【文章內(nèi)容簡介】 二 行第 一 行 的 x ????????92 ????????? ?） 倍 加 到 第 二 行第 一 行 的 （ 1 36x???????? ?? ?） 倍 加 到 第 一 行第 二 行 的 （ x2 ????????9????????? ?） 倍 加 到 第 二 行第 一 行 的 （ 31 0x所以， 與 的一個最大公因式為 ．)(xfg(9?1x)2．矩陣廣義消法變換求公因式設(shè) ，則其系數(shù)矩陣是一個 2 矩陣?????????mmnnbxbxaxaf 110)(?? n????????mnnnba?? ?? 010因此，有如下定義：定義 5[8]設(shè) 矩陣n?2=A??????nsaa2221 11?? ??其中 ， （ =1，2 且 ； ） ，則稱將021??isii aa? ??isji,ji?1,0??ns?第 行的 個元素 ， 乘以常數(shù) 斜加到第 行的對應(yīng)元素n?1?isinis,2? k的變換為矩陣廣義消法變換．并規(guī)定：矩陣廣義消法變換所得到矩陣前sjj,21?列元素全為 0 時，應(yīng)及時消去該列再作變換．因此，反復利用矩陣廣義消法變換可不斷減少矩陣的列數(shù)以致最終將一個 矩n?2陣化成一個二階矩陣．現(xiàn)在，用矩陣廣義消法變換來求兩多項式的公因式．但是，如果在變換過程中出現(xiàn)某一行全為零，則變換停止．否則將變換到二階方陣為止．例 3 用矩陣廣義消法變換求解例 2．解：其系數(shù)矩陣 = ，對其進行A???????4510964?23??? ?? 31第 一 行 的???????4510??????? 第 一 行 斜 加 到 第 二 行?203???????? ?倍 加 到 第 一 行第 二 行 的 1???????41??????? ?? 三 行第 一 行 的 二 倍 斜 加 到 第?0???????倍 加 到 第 二 行第 一 行 的 4???????1因此， 的一個最大公因式為 ．)(xgf與 1?x由于允許多項式的最大公因式相差非零常數(shù)倍，因此上面兩種辦法求出來的最大公因式都是該多項式的最大公因式． 二元多項式的公因式求法為了適用面的廣泛性，我們看復系數(shù)的二元高次方程組 ，先把方程組????0),(yxBA中一個方程的左端都以 為主元按降冪排列得：x???? ?????)()()()(,( 110 ybxxybyBaaAmmnnnn??其系數(shù)矩陣 = 為一個一元多項式) ?????? )()(001 ya nnn?? ??矩陣．像前面一元高次方程組一樣，可采用矩陣廣義消法變換找出 的一個最大???),(yxBA公因式．注：對 施行矩陣廣義消法變換需作以下幾點補充說明：)(yA1．矩陣 的某一行可乘以一個 多項式；)(yp2．矩陣 的某一行的 多項式倍斜加到另一行；)()(q3．變換過程中出現(xiàn)形如 ，則變換停止． （其?????? ??)(00)()(111 yddkk??中 均為復數(shù)域上的 多項式． ）),21)(,() ??kiydqpi ?設(shè)系數(shù)矩陣 = 經(jīng)一系列的矩A ?????? ?? )()(00)((0110 ybybaayamnmnmn?? ??陣廣義消法變換可得到 兩種情況，前一種是一個?????????? ?????)(0)()()(21 111ycddkk??2 矩陣，后一種是一個二階方陣．現(xiàn)分別討論公因式．?1?k(一)在變換過程中，若出現(xiàn)前一種情況，則變換結(jié)束．⑴ 若 =0，則記 = ，由于在)(1ydk?),(yxr )()()(( 110 ydxxydkkkk ?????施行矩陣廣義消法變換過程中，引入了多項式 ．故不能完全確定 就是p,r的一個最大公因式．若 首項系數(shù) 含有因子 ，則記),(,xByA),()(0)(p，稱 為 的一個最大公因式；若 不含因1yrpr?),(1yxryxBA,yx式 ，則記 為 的一個最大公因式．變換過程中同樣引)(),(?),(,入了多項式 ，但我們可以說它不影響最大公因式的求解．因為 和 的q ),(A),(B最大公因式與 和 的最大公因式相同．),(),(yxBqyxA?),(例 4 ，)2)(1(1) ?????? yxyx 1)(1??yp，記 為 的一個最大公因式，則1(2p),(r),(A顯然， 的一個最大公因式是 = ；若在施行矩陣變換過),yx,(1r程中，引入了多項式 ，則 的一個最大公因式為 =(1p)),(1yxBpyx ),(yxr，含有因式 ，因而， 的一個最大公因式是 =x()1?y),( 1；若在施行矩陣變換過程中，引入了多項式 ，則 的)(2p),(),(2BpA一個最大公因式為 ，不含因式 ，因而， 的一個最),(??yxr yyx大公因式是 = ．,1yx1這個例子說明用矩陣廣義消法變換求兩多項式的最大公因式時，不能忽略變換過程中引入的多項式 ．)(p⑵ 若 = ( 為常數(shù) )，則說明無論 取何值，都不可能使 =0，故1ydk?C0?y)(1ydk?無公因式．????0),(xBA⑶若 = 為非常數(shù)的 多項式，按照前面尋求一元高次方程組的辦法，)(1ydk??y可知 則 使 =0．若 （ ）中至少有一個不為 0，不?0?)(0)(0di 1,2??ki?妨記角標最小的為 （ ）則記 =j 1??kj)(1yxr 1010)()(???jkjjkj xydx?+ 必為 的公因式．xydk)(01?)(0k ),(),(00yxBA（二）在變換過程中出現(xiàn)后一種情況，則⑴ 若 且 不含因式 多項式，則記 = 為原方)(2?C)(0)(p),(yxr)((10yCx程組的公因式．⑵ 若 = （ 為常數(shù)）說明無論 取何值，都不可能使 =0，故)(2y?C)(2無公因式．????0),(yxBA⑶若 = ，則存在 使得 =0．如果 ，則記 =(2C)y?0y)(0?0)(0?yC),(01yxr為 的公因式．)(010?),(,(0xBA 公因式判定二元高次方程組的解顯然， 有解的充要條件是其最大公因式 =0．則 ????0),(yx ),(1yxr⑴ 若 或 ，則任給一個 ，存在 使得 =0．故0)(1??ydk)(2yC0x0y),(01yxr=0 有無窮多組解．也就是 有無窮多組解；),(1yxr ????),(xBA⑵ 若 或 ，由于原方程組無最大公因式，因而無解；dk??)(1y)(20?⑶若 或 ，由于原方程組有最大公因式的條件是 =0y?)(C?)(y?或 ．設(shè)滿足 =0 或者 的 值為 ，則 有公因式的充要0)(?)(?y0y????0),(yxBA條件是 =0．由代數(shù)基本定理知， =0 最多有 個根，不妨記為 （,01yxr ),(01xrjk??）個．那么這 個根和 一起構(gòu)成原方程組的解，而使 =0 成立的 只有jk????0y )(y?y有限個，從而 的解有有限個（固定解） ；若 =0（ ）則????),(yxBA)(0di 1,2??ki?必有 =0．否則，與 有非常數(shù)公因式矛盾．但是一個 的常數(shù)矩)(0ydk ),(,yxBn?陣按照定義 5 的矩陣廣義消法變換是不可能成為 （ ）的零矩陣，因此這種m?2?情況只可能由引入的多項式 造成的．因而必有 ，則在變換過程中出現(xiàn)了)(p0)(?yp某行全為零，故不能繼續(xù)施行矩陣廣義消法變換．故需要將 帶回原方程組，重新判斷 是否有公因式．若有公因式，則說明原方程組有解，否則無解．若方程????0),(yxBA組有固定解，在討論固定解的個數(shù)時，先說明這樣一個事實：原方程組 與????0),(yxBA具有同解性．以下將用輾轉(zhuǎn)相除法來說明這一事實是正確的．????0)(,1yxr?設(shè) （ ）首先以 作? ????)()()()(,( 110 ybxxybxBaaAnnnn mm