高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(編輯修改稿)
2024-12-18 17:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( π ＋ α )sin ( π ＋ α ) c os α ＝( － sin α ) ( － c os α )－ sin α c os α＝－ 1 ； 當(dāng) k 為奇數(shù)時，可設(shè) k ＝ 2 m ＋ 1( m ∈ Z ) ， 仿上可得，原式＝－ 1. 法 2 ：由 ( k π ＋ α ) ＋ ( k π － α ) ＝ 2 k π 及 [( k － 1) π － α ] ＋ [( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝ 2 k π 得， sin( k π － α ) ＝－ sin( k π ＋ α ) ， c os[ ( k － 1) π － α ] ＝ c os[ ( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝－ c os( k π ＋ α ) ， sin[ ( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝－ sin( k π ＋ α ) ． 故原式＝－ sin ( k π ＋ α ) [ － c os ( k π ＋ α ) ]－ sin ( k π ＋ α ) c os ( k π ＋ α )＝－ 1. [ 例 3] 已知1 ＋ tan α1 － tan α＝ 3 ＋ 2 2 . 求 c os2(π － α ) ＋ sin(π ＋α )c os( π － α ) ＋ 2sin2( α － π) 的值． ? [分析 ] 由已知出發(fā)可求出 tanα的值，利用誘導(dǎo)公式可把被求式轉(zhuǎn)化為含 sinα與 cosα的齊次式，這樣進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂蓪⑵浔硎緸殛P(guān)于 tanα的表示式，代入值即可求解． [ 解析 ] 解關(guān)于 tan α 的方程1 ＋ tan α1 － tan α＝ 3 ＋ 2 2 得， tan α ＝22. ∴ c os2(π － α ) ＋ sin( π ＋ α ) c os( π － α ) ＋ 2sin2( α － π) ＝ c os2α ＋ sin α c os α ＋ 2si n2α ＝c os2α ＋ sin α c os α ＋ 2sin2αc os2α ＋ sin2α ＝1 ＋ tan α ＋ 2ta n2α1 ＋ tan2α＝1 ＋22＋ 11 ＋12＝4 ＋ 23. ? [點評 ] 已知某式的三角函數(shù)值，求其它式子的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是尋求已知式與被求式的內(nèi)在聯(lián)系，恰當(dāng)選擇公式，體現(xiàn)了把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的數(shù)學(xué)思想． [ 答案 ] －1 － a2a ? 若 cos165176。 ＝ a，則 tan195176。 ＝ ________. [ 解析 ] a ＝ c os165176。 ＝ c os( 180176。 － 15176。 ) ＝－ c os15 176。 ， ∴ c os15176。 ＝－ a 0 ， ∴ a 0 ， ∴ sin15176。 ＝ 1 － a2， ∴ tan 195176。 ＝ tan ( 180176。 ＋ 15176。 ) ＝ tan 15176。 ＝sin15176。c os15176。＝－1 － a2a. [ 例 4] 是否存在 α ∈??????－π2，π2， β ∈ (0 ， π) ，使等式 sin(3π－ α ) ＝ 2 c os??????π2－ β ， 3 c os( － α ) ＝－ 2 c os( π ＋ β ) 同時成立？若存在，求出 α ， β 的值；若不存在，說明理由． ? [分析 ] 題中所給條件式比較繁瑣，故先化簡，然后利用平方關(guān)系消去 α(或 β)解方程可求出角 α與 β的一個三角函數(shù)值和其范圍，進(jìn)一步求出角． [ 解析 ] 由條件得，????? sin α ＝ 2 sin β ①3 c os α ＝ 2 c os β
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