旋轉(zhuǎn)幾何證明(編輯修改稿)
2025-06-12 05:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 76。， ∴ ，在Rt△EFC中，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ 例8：如圖A、B、C、D是圓周上的四個點，．且弦AB=8，弦CD=6，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？圖2圖1 分析：從已知條件直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，容易發(fā)現(xiàn)正好是整個圓弧的一半，因此通過將弓形CmD繞圓心旋轉(zhuǎn)使點D與點B重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會很容易．解：由于，知的長正好是整個圓弧的一半，將弓形CmD繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點D與點B重合（如圖2）：則恰好為半圓弧，∴ AC為O的直徑， ∴∠ABC=90176。，∴ 由勾股定理可求得，．練習(xí)4：如圖△ABC是等腰直角三角形，D為AB的中點，AB=2，扇形ADG和BDH分別是以AD、BD為半徑的圓的，求陰影部分面積．參考答案：練習(xí)１： ，提示：如圖將逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，分別求得和．ADCBEP練習(xí)4練習(xí)3練習(xí)2練習(xí)1 練習(xí)2： 距離為4，如圖通過旋轉(zhuǎn)變換得正方形． 練習(xí)3：，把△BDM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120176。得到，易證．練習(xí)4：，將扇形BDH和△BDC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)180176。．觀察巧旋轉(zhuǎn) 妙解題沈岳夫旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的重要變換，隨著課程改革的進一步深入，利用旋轉(zhuǎn)知識進行有關(guān)計算或證明的題目很多，尤其是題目中沒有涉及到旋轉(zhuǎn)等文字，使不少學(xué)生在解答時無從著手，找不到解題的途徑，但如果能根據(jù)題目特征加以觀察，通過旋轉(zhuǎn)，找到解題的突破口，那么問題就簡單化了，現(xiàn)采擷部分試題加以歸納，供參考。一. 通過旋轉(zhuǎn)，解答角度問題 例1. 如圖1，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10。求∠APB的度數(shù)。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個三角形中，再研究這個三角形與所求的關(guān)系。將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60176。后，得到△FAB，連接PF（如圖2），則BF=PC=10，F(xiàn)A=PA=6，∠FAP=60176?！唷鱂AP是等邊三角形，F(xiàn)P=PA=6。在△PBF中，∴∠BPF=90176?！唷螦PB=∠APF+∠FPB=60176。+90176。=150176。圖2二. 通過旋轉(zhuǎn)，計算線段長度問題 例2. 如圖3，P是正△ABC內(nèi)一點，PA=2，PC=4，求BC的長。圖3解析：此題乍一看似乎無從著手，但只要運用旋轉(zhuǎn)的方法來解題，就顯得十分容易。將△BPA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60176。，則BA與BC重合（如圖4），BP=BM，PA=MC，連接MP。則△MBP是正三角形，即，由，故∠CMP=90176。，因為，所以∠MPC=30176。，又因為∠MPB=60176。，故∠CPB=90176。，得圖4 例3. 如圖5，在梯形ABCD中，AD//BC（BCAD），∠D=90
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