【文章內(nèi)容簡介】 果）出發(fā)，進(jìn) 行逆轉(zhuǎn)推理的一種思維方法。對一些運用逆思維解答的數(shù)學(xué)問題，總是數(shù)學(xué)教學(xué)難點中的難點，是逆思維難以培養(yǎng)，還是現(xiàn)行教材中答題模式人為造成的混亂呢？在數(shù)學(xué)教學(xué)中這個問題始終困擾著我。到底怎樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，這是他們思維訓(xùn)練的重要方面。 小孩子在入學(xué)前，就已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)哪嫠季S能力。在幼兒園小朋友玩過猜數(shù)游戲 (如：把 6 根小棒，藏起來幾根，露出 2 根，讓他猜藏起來幾根？ )大部分小朋友都能順利的完成這個游戲，而且有的回答速度還相當(dāng)快。玩這個游戲，需要根據(jù)小棒的總數(shù)和未藏起的根數(shù)來推算，這里小朋友猜數(shù) 時，實際上就運用了 2+(?)=6 的思維方式。這說明幼兒園小朋友的逆向思維就已經(jīng)有了一定的發(fā)展。到了小學(xué)一年級后，當(dāng)學(xué)生第一次碰到圖畫表示的應(yīng)用題時，不論右邊的 3個有沒有畫出來，學(xué)生都能說出右邊是 3個，但是幾乎是所有的學(xué)生都會將算式列成 5+3＝ 8。這是許多一年級數(shù)學(xué)教師討論的對象。從學(xué)生思維上看，學(xué)生并沒有錯。從列式上，顯然不符合規(guī)定。再如：回答 “ 草地上有 10只白兔，走了一些，還剩下 7 只，問走了幾只白兔？ ” 這一類型的問題，學(xué)生毫不費力就會得出走了 3只，幾乎達(dá)到自動化的程度，這本來是令教師值得欣慰的事，可是看看 學(xué)生的列式，卻是大多數(shù)是 103=7，這顯然也不符合列式規(guī)范。教師只好使出渾身解數(shù)引導(dǎo)學(xué)生弄清問題是什么，回答問題從已知條件入手，算式的結(jié)果必須是所求的問題。通過引導(dǎo)學(xué)生似乎弄懂了，也乖乖地將算式改成 107=3，可是沒過多久，學(xué)生的老毛病又犯了，甚至，有的同學(xué)需要通過一兩年的犯錯才改過來。新課標(biāo)提倡教學(xué)的開放性，計算教學(xué)中，對學(xué)生使用的方法也可以說是空前的 “ 寬容 ” ，可是，解題模式上，又為何要定得這么死呢？學(xué)生用 103=7，在這一問題情境的理解上又何錯之有呢？美國著名的數(shù)學(xué)教育家舍費爾德的一個測試：一艘船 上載了 75 頭牛， 32 只羊，問船長幾歲？這一測試的結(jié)果大家并不陌生，為什么一個根本就沒有答案的數(shù)學(xué)題學(xué)生偏偏用題中的已知條件加減一通呢？難題這同我們?nèi)藶榈匾?guī)定列式的模式?jīng)]有直接的關(guān)系呢？暫且不談這個問題，通過一至三年級的數(shù)學(xué)教學(xué)，諸如此類的問題學(xué)生毫不容易才掌握了，可到了四年級學(xué)生列方程解應(yīng)用題時，真可謂是逆思維能力訓(xùn)練越到家的人受到的干擾就越大。這個時候，教師不得不再一次使出看家本領(lǐng)引導(dǎo)學(xué)生用順向思維去找數(shù)量關(guān)系。就用以上白兔這一問題來說吧，如果要求學(xué)生用列方程解這道題，尋找數(shù)量關(guān)系時，首先想到的往往是 ① 總 只數(shù) 剩下的只數(shù) =走了的知數(shù)， ② 剩下的只數(shù) +走了的只數(shù) =總只數(shù)。最不愿想的 23 就是曾經(jīng)一再不受老師歡迎的， ③ 總只數(shù) 走了的只數(shù) =剩下的只數(shù)。假如使用第 ① 種數(shù)量關(guān)系式，將得出方程 107=X。這直接就能算出 107=3 的算式又何必用方程 ??里 ??嗦的去解答呢？假如用第 ② 種關(guān)系式，雖說也是正確的，其實也難免是為列方程而列，多少有些牽強。無疑，第 ③ 種有關(guān)系式是順著事情發(fā)的進(jìn)程也是對將來進(jìn)一步學(xué)習(xí)用方程解應(yīng)用題最有益處的思維方式。而這種方式正是他們在一年級時就能自發(fā)找到的，到了四年級卻成了最不易接受的，將它重新拾起，學(xué) 生卻時常感到別扭。這不得不承認(rèn)，教育者有點兒在瞎折騰。 ????假如從一開始，就允許學(xué)生使用 107=3 這樣的列式方式，只要學(xué)生能理解走了的是 7 只而不是 3 只，或者當(dāng)數(shù)量變大不能簡單的靠口算得出結(jié)果時，引導(dǎo)學(xué)生用 10(??)=3，然后想辦法算出括號里面應(yīng)填幾，在學(xué)生填空的時候，自然就會用逆思維 103 來計算，這并不影響他們逆思維能力的培養(yǎng)，也不影響對生活實際問題的解決能力。到了學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時將 (?)改成 X，也就會水到渠成了。這樣老師教得輕松，學(xué)生也學(xué)得樂意，難道不是一件美事？數(shù)學(xué)教學(xué)是一種思維活動，正 確引導(dǎo)學(xué)生思維，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能讓學(xué)生在輕松愉快中牢固地掌握知識，使之在獲取知識拓展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時，更多地獲得可持續(xù)發(fā)展的力量。接下來，我會在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中充分挖掘教材中的互反因素，有機地訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 敘事二： 《圓錐的體積》教學(xué)案例與教育敘事 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！眲邮植僮骰顒幽芎芎玫厥勾竽X處于積極的思維狀態(tài)，有利于思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品 質(zhì)。下面一節(jié)五年級數(shù)學(xué)課《圓錐的體積》的教學(xué)在這方面給了我很多啟示。 課始，教師提出 —— 師：你們是憑什么來判斷手中圓錐的大和小的 ? 生 1：我們組是直接看的。 生 2：我們組是通過比高矮得出的。 生 3：我們組不僅比它們的高，還比它們的底面，是通過這兩者得出來的。 師：你們猜一猜圓錐的體積可能與哪些數(shù)學(xué)量有關(guān) ? 學(xué)生討論后發(fā)言 —— 生 1：我們認(rèn)為它的體積與高和底面積有關(guān)。 生 2：我們認(rèn)為它的體積與高和底面半徑有關(guān)。 ?? 教師在此處及時進(jìn)行 了引導(dǎo) —— 師：我們剛學(xué)過的圓柱體積就與底面積和高有關(guān)系，那么圓錐的體積和圓柱的體積是否也有關(guān)系呢 ? 24 生 (眾 )：可能有關(guān)系。 師：為了驗證同學(xué)們的猜想，下面我們分組做實驗。在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，看看幾次正好裝滿。 (教師為各組準(zhǔn)備的空圓錐和空圓柱，有的是等底等高的，有的不是等底等高的 ) 學(xué)生分組動手操作后 —— 師：從倒沙的次數(shù)看，兩者體積之間有怎樣的關(guān)系 ? 生 1：我們將空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，三次正好裝滿，說明圓錐的體積是圓柱的三分之 一。 生 2：我們將空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，四次正好裝滿，說明圓錐的體積是圓柱的四分之一。 生 3：我們也是三次裝滿的，我們認(rèn)為是三分之一，不是四分之一。 生 4：我們在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，不到三次就將空圓柱裝滿了。 ?? 結(jié)論的不確定，讓學(xué)生產(chǎn)生了極大的興趣，學(xué)生要求交換實驗工具進(jìn)行實驗，教師理所當(dāng)然地滿足了他們的要求。幾分鐘后，學(xué)生們你看看我，我看看你，誰也說服不了誰。而這也正是即將水到渠成之時，教師及時發(fā)問 —— 師：你們把實驗用的圓錐和圓柱 進(jìn)行比較，覺得哪個結(jié)論最恰當(dāng) ?是二分之一、三分之一、還是四分之一、五分之一呢 ? 學(xué)生遲疑片刻后，大多數(shù)都回答是三分之一。教師馬上又問 —— 師：什么情況下，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一 ? 生 (齊 )：圓柱和圓錐等底等高時，它們的體積有這種關(guān)系。 我們看到，課堂上通過學(xué)生的猜想、操作、觀察、比較，讓他們感受到了數(shù)學(xué)思考過程的條理性，提升了思維的價值，發(fā)展了有效的思維方式。 我由此想到： 實現(xiàn)思維的有效提升必須激發(fā)學(xué)生內(nèi)在需求。案例中教師由淺入深、循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，讓學(xué) 生情不自禁地走進(jìn)了課堂，走進(jìn)了小組合作學(xué)習(xí)。當(dāng)他們自主地用高與底面同或不同的圓錐和圓柱進(jìn)行動手操作活動時，自然地引發(fā)了不同結(jié)論的爭論，此時學(xué)生產(chǎn)生了要進(jìn)一步操作驗證的內(nèi)在需求，教師及時地滿足了他們的需求，學(xué)生們通過動手操作活動增強了對實驗條件的辨別能力和對多余信息的判斷能力。不難看出，學(xué)生學(xué)得主動，感受了知識的形成過程，促進(jìn)了學(xué)生思維的有效提升和實踐能力的發(fā)展。 實現(xiàn)思維的有效提升必須為學(xué)生提供探索的時空。動手操作活動，學(xué)生一般都饒有興趣，但如果教師的活動方案不符合學(xué)生的認(rèn)知水平和想象力，不能激發(fā)學(xué) 生積極的思維，那么思維的有效提升就是一句空話。在教材中，《圓錐的體積》這節(jié)內(nèi)容很少，教師沒有拘泥于課本和過去的教法。學(xué)具袋中供學(xué)生使用的學(xué)具豐富，選擇性大，操作過程靈活。而結(jié)論的不確定性，促使學(xué)生進(jìn)行去偽存真的判別和有效的思維，教師及時滿足了學(xué)生再次驗證的要求。這就是說，給予了學(xué)生對問題進(jìn)行探究的時空，學(xué)生探究的過程才能成為思維有效提升的過程。 實現(xiàn)思維的有效提升必須讓學(xué)生對學(xué)習(xí)行為進(jìn)行反思。反思是提升思維的有效途徑，是增長智慧的必經(jīng)之路，學(xué)生對學(xué)習(xí)行為的反思是改革學(xué)習(xí)方式的重要手段。案例中教師在課 堂上讓學(xué)生反思不同的操作結(jié)果，進(jìn)而再次操作，自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。學(xué)生不僅切實體驗了知識形 25 成的過程，而且，思維得到了有效的提升，充分發(fā)展了思維能力和實踐能力。 總之，在動手操作活動的學(xué)習(xí)中，教師要對學(xué)生進(jìn)行及時的引導(dǎo)，培養(yǎng)他們有序思考問題的習(xí)慣和思維品質(zhì)，只有這樣，學(xué)生才能體驗到數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和挑戰(zhàn)性，感受到數(shù)學(xué)思考的條理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 敘事三： 26 成 長 歷 程 五、行動研究 （五）特色展示（個人、學(xué)生） （六）精彩博客（發(fā)表的博客作品名稱及網(wǎng)址） 27 成 長 歷 程 六、感悟反思 上學(xué)期 人人都說教學(xué)苦，在古代有 “家有五斗米，不做孩子王 ”的說法。確實，做一個老師挺苦挺累的，做一個好教師就更苦更累了，但這是我們選擇的職業(yè)，所以我們要做的只有默默工作。 去年來到小學(xué)教書，還記得我第一次走進(jìn)教室時學(xué)生們臉上那種松了口氣的表情，可能是老師嚴(yán)肅的表情看太多了吧，換了一個新來的老師他們都覺得很放松吧，但是一進(jìn)學(xué)校就聽到許多諸如課堂混亂，學(xué)生不聽話，甚至故意與老師作對這種恐怖故事，心里便默念著，要給他們一個下馬威。于是，在課堂上生氣成了我生活中出現(xiàn)得最多的動作。課堂上有人不專心，沒完成作業(yè)這些都會引起我的發(fā)怒。于是我會在課堂上大聲呵斥犯錯的學(xué)生，只因為覺得這樣做會在全班起到震懾作用，卻沒有去想這個學(xué)生會有怎樣的感受。也忽略了同樣坐在教室中其他的那些滿懷期待等老師講授 下一課，他們很好奇的內(nèi)容的學(xué)生。 其實，每一個孩子都 是可愛的，雖然他們有的可能學(xué)習(xí)成績有些差強人意，但他是運動會上的冠軍，是勞動中的能手，是他主動送生病的同學(xué)回家，誰能說他不是個好孩子，又有誰是完美的呢？ 無意中我讀到了一個故事，故事說古代有位老禪師，一日晚看見見墻角邊有一張椅子，是哪位出家人違犯寺規(guī)越墻出去遛達(dá)了。老禪師也不聲張，走到墻邊，移開椅子，就地而蹲。少頃，果真有一小和 28 尚翻墻，黑暗中踩著老禪師的背脊跳進(jìn)了院子。當(dāng)他發(fā)覺剛才踏的不是椅子，而是自己的師傅時，驚慌失措，張口結(jié)舌。但師傅并沒有厲聲責(zé)備他 ，只是以平靜的語調(diào)說： “夜深天涼，快去多穿一件衣服。 ” 故事深深地打動了我，孩子們對老師是寬容的，只要你對他們付出過愛心，那么你曾經(jīng)對他們的冷言冷語，暴跳如雷，他們都可以原諒。他們崇拜你、愛你。我又常常想，老師也應(yīng)該對學(xué)生寬容再寬容一些，蕓蕓眾生，各有所長，各有所短，可能他們經(jīng)常無法克制自己的言行，無法很好地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，不一定有輝煌的未來，可是誰說一個平凡的人就比誰低人一等呢？像故事中的那個老和尚，就清楚地知道，寬容是一種無聲的教育。雖然書本知識的灌輸是很重要的，但是給學(xué)生營造一個寬容的學(xué)習(xí)環(huán)境，在鼓勵學(xué) 生的人格力量的成長上，個性張揚的發(fā)展上，是有利得多的。整體的社會潮流、教育氛圍和工作生活壓力，有時候讓我們教師偏離了方向。 有人說過這樣的一句話： “老師不經(jīng)意的一句話，可能會創(chuàng)造一個奇跡；老師不經(jīng)意的一個眼神，也許會扼殺一個人才。 ”老師習(xí)以為常的行為，對學(xué)生終身的發(fā)展也許產(chǎn)生不可估量的影響，做一名老師應(yīng)該經(jīng)?；仡欁约阂酝慕逃龤v程，反思一下：我造就了多少個遺憾，刺傷了多少顆童心，遺忘了多少個不該遺忘的角落！忽然想起當(dāng)年看的那部張藝謀導(dǎo)演的一個都 不能少，一個小小的代課老師魏敏芝，只因老師離去前交代過這些孩子 一個也不能少這樣一句話就能如此堅定執(zhí)著地尋回每一位輟學(xué)的孩子，這種精神是舍得每一位老師學(xué)習(xí)的，我們不僅要保證學(xué)生的數(shù)量，更重要的是讓陽光遍撒每個被遺忘的角 29 落。 做教師沒有能力點燃火種，但絕不能熄滅火種！面對眼前同樣充滿好奇和天真的孩子們，要珍惜，更要努力讓每一個孩子的心中充滿陽光，讓每一個孩子在愛的撫慰下快樂成長。每一位為人師者，放棄了一個學(xué)生，可能會減少你的工作壓力，可能會提高你的教育質(zhì)量，可能會給你贏得榮譽，但你放棄的卻是一個孩子的美好前途，放棄的是一個家庭的希望，留給自己的也將是一個永遠(yuǎn)的遺憾！ 孩子 的心靈是純潔而美麗的，如水晶；孩子的心靈是脆弱而易碎，如玻璃。我們做老師欣賞著他們水晶般的心靈；更要保護著他們玻璃一樣易碎的自尊。 每當(dāng)要發(fā)火的時候，腦子里就不由自主地出現(xiàn)自己初為人師時的事情。有時我覺得愧疚，后悔當(dāng)時嚇著了那些