一致逼近函數(shù)，通過計算近似式的值求得復雜函數(shù)的近似值。三、最小二乘法的其他函數(shù)的擬合 :除代數(shù)多項式外，根據(jù)情況還可采用： ( 1 )冪函數(shù) ；( 2 )指數(shù)函數(shù) ；( 3 )對數(shù)函數(shù) ?？偨Y插值和擬合的相同點和不同點：都是近似函數(shù)（在此都是代數(shù)多項式），內插曲線必須經過每一個采樣點，而擬合曲線則不需要通過采樣點，因此內插法適用于噪聲很少的采樣數(shù)據(jù)。插值（interpolation）可用于預估在數(shù)據(jù)點中間的函數(shù)值，而擬合是利用有限的采樣點（Sample Points ) 來建立一個數(shù)學模型。 MATLAB語言簡介一、 MATLAB的用途及界面： 用途：可用來進行各種數(shù)值運算、控制系統(tǒng)仿真、數(shù)字信號處理、財經工程等。 界面： 提示符,可在其后輸入各種表達式，按回車鍵即可。先通過《CAD》p49的解聯(lián)立線性方程引出MATLAB的特點。二、 初探MATLAB 基本運算與變量的使用：MATLAB能識別一般常用的加（+）、減（—）、乘( * )、除( / )、冪( ^ ) 等運算符號,還能進行與矩陣相關的數(shù)學運算，如轉置( ‘ )、左除( \ )、右除( / )、冒號( : )等。注意運算符的優(yōu)先級（ 轉置、冪、乘、除、加、減、冒號 ）若對運算符的優(yōu)先級有疑慮時，最好的方法是加上括號來強制實現(xiàn)所需的運算順序。 例子： (5*2+)/5 ans = 解釋變量ans (5*2+)/5。 解釋 。 如果想看ans的內容 ans x = (5*2+)/5 y = (5*2+)/5。 %將運算結果存儲于變量y，但不用顯示于屏幕 MATLAB會將所有在 % 之后的文字視為程序的注釋(Comment)，可提高程序的可讀性，% 之后的文字會被MATLAB忽略不執(zhí)行。 MATLAB可同時執(zhí)行以逗號( ，)或分號( ；)隔開的數(shù)個表達式： x = sin(pi/3), y=x^2。z=y*10 若一個數(shù)學運算式太長，可用三個句號(…)將其延伸到下一行 z = 10*sin(pi/3)*… sin(pi/3) 表 39 MATLAB的永久常數(shù) 注意： 、變量命名規(guī)則：第一個字母必須是英文字母； 字母間不可留空格； 最多只能有31個字母； MATLAB在使用變量時，不需預先經過變量聲明，而且所有數(shù)據(jù)變量均以默認的double數(shù)據(jù)類型儲存。 、MATLAB除了能完成數(shù)學運算外，還能完成關系運算、邏輯運算、位運算和集合運算。向量與矩陣的處理：在上面的例子中，MATLAB的變量是來儲存標量(Scalars)，其實MATLAB中的變量還可用來儲存向量(Vectors)及矩陣(Matrix),