從三角函數(shù)誘導公式五的證明探索角終邊的軸對稱問題(編輯修改稿)
2025-07-04 14:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定理：當角與角的終邊關于直線（、且、不全為）對稱，則存在，使得+=2，其中為以直線為終邊的最小正角.推論1：與角的終邊關于直線（、且、不全為）對稱的角的集合表示為：，其中為以直線為終邊的最小正角.：若角與角的終邊關于直線對稱，則以直線為終邊的角的集合表示為：.定義：若角與角的終邊關于直線對稱，稱直線為角與角的對稱軸.推論2：角與角的對稱軸方程為： .推論2的證明：設角與角的終邊關于過原點的直線對稱，，是以直線為終邊的最小正角. 當為偶數(shù)時， =當為奇數(shù)時，==直線的方程為：， 也即為. =易知，此時直線的表達式為，而==，易知當為偶數(shù)時，=，當為奇數(shù)時，=直線方程也可表示為：綜上，角與角對稱軸方程為：.3角終邊的軸對稱理論與現(xiàn)實教學的“三個結(jié)合”3．1與誘導公式證明教學相結(jié)合 回到前文講到的誘導公式四、五，當為任意角時，我們可以分別用代數(shù)法與幾何法來證明之，但要把這一理論思想直接用于普通高中的教學未必妥當。其中最重要的原因是高一學生的邏輯思維水平與字母運算能力尚在最初步的培養(yǎng)中，因此，筆者建議，對誘導公式四、五證明中涉及到的兩角終邊的軸對稱問題，不妨回歸到，而后對的終邊分別屬于兩條對稱軸與四個象限進行分類討論，給學生一個切實的感性認識，然后再推廣到當為任意角這一一般情況。1示范：若角，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，則，探索與的數(shù)量關系。分析：設角與角的與軸非負半軸分別交于點（如圖5），又令=，則=，且=……① ……②①+②： ，即，由終邊相同角的數(shù)量表示，角的終邊是，以為終邊的角可以表示為=（），移項得：（）.用相同的方法可以得到：當角與角的終邊關于對稱，存在，使得.有了這一基礎后，教師應該趁勝追問，建議先后設立下面兩問：問1：式子“”與“”區(qū)別在于“”與“”，這一個值又有什么決定？教師歸納：“”與“”分別是以軸為為終邊的最小正角與以直線為終邊的最小正角的兩倍。問2：如果角與角的終邊關于直線對稱，如何得出與的數(shù)量關系？教師歸納：與之和為以直線為終邊的最小正角的兩倍加上周角的整數(shù)倍。（板書）：+=2. 接下來就是對角終邊直線對稱定理的記憶，而幾何法（數(shù)軸法）的給出恰恰能夠起到由已知記憶新知的作用，因此我們就有必要把任意角從單位圓過渡到數(shù)軸。但如果直接應用前文的證明，并非能
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