【文章內容簡介】 表如下：有6可能結果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．　　　　(注：用其它方式表達選購方案且正確給1分)（2） 因為選中A型號電腦有2種方案，即(A，D)（A，E），所以A型號電腦被選中的概率是（3） 由（2）可知，當選用方案（A，D）時，設購買A型號、D型號電腦分別為x，y臺，根據(jù)題意，得解得經(jīng)檢驗不符合題意，舍去；(注：如考生不列方程，直接判斷(A，D)不合題意，舍去，也給2分)當選用方案（A，Ｅ）時，設購買A型號、Ｅ型號電腦分別為x，y臺，根據(jù)題意，得解得所以希望中學購買了7臺A型號電腦．（二）統(tǒng)計型設計題 例5．某中學要召開運動會，決定從初三年級全部的150名的女生中選30人，組成一個彩旗方隊（要求參加方隊的同學的身高盡可能接近）．現(xiàn)在抽測了10名女生的身高，結果如下（單位：厘米）： 166 154 151 167 162 158 158 160 162 162（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，初三年級全體女生的平均身高約是多少厘米？（2）這10名女生的身高的中位數(shù)、眾數(shù)各是多少？（3）請你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，設計一個挑選參加方隊的女生的方案．（請簡要說明）解：（1）因為（166＋154＋151＋167＋162＋158＋158＋160＋162＋162）247。10＝160（厘米），所以九年級全體女生的平均身高約是160厘米．（2）這10名女生的身高的中位數(shù)是161厘米，眾數(shù)是162厘米．（3）先將九年級中身高為162厘米的所有女生挑選出來作為參加旗隊的女生，如此進行下去，直至挑選到30人為止．（三）測量設計題例3圖7一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖7所示，其中背水面的整個坡面是長為90米、寬為5米的矩形. 現(xiàn)需將其整修并進行美化，方案如下：① 將背水坡AB的坡度由1∶∶；② 用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花 ．⑴ 求整修后背水坡面的面積；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草至少需要多少元？解：⑴ 作AE⊥BC于E．∵ 原來的坡度是1∶，∴ ＝ ．設AE＝4k，BE＝3k，∴ AB＝5k，又 ∵ AB＝5米，∴k＝1，則AE＝4米 ．設整修后的斜坡為，由整修后坡度為1∶，有，∴∠＝30176。．∴ 8米 . ∴ 整修后背水坡面面積為908＝720米2 ．⑵ 將整修后的背水坡面分為9塊相同的矩形，則每一區(qū)域的面積為80米2 ．解法一：∵ 要依次相間地種植花草，有兩種方案：第一種是種草5塊，種花4塊，需要20580＋25480＝16000元；第二種是種花5塊，種草4塊，需要20480＋25580＝16400元 ．∴ 應選擇種草5塊、種花4塊的方案，需要花費16000元 ．解法二：∵ 要依次相間地種植花草，則必然有一種是5塊，有一種是4塊，而栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，∴ 兩種方案中，選擇種草5塊、種花4塊的方案花費較少 ．即：需要花費20580＋25480＝16000元 ．2. 如圖2－2－21，河邊有一條筆直的公路，公路兩側是平坦的草地．在數(shù)學活動課上，老師要求測量河對岸B點到公路的距離，：公路圖2221⑴列出你測量所使用的測量工具；⑵畫出測量的示意圖，寫出測量的步驟；⑶用字母表示測得的數(shù)據(jù)，求出B點到公路的距離. 解： 本例屬于測量問題的方案設計題.⑴ 測角器、尺子；ACDB公路圖2222⑵ 測量示意圖見圖2－2－22；測量步驟：①在公路上取兩點C、D，使∠BCD、∠BDC為銳角；②用測角器測出∠BCD＝a，∠BDC＝∠b；③用尺子測得CD的長，記為m米；④計算求值．⑶解：設B到CD的距離為x米，作BA⊥CD于點A，在△CAB中，x＝CAtana，在△DAB中，x＝ADtanb，∴CA＝，AD＝．∵CA＋AD＝m，∴＝m，∴x＝m．（四）圖形設計題例4 為創(chuàng)建綠色校園，學校決定對一塊正方形的空地進行種植花草，現(xiàn)向學生征集設計圖案．圖案要求只能用圓弧在正方形內加以設計，使正方形和所畫的圖弧構成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．種植花草部分用陰影表示．請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的的設計圖案．提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種．①②③④⑤解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一．（滿分8分）178。 第二講 開放性問題一．知識網(wǎng)絡梳理教育部于1992000年接連印發(fā)的《關于初中畢業(yè)、升學考試改革的指導意見》中明確要求，數(shù)學試題應設計一定的“開放性問題”．此后，開放型試題成為各地中考的必考試題．所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結論不確定的數(shù)學問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結論，對激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)想像、擴散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型．開放型試題重在開發(fā)思維，促進創(chuàng)新，提高數(shù)學素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點考題．觀察、實驗、猜想、論證是科學思維方法，是新課標思維能力新添的內容，學習中應重視并應用．開放題是中考題多樣化和時代發(fā)展要求的產物，單一的題型和測試目標限制了考生應用知識解決實際問題的能力，不利于激發(fā)學生的創(chuàng)造性．開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發(fā)揮水平的，也有利于考生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結構的多樣性，它是開放題的目標；思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內涵的發(fā)展性，它是開放題的認識．過程開放或結論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵學生多角度、多側面、多層次地思考問題，有助于充分調動學生的潛在能力．題型1條件開放與探索條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是得出結論的必要條件，所需補充的條件不能由結論推出．題型2結論開放與探索給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應的結論，并且符合條件的結論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應的結論的“存在性”需要解題者進行推斷，甚至要求解題者探求條件在變化中的結論，這些問題都是結論開放性問題．它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學基本知識的應用能力． 題型3解題方法的開放與探索策略開放性問題，一般指解題方法不惟一或解題途徑不明確的問題，這類問題要求解題者不墨守成規(guī)，善于標新立異，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過程．二、知識運用舉例（一）條件開放例1 .如圖，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母與輔助線，要使△ABC≌△DCB，則還需增加一個條件是__．DCB 例2圖 解：：AB＝DC；∠ACB＝∠DBC；∠A＝∠D＝Rt∠…．例2如圖，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點．（1）如果__________ ，則ΔDEC≌ΔBFA（請你填上能使結論成立的一個條件）；（2）證明你的結論．分析：這是一道探索條件、補充條件的開放型試題，解決這類問題的方法是假設結論成立，逐步探索其成立的條件．解：（1）AE＝CF（OE＝OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等） （2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF 又∵AE＝CF，∴AC－AE＝AC－CF，∴AF＝CE，∴ΔDEC≌ΔBAF說明：考查了矩形的性質及三角形全等的判定．例3 已知：∠MAN＝30176。，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D，E兩點，設AD＝x． （1）如圖（1）當x取何值時，⊙O與AM相切；（2）如圖（2）當x為何值時，⊙O與AM相交于B，C兩點，且∠BOC＝90176。．【解答】（1）在圖（1）中，當⊙O與AM相切時，設切點為F．連結OF，則OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN＝30176。，∴OF＝OA．∴2＝（x＋2），∴x＝2，∴當x＝2時，⊙O與AM相切．（2）在圖（2）中，過點O作OH⊥BC于H．當∠BOC＝90176。時，△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝＝2，∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∴OH＝BC＝．在Rt△AHO中，∠A＝30176。，∴OH＝OA，∴＝（x＋2），∴x＝2－2．∴當x＝2－2時，⊙O與AM相交于B，C兩點，且∠BOC＝90176。．【點評】解答這類問題往往是把結論反過來當條件用，本例利用了圓的切線性質和垂徑定理，構造特殊直角三角形，使問題得以求解．（二）、結論開放例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，D為垂足．由以上兩個條件可得________．(寫出一個結論)解：∠1＝∠2或BD＝DC或△ABD≌△ACD等．例2如圖，◎Ol與◎O2相交于點A、B，順次連結0l、A、0B四點，得四邊形01A02B． （1）根據(jù)我們學習矩形、菱形、正方形性質時所獲得的經(jīng)驗，探求圖中的四邊形有哪 些性質?(用文字語言寫出4條性質)性質1．________________________________； 性質2．________________________________；性質3．________________________________；性質4．________________________________．（2）設◎O1的半徑為尺，◎O2的半徑為r(R＞r)，0l，02的距離為d．當d變化時， 四邊形01A02B的形狀也會發(fā)生變化．要使四邊形01A02B是凸四邊形(把四邊形的任一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線同一旁的四邊形)．則d的取值范圍是____________________________解：（1）是開放性問題，答案有許多，如：性質1：相交兩圓連心線垂直公共弦；性質2：相交兩圓連心線平分公共弦；性質3：線段01A＝線段01B；性質4：線段02B＝線段02A；性質5：∠01A02＝∠01B02；等等．（2）實質是相交兩圓的d與R＋r的關系，應為R—r＜d＜R＋r．例3已知矩形ABCD和點P，當點P在邊BC上任一位置（如圖①所示）時，易證得結論：PA2＋PC2＝PB2＋PD2，請你探究：當P點分別在圖②、圖③中的位置時，PAPBPC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關系？請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并利用圖②證明你的結論． 答：對圖②的探究結論為__________．對圖③的探究結論為_________． 證明：如圖2． 結論均是：PA2＋PC2＝PB2＋PD2． 證明：如圖②過點P作MN⊥AD交AD于點M，交BC于點N． ∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC 在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2 在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2 在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2 在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2 ∴PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2 PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 ∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC． ∴四邊形MNCD是矩形． ∴MD＝NC． 同理 AM＝BN． ∴PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2． 即PA2＋PC2＝PB2＋PD2． 【評析】本題也是一道結論開放題，通過閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結論，但是說明理由時，有一定的難度．正確作出輔助線，創(chuàng)造使用勾股的條件，是解決問題的關鍵．（三）、綜合開放例1已知拋物線與軸的交點為A、B（B在A的右邊），與軸的交點為C．（1）寫出時與拋物線有關的三個正確結論；（2）當點B在原點的右邊，點C在原點的下方時，是否存在△BOC為等腰三角形的情形?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）請你提出一個對任意的值都能成立的正確命題（說明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分有差異）．解：當m＝1時，拋物線解析式為y＝－＋1，可從對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值、增減性等多方面去寫出許多正確結論，任寫三個就可；（2）存在．m＝2；（3）是結論開放題，答案有許多，如：拋物線y＝－＋1與x軸總有交點，頂點縱坐標為1或函數(shù)最大值為1等．例2. 在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①． （1）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關系．若點P在DC的延長線上（如圖②），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關系？若點P在CD的延長線上呢（如圖③）？請分別直接寫出結論； （2）請在（1）中的三個結論中選擇一個加以證明．178。 第三講 學科整合型問題一、 知識網(wǎng)絡梳理新頒布的《課程標準》在教材編寫建議中特別強調：“所選擇的素材應盡量來源于自然、社會與科學中的現(xiàn)象和實際問題”，因此，以其他學科為素材的跨學科試題