【文章內(nèi)容簡介】 表如下：有6可能結(jié)果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．　　　　(注：用其它方式表達(dá)選購方案且正確給1分)（2） 因?yàn)檫x中A型號(hào)電腦有2種方案，即(A，D)（A，E），所以A型號(hào)電腦被選中的概率是（3） 由（2）可知，當(dāng)選用方案（A，D）時(shí)，設(shè)購買A型號(hào)、D型號(hào)電腦分別為x，y臺(tái)，根據(jù)題意，得解得經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，舍去；(注：如考生不列方程，直接判斷(A，D)不合題意，舍去，也給2分)當(dāng)選用方案（A，Ｅ）時(shí)，設(shè)購買A型號(hào)、Ｅ型號(hào)電腦分別為x，y臺(tái)，根據(jù)題意，得解得所以希望中學(xué)購買了7臺(tái)A型號(hào)電腦．（二）統(tǒng)計(jì)型設(shè)計(jì)題 例5．某中學(xué)要召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，決定從初三年級(jí)全部的150名的女生中選30人，組成一個(gè)彩旗方隊(duì)（要求參加方隊(duì)的同學(xué)的身高盡可能接近）．現(xiàn)在抽測了10名女生的身高，結(jié)果如下（單位：厘米）： 166 154 151 167 162 158 158 160 162 162（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，初三年級(jí)全體女生的平均身高約是多少厘米？（2）這10名女生的身高的中位數(shù)、眾數(shù)各是多少？（3）請(qǐng)你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)一個(gè)挑選參加方隊(duì)的女生的方案．（請(qǐng)簡要說明）解：（1）因?yàn)椋?66＋154＋151＋167＋162＋158＋158＋160＋162＋162）247。10＝160（厘米），所以九年級(jí)全體女生的平均身高約是160厘米．（2）這10名女生的身高的中位數(shù)是161厘米，眾數(shù)是162厘米．（3）先將九年級(jí)中身高為162厘米的所有女生挑選出來作為參加旗隊(duì)的女生，如此進(jìn)行下去，直至挑選到30人為止．（三）測量設(shè)計(jì)題例3圖7一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖7所示，其中背水面的整個(gè)坡面是長為90米、寬為5米的矩形. 現(xiàn)需將其整修并進(jìn)行美化，方案如下：① 將背水坡AB的坡度由1∶∶；② 用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花 ．⑴ 求整修后背水坡面的面積；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草至少需要多少元？解：⑴ 作AE⊥BC于E．∵ 原來的坡度是1∶，∴ ＝ ．設(shè)AE＝4k，BE＝3k，∴ AB＝5k，又 ∵ AB＝5米，∴k＝1，則AE＝4米 ．設(shè)整修后的斜坡為，由整修后坡度為1∶，有，∴∠＝30176。．∴ 8米 . ∴ 整修后背水坡面面積為908＝720米2 ．⑵ 將整修后的背水坡面分為9塊相同的矩形，則每一區(qū)域的面積為80米2 ．解法一：∵ 要依次相間地種植花草，有兩種方案：第一種是種草5塊，種花4塊，需要20580＋25480＝16000元；第二種是種花5塊，種草4塊，需要20480＋25580＝16400元 ．∴ 應(yīng)選擇種草5塊、種花4塊的方案，需要花費(fèi)16000元 ．解法二：∵ 要依次相間地種植花草，則必然有一種是5塊，有一種是4塊，而栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，∴ 兩種方案中，選擇種草5塊、種花4塊的方案花費(fèi)較少 ．即：需要花費(fèi)20580＋25480＝16000元 ．2. 如圖2－2－21，河邊有一條筆直的公路，公路兩側(cè)是平坦的草地．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求測量河對(duì)岸B點(diǎn)到公路的距離，：公路圖2221⑴列出你測量所使用的測量工具；⑵畫出測量的示意圖，寫出測量的步驟；⑶用字母表示測得的數(shù)據(jù)，求出B點(diǎn)到公路的距離. 解： 本例屬于測量問題的方案設(shè)計(jì)題.⑴ 測角器、尺子；ACDB公路圖2222⑵ 測量示意圖見圖2－2－22；測量步驟：①在公路上取兩點(diǎn)C、D，使∠BCD、∠BDC為銳角；②用測角器測出∠BCD＝a，∠BDC＝∠b；③用尺子測得CD的長，記為m米；④計(jì)算求值．⑶解：設(shè)B到CD的距離為x米，作BA⊥CD于點(diǎn)A，在△CAB中，x＝CAtana，在△DAB中，x＝ADtanb，∴CA＝，AD＝．∵CA＋AD＝m，∴＝m，∴x＝m．（四）圖形設(shè)計(jì)題例4 為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對(duì)一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案．圖案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì)，使正方形和所畫的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．種植花草部分用陰影表示．請(qǐng)你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的的設(shè)計(jì)圖案．提示：在兩個(gè)圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種．①②③④⑤解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一．（滿分8分）178。 第二講 開放性問題一．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理教育部于1992000年接連印發(fā)的《關(guān)于初中畢業(yè)、升學(xué)考試改革的指導(dǎo)意見》中明確要求，數(shù)學(xué)試題應(yīng)設(shè)計(jì)一定的“開放性問題”．此后，開放型試題成為各地中考的必考試題．所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結(jié)論，對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)想像、擴(kuò)散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型．開放型試題重在開發(fā)思維，促進(jìn)創(chuàng)新，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點(diǎn)考題．觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證是科學(xué)思維方法，是新課標(biāo)思維能力新添的內(nèi)容，學(xué)習(xí)中應(yīng)重視并應(yīng)用．開放題是中考題多樣化和時(shí)代發(fā)展要求的產(chǎn)物，單一的題型和測試目標(biāo)限制了考生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性．開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發(fā)揮水平的，也有利于考生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)．開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開放題的目標(biāo)；思維的多向性，它是開放題的實(shí)質(zhì)；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識(shí)的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實(shí)踐；內(nèi)涵的發(fā)展性，它是開放題的認(rèn)識(shí)．過程開放或結(jié)論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多側(cè)面、多層次地思考問題，有助于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的潛在能力．題型1條件開放與探索條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補(bǔ)充的條件不是得出結(jié)論的必要條件，所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論推出．題型2結(jié)論開放與探索給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要解題者進(jìn)行推斷，甚至要求解題者探求條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性問題．它要求解題者充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力． 題型3解題方法的開放與探索策略開放性問題，一般指解題方法不惟一或解題途徑不明確的問題，這類問題要求解題者不墨守成規(guī)，善于標(biāo)新立異，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過程．二、知識(shí)運(yùn)用舉例（一）條件開放例1 .如圖，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母與輔助線，要使△ABC≌△DCB，則還需增加一個(gè)條件是__．DCB 例2圖 解：：AB＝DC；∠ACB＝∠DBC；∠A＝∠D＝Rt∠…．例2如圖，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn)．（1）如果__________ ，則ΔDEC≌ΔBFA（請(qǐng)你填上能使結(jié)論成立的一個(gè)條件）；（2）證明你的結(jié)論．分析：這是一道探索條件、補(bǔ)充條件的開放型試題，解決這類問題的方法是假設(shè)結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件．解：（1）AE＝CF（OE＝OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等） （2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF 又∵AE＝CF，∴AC－AE＝AC－CF，∴AF＝CE，∴ΔDEC≌ΔBAF說明：考查了矩形的性質(zhì)及三角形全等的判定．例3 已知：∠MAN＝30176。，O為邊AN上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D，E兩點(diǎn)，設(shè)AD＝x． （1）如圖（1）當(dāng)x取何值時(shí)，⊙O與AM相切；（2）如圖（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與AM相交于B，C兩點(diǎn)，且∠BOC＝90176。．【解答】（1）在圖（1）中，當(dāng)⊙O與AM相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F．連結(jié)OF，則OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN＝30176。，∴OF＝OA．∴2＝（x＋2），∴x＝2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，⊙O與AM相切．（2）在圖（2）中，過點(diǎn)O作OH⊥BC于H．當(dāng)∠BOC＝90176。時(shí)，△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝＝2，∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∴OH＝BC＝．在Rt△AHO中，∠A＝30176。，∴OH＝OA，∴＝（x＋2），∴x＝2－2．∴當(dāng)x＝2－2時(shí)，⊙O與AM相交于B，C兩點(diǎn)，且∠BOC＝90176。．【點(diǎn)評(píng)】解答這類問題往往是把結(jié)論反過來當(dāng)條件用，本例利用了圓的切線性質(zhì)和垂徑定理，構(gòu)造特殊直角三角形，使問題得以求解．（二）、結(jié)論開放例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，D為垂足．由以上兩個(gè)條件可得________．(寫出一個(gè)結(jié)論)解：∠1＝∠2或BD＝DC或△ABD≌△ACD等．例2如圖，◎Ol與◎O2相交于點(diǎn)A、B，順次連結(jié)0l、A、0B四點(diǎn)，得四邊形01A02B． （1）根據(jù)我們學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形性質(zhì)時(shí)所獲得的經(jīng)驗(yàn)，探求圖中的四邊形有哪 些性質(zhì)?(用文字語言寫出4條性質(zhì))性質(zhì)1．________________________________； 性質(zhì)2．________________________________；性質(zhì)3．________________________________；性質(zhì)4．________________________________．（2）設(shè)◎O1的半徑為尺，◎O2的半徑為r(R＞r)，0l，02的距離為d．當(dāng)d變化時(shí)， 四邊形01A02B的形狀也會(huì)發(fā)生變化．要使四邊形01A02B是凸四邊形(把四邊形的任一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線同一旁的四邊形)．則d的取值范圍是____________________________解：（1）是開放性問題，答案有許多，如：性質(zhì)1：相交兩圓連心線垂直公共弦；性質(zhì)2：相交兩圓連心線平分公共弦；性質(zhì)3：線段01A＝線段01B；性質(zhì)4：線段02B＝線段02A；性質(zhì)5：∠01A02＝∠01B02；等等．（2）實(shí)質(zhì)是相交兩圓的d與R＋r的關(guān)系，應(yīng)為R—r＜d＜R＋r．例3已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上任一位置（如圖①所示）時(shí)，易證得結(jié)論：PA2＋PC2＝PB2＋PD2，請(qǐng)你探究：當(dāng)P點(diǎn)分別在圖②、圖③中的位置時(shí)，PAPBPC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖②證明你的結(jié)論． 答：對(duì)圖②的探究結(jié)論為__________．對(duì)圖③的探究結(jié)論為_________． 證明：如圖2． 結(jié)論均是：PA2＋PC2＝PB2＋PD2． 證明：如圖②過點(diǎn)P作MN⊥AD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N． ∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC 在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2 在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2 在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2 在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2 ∴PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2 PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 ∵M(jìn)N⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC． ∴四邊形MNCD是矩形． ∴MD＝NC． 同理 AM＝BN． ∴PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2． 即PA2＋PC2＝PB2＋PD2． 【評(píng)析】本題也是一道結(jié)論開放題，通過閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結(jié)論，但是說明理由時(shí)，有一定的難度．正確作出輔助線，創(chuàng)造使用勾股的條件，是解決問題的關(guān)鍵．（三）、綜合開放例1已知拋物線與軸的交點(diǎn)為A、B（B在A的右邊），與軸的交點(diǎn)為C．（1）寫出時(shí)與拋物線有關(guān)的三個(gè)正確結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，是否存在△BOC為等腰三角形的情形?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你提出一個(gè)對(duì)任意的值都能成立的正確命題（說明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分有差異）．解：當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線解析式為y＝－＋1，可從對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、最值、增減性等多方面去寫出許多正確結(jié)論，任寫三個(gè)就可；（2）存在．m＝2；（3）是結(jié)論開放題，答案有許多，如：拋物線y＝－＋1與x軸總有交點(diǎn)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為1或函數(shù)最大值為1等．例2. 在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①． （1）請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系．若點(diǎn)P在DC的延長線上（如圖②），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD的延長線上呢（如圖③）？請(qǐng)分別直接寫出結(jié)論； （2）請(qǐng)?jiān)冢?）中的三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)加以證明．178。 第三講 學(xué)科整合型問題一、 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理新頒布的《課程標(biāo)準(zhǔn)》在教材編寫建議中特別強(qiáng)調(diào)：“所選擇的素材應(yīng)盡量來源于自然、社會(huì)與科學(xué)中的現(xiàn)象和實(shí)際問題”，因此，以其他學(xué)科為素材的跨學(xué)科試題