【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 面將敘述）。已知包角值為α1，定義兩個(gè)一維數(shù)組：float alpha[10]＝{ 90 . 0 , 100 . 0 , … ，170 . 0 , 180 . 0 } 。float K2[10]＝{ 0 . 68 , 0 . 74 ，… ， 0 . 98 , 1 . 00 } 。 調(diào)用一元函數(shù)的插值函數(shù)（見(jiàn)3 . 1 . 2 節(jié)），即可求出實(shí)際的系數(shù)值。四、齒輪傳動(dòng)工況系數(shù)KA (見(jiàn)表3 一4 ) 決定工況系數(shù)KA值時(shí)有兩個(gè)自變量，即原動(dòng)機(jī)的載荷特性和工作機(jī)的載荷特性，它們?cè)緹o(wú)數(shù)值概念，現(xiàn)分別定義整型變量i =0~2 及j=0~2 代表不同工況，用一個(gè)二數(shù)組KK [ 3 , 3 ]記錄表中系數(shù)值。因?yàn)楸碇凶宰兞考昂瘮?shù)的值均為離散值，因此查表時(shí)無(wú)須插值。有關(guān)變量及數(shù)組的定義如下：float KA 。 / ＊查得的系數(shù)值＊/ int i , j 。float KK [ 3 ][ 3 ] = { { 1 . 0 , 1 . 2 5，1 . 7 5 } , { 1 .2 5 , 1 . 5 0 , 2 . 0 0 } , { 1 . 5 , 1 . 75 , 2 . 25 } } 。 查表的流程圖見(jiàn)圖3 一3 。五、軸肩圓角處理論應(yīng)力集中系數(shù)αa（見(jiàn)表3 一5 ) 決定系數(shù)αa時(shí)有兩個(gè)自變量，即：r / d 和D / d ，因此這是一個(gè)二維查表問(wèn)題。將表中系數(shù)αa值記錄在一個(gè)二維數(shù)組AA [ 6 , 10 ]中。這個(gè)查表問(wèn)題的特殊之處是兩個(gè)自變量及系數(shù)αa均有可能是連續(xù)量，這是因?yàn)橛稍O(shè)計(jì)所得的D , d 及r值在一定范圍內(nèi)是隨機(jī)的，因此必須采用二元函數(shù)插值。六、 單根v 帶（Y , Z , A , B 型）的基本額定功率P 1（見(jiàn)表3 一6 ，摘自GB / T13575 . 1 一1992）為了查得單根V 帶所傳遞的功率P1 ，查表時(shí)取決于三個(gè)自變量，即帶型、小帶輪直徑及小帶輪轉(zhuǎn)速，因此是一個(gè)三維查表問(wèn)題。可將表中P1 值記錄在一個(gè)三維數(shù)組中，例如NN ( 4 , 4 , 14 ）。這時(shí)如果還在程序中對(duì)此數(shù)組初始化會(huì)很不方便，因?yàn)閿?shù)據(jù)太多?？蓪⒈碇蠵1值放在一個(gè)數(shù)據(jù)文件中，當(dāng)程序開(kāi)始運(yùn)行時(shí)打開(kāi)文件，將數(shù)據(jù)讀人三維數(shù)組中。這類(lèi)問(wèn)題可以降為連續(xù)的兩個(gè)低維查表問(wèn)題。本例可先由帶型及小帶輪直徑查出表中一行數(shù)據(jù)，再根據(jù)小帶輪轉(zhuǎn)速進(jìn)行一維查表，在后一個(gè)查表中要用一元函數(shù)插值。前面例4 和例5 中的二維查表問(wèn)題也可化為兩個(gè)連續(xù)的一維查表問(wèn)題。總之，在實(shí)際程序化時(shí)可靈活掌握。 一元函數(shù)插值設(shè)有一用數(shù)據(jù)表格給出的列表函數(shù)y = f ( x ), 如下表： 表37 列表函數(shù)x x 1 x 2 x 3 … x ny y 1 y 2 y 3 … y n由于列表函數(shù)只能給出結(jié)點(diǎn)x 1, x 2 ，… ，x n處的函數(shù)值y 1, y 2 ，… ，y n ，當(dāng)自變量為結(jié)點(diǎn)的中間值時(shí)，當(dāng)精度要求較低時(shí)可用附近結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值來(lái)近似代替；如果要求較高，則須用插值的方法求得。插值的基本思想是，設(shè)法構(gòu)造一個(gè)函數(shù)y = g (x) 作為列表函數(shù)f (x )的近似表達(dá)式，然后計(jì)算g ( x )的值以得到f ( x ) 的值。最常用的近似函數(shù)類(lèi)型為代數(shù)多項(xiàng)式(即形式為：)。代數(shù)插值的數(shù)學(xué)含義可表述如下：設(shè)y = f ( x ) 是區(qū)間 [ a , b ]上的連續(xù)函數(shù)，已知它在[ a , b ]上的幾個(gè)互于相同的點(diǎn)x1 , x2 , x3 , …, xn 上的函數(shù)值 y1 , y2, y3, …, yn。若代數(shù)多項(xiàng)式g ( x ) 滿(mǎn)足 g ( xi ) = yi（i = 1,2,3, …,n）則稱(chēng)g (x) 為函數(shù)y = f (x )的插值多項(xiàng)式, x1 ,x2 ,x3 , …, xn 為插值結(jié)點(diǎn)，區(qū)間 [ a , b ]為插值區(qū)間，y = f ( x ）稱(chēng)為被插值函數(shù)。插值問(wèn)題的幾何意義是：通過(guò)給定的n個(gè)點(diǎn)（x1 , y1）,(x2 , y2) ,(x3 , y3) ,…,(xn , yn) 作一條n 1次的代數(shù)曲線y = gn1 (x)，用以近似地表示曲線y = f (x)。一、 線性插值最簡(jiǎn)單的插值為兩點(diǎn)插值，即用一個(gè)一次多項(xiàng)式y(tǒng) = g1 (x ) 作為插值多項(xiàng)式，使兩個(gè)插值點(diǎn)滿(mǎn)足此式。其幾何意義就是求通過(guò)兩點(diǎn)（x1 , y1）, ( x2 , y2）的直線。通過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程為： 圖34 兩點(diǎn)插值的幾何意義二、 二次插值線性插值只用到兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的信息，計(jì)算簡(jiǎn)單，但求得的y = f (x) 誤差較大。如果多用一些數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)求y = f ( x )的近似值，其結(jié)果的精確程度就會(huì)改善。設(shè)已知y = f (x )在xxx3上的值為yyy3 ，這時(shí)求作一個(gè)二次多項(xiàng)式y(tǒng) = g2 ( x ) ，使g2(x i) = yi ，i = 1 ,2 ,3 。其幾何意義是通過(guò)三點(diǎn)作一條曲線來(lái)近似曲線y =f ( x ）。如果三個(gè)點(diǎn)不在一直線上，作出的曲線就是拋物線。g2(x)叫做二次插值多項(xiàng)式。這種插值稱(chēng)為二次插值或拋物線插值。一般來(lái)說(shuō),二次插值的近似程度比線性插值要好些。三、拉格朗日插值公式將線性插值和二次插值的方法推而廣之，可以求得n個(gè)結(jié)點(diǎn)的n1 次插值多項(xiàng)式為： 注意：適當(dāng)提高插值公式的階數(shù)可以改善插值精度，但階數(shù)太高的插值公式效果并不好。在實(shí)際進(jìn)行插值時(shí)，通常采用分段插值方法，將插值范圍劃分為若干段，在每一分段上用低階插值(如線性插值或拋物線插值）。介紹書(shū)p39公式再說(shuō)下面的框圖 (3 2)注意：xixxi+1 說(shuō)明是內(nèi)插。二元函數(shù)的插值復(fù)雜，不講。 線圖的程序化在工程設(shè)計(jì)中，時(shí)常遇到一些線圖供查找系數(shù)或參數(shù)等使用，有些還以曲線族的形式給出，例如圖3 一11 就是根據(jù)齒輪在軸上不同的布置方式，根據(jù)齒寬系數(shù)φd 查找齒輪載荷系數(shù)Kβ 的一族曲線。線圖的程序化有以下幾種處理方法。( 1 ）找到線圖原來(lái)的公式，將公式編人程序。但不是所有的線圖都存在著原來(lái)的公式，即使有，有的一時(shí)也難以找到。如能找到，這是最精確的程序化處理辦法。( 2 ）將線圖離散化為數(shù)表，再用前面所述方法加以處理。例如表3 一8 就是圖3 一6 離散化后形成的數(shù)表。( 3 ）用曲線擬合的方法求出線圖的經(jīng)驗(yàn)公式，再將公式編人程序，下一節(jié)將詳細(xì)討論這個(gè)問(wèn)題。 圖3—6 齒輪載荷分布系數(shù)Kβ1一齒輪在軸上對(duì)稱(chēng)布置；2一非對(duì)稱(chēng)布置，軸剛性大；3一非對(duì)稱(chēng)布置，軸剛性?。?一懸臂布置b一齒寬，mm；d1一分度圓直徑，mm 表 38 齒輪載荷分布系數(shù)Kβ 建立經(jīng)驗(yàn)公式的方法實(shí)際的工程問(wèn)題中時(shí)常需要用一定的數(shù)學(xué)方法將一系列測(cè)試數(shù)據(jù)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合成近似的經(jīng)驗(yàn)公式，這種建立經(jīng)驗(yàn)公式的過(guò)程也稱(chēng)為曲線擬合。本節(jié)主要敘述采用最小二乘法的曲線擬合。如圖3 一7 中1 ~ 9 為已知點(diǎn)，y = f ( x ）是擬合所得的曲線，它不一定通過(guò)所有點(diǎn)，但盡可能接近這些點(diǎn)，因此反映了所給數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，比較符合實(shí)際規(guī)律。一、 最小二乘法擬合的基本思想已知：由線圖或?qū)嶒?yàn)所得m 個(gè)點(diǎn)的值 ( x1 ，y1 ) , ( x2 ，y2) ，… ，( xm，ym )設(shè)擬合公式為 因此每一結(jié)點(diǎn)處的偏差為： i = 1 , 2 ，… ，m偏差的平方和為 圖37 最小二乘法的曲線擬合 擬合公式y(tǒng) = f ( x ) 具有一定的函數(shù)類(lèi)型及系數(shù)，例如 即為直線方程，如何決定系數(shù)及的值呢？最基本的要求就是由該系數(shù)決定的直線與各結(jié)點(diǎn)的偏差的平方和最小，因此稱(chēng)最小二乘法擬合。擬合公式的類(lèi)型通常可以選取初等函數(shù)，如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、代數(shù)多項(xiàng)式等。這一工作由編程人員來(lái)決定，一般先將數(shù)據(jù)畫(huà)在方格紙上，根據(jù)曲線形態(tài)判斷所采用的函數(shù)類(lèi)型。本節(jié)只討論在選定函數(shù)類(lèi)型的情況下如何確定各系數(shù)值的問(wèn)題。 二、最小二乘法的多項(xiàng)式擬合設(shè)擬合公式為： 已知m個(gè)點(diǎn)的值( x1, y1 ), ( x2, y2 ), … ( xm, ym ), 且mn, 結(jié)點(diǎn)偏差的平方和為： 這表明偏差平方和是的函數(shù)，為使其最小，取對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)等于零，得： 0, 1, 2, …, n即 0，1，2，…，n求各偏導(dǎo)數(shù)并經(jīng)整理后可得下面的方程組： (35)其中，均為對(duì)i = 0, 1, 2, …, m求和。上公式中待定的系數(shù)(a0, a1, a2, …,an)共(n+1)個(gè)，方程也是(n+1)個(gè)，因此解此聯(lián)立方程，就可求得各系數(shù)。例31．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，它有7個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)要求用二次多項(xiàng)式擬合。點(diǎn)號(hào) 1 2 3 4 5 6 7x值y值3 2 1 0 1 2 3 4 2 3 0 1 2 5設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為 由上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及經(jīng)驗(yàn)公式知m=7,n=2,代入公式（35）得以下3個(gè)方程： ()把用表中的值代入，得： 求解得： 最后得擬合后的經(jīng)驗(yàn)公式： 注意：( 1 )多項(xiàng)式的冪次不能太高，一般小于7 ，可先用較低的冪次，如誤差較大則再提高。( 2 )一組數(shù)據(jù)或一條線圖有時(shí)不能用一個(gè)多項(xiàng)式表示其全部，此時(shí)應(yīng)分段處理，分段大都發(fā)生在拐點(diǎn)或轉(zhuǎn)折之處。此外如欲提高某區(qū)間的擬合精度，則應(yīng)在該區(qū)間上采集更多的點(diǎn)。簡(jiǎn)談：為了計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的值，前面介紹幾種方法，都是設(shè)法求出其近似式——插值函數(shù)，最優(yōu)平方逼近函數(shù)，最優(yōu)一致逼近函數(shù)，通過(guò)計(jì)算近似式的值求得復(fù)雜函數(shù)的近似值。三、最小二乘法的其他函數(shù)的擬合 :除代數(shù)多項(xiàng)式外，根據(jù)情況還可采用： ( 1 )冪函數(shù) ；( 2 )指數(shù)函數(shù) ；( 3 )對(duì)數(shù)函數(shù) ?？偨Y(jié)插值和擬合的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)：都是近似函數(shù)（在此都是代數(shù)多項(xiàng)式），內(nèi)插曲線必須經(jīng)過(guò)每一個(gè)采樣點(diǎn)，而擬合曲線則不需要通過(guò)采樣點(diǎn)，因此內(nèi)插法適用于噪聲很少的采樣數(shù)據(jù)。插值（interpolation）可用于預(yù)估在數(shù)據(jù)點(diǎn)中間的函數(shù)值，而擬合是利用有限的采樣點(diǎn)（Sample Points ) 來(lái)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 MATLAB語(yǔ)言簡(jiǎn)介一、 MATLAB的用途及界面： 用途：可用來(lái)進(jìn)行各種數(shù)值運(yùn)算、控制系統(tǒng)仿真、數(shù)字信號(hào)處理、財(cái)經(jīng)工程等。 界面： 提示符,可在其后輸入各種表達(dá)式，按回車(chē)鍵即可。先通過(guò)《CAD》p49的解聯(lián)立線性方程引出MATLAB的特點(diǎn)。二、 初探MATLAB 基本運(yùn)算與變量的使用：MATLAB能識(shí)別一般常用的加（+）、減（—）、乘( * )、除( / )、冪( ^ ) 等運(yùn)算符號(hào),還能進(jìn)行與矩陣相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，如轉(zhuǎn)置( ‘ )、左除( \ )、右除( / )、冒號(hào)( : )等。注意運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)（ 轉(zhuǎn)置、冪、乘、除、加、減、冒號(hào) ）若對(duì)運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)有疑慮時(shí)，最好的方法是加上括號(hào)來(lái)強(qiáng)制實(shí)現(xiàn)所需的運(yùn)算順序。 例子： (5*2+)/5 ans = 解釋變量ans (5*2+)/5。 解釋 。 如果想看ans的內(nèi)容 ans x = (5*2+)/5 y = (5*2+)/5。 %將運(yùn)算結(jié)果存儲(chǔ)于變量y，但不用顯示于屏幕 MATLAB會(huì)將所有在 % 之后的文字視為程序的注釋(Comment)，可提高程序的可讀性，% 之后的文字會(huì)被MATLAB忽略不執(zhí)行。 MATLAB可同時(shí)執(zhí)行以逗號(hào)( ，)或分號(hào)( ；)隔開(kāi)的數(shù)個(gè)表達(dá)式： x = sin(pi/3), y=x^2。z=y*10 若一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算式太長(zhǎng)，可用三個(gè)句號(hào)(…)將其延伸到下一行 z = 10*sin(pi/3)*… sin(pi/3) 表 39 MATLAB的永久常數(shù) 注意： 、變量命名規(guī)則：第一個(gè)字母必須是英文字母； 字母間不可留空格； 最多只能有31個(gè)字母； MATLAB在使用變量時(shí)，不需預(yù)先經(jīng)過(guò)變量聲明，而且所有數(shù)據(jù)變量均以默認(rèn)的double數(shù)據(jù)類(lèi)型儲(chǔ)存。 、MATLAB除了能完成數(shù)學(xué)運(yùn)算外，還能完成關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算、位運(yùn)算和集合運(yùn)算。向量與矩陣的處理：在上面的例子中，MATLAB的變量是來(lái)儲(chǔ)存標(biāo)量(Scalars)，其實(shí)MATLAB中的變量還可用來(lái)儲(chǔ)存向量(Vectors)及矩陣(Matrix),