從三角函數(shù)誘導(dǎo)公式五的證明探索角終邊的軸對稱問題(編輯修改稿)
2025-07-04 14:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定理：當(dāng)角與角的終邊關(guān)于直線（、且、不全為）對稱，則存在，使得+=2，其中為以直線為終邊的最小正角.推論1：與角的終邊關(guān)于直線（、且、不全為）對稱的角的集合表示為：，其中為以直線為終邊的最小正角.：若角與角的終邊關(guān)于直線對稱，則以直線為終邊的角的集合表示為：.定義：若角與角的終邊關(guān)于直線對稱，稱直線為角與角的對稱軸.推論2：角與角的對稱軸方程為： .推論2的證明：設(shè)角與角的終邊關(guān)于過原點的直線對稱，，是以直線為終邊的最小正角. 當(dāng)為偶數(shù)時， =當(dāng)為奇數(shù)時，==直線的方程為：， 也即為. =易知，此時直線的表達(dá)式為，而==，易知當(dāng)為偶數(shù)時，=，當(dāng)為奇數(shù)時，=直線方程也可表示為：綜上，角與角對稱軸方程為：.3角終邊的軸對稱理論與現(xiàn)實教學(xué)的“三個結(jié)合”3．1與誘導(dǎo)公式證明教學(xué)相結(jié)合 回到前文講到的誘導(dǎo)公式四、五，當(dāng)為任意角時，我們可以分別用代數(shù)法與幾何法來證明之，但要把這一理論思想直接用于普通高中的教學(xué)未必妥當(dāng)。其中最重要的原因是高一學(xué)生的邏輯思維水平與字母運算能力尚在最初步的培養(yǎng)中，因此，筆者建議，對誘導(dǎo)公式四、五證明中涉及到的兩角終邊的軸對稱問題，不妨回歸到，而后對的終邊分別屬于兩條對稱軸與四個象限進(jìn)行分類討論，給學(xué)生一個切實的感性認(rèn)識，然后再推廣到當(dāng)為任意角這一一般情況。1示范：若角，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則，探索與的數(shù)量關(guān)系。分析：設(shè)角與角的與軸非負(fù)半軸分別交于點（如圖5），又令=，則=，且=……① ……②①+②： ，即，由終邊相同角的數(shù)量表示，角的終邊是，以為終邊的角可以表示為=（），移項得：（）.用相同的方法可以得到：當(dāng)角與角的終邊關(guān)于對稱，存在，使得.有了這一基礎(chǔ)后，教師應(yīng)該趁勝追問，建議先后設(shè)立下面兩問：問1：式子“”與“”區(qū)別在于“”與“”，這一個值又有什么決定？教師歸納：“”與“”分別是以軸為為終邊的最小正角與以直線為終邊的最小正角的兩倍。問2：如果角與角的終邊關(guān)于直線對稱，如何得出與的數(shù)量關(guān)系？教師歸納：與之和為以直線為終邊的最小正角的兩倍加上周角的整數(shù)倍。（板書）：+=2. 接下來就是對角終邊直線對稱定理的記憶，而幾何法（數(shù)軸法）的給出恰恰能夠起到由已知記憶新知的作用，因此我們就有必要把任意角從單位圓過渡到數(shù)軸。但如果直接應(yīng)用前文的證明，并非能
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