【文章內(nèi)容簡介】 ) 弱擬凹的是指對任何及,若, 則；(2) 擬凹的，是指對任何及,若, 則；(3) 嚴(yán)格擬凹的,是指對于,，及,若, 則；(4) 內(nèi)部嚴(yán)格擬凹的，是指對于,，及,若, 則；(5) 弱單調(diào)的，是指對任何，若, 則；(6) 單調(diào)的，是指對任何，若, 則；(7) 嚴(yán)格單調(diào)的，是指對任何，若, 則；(8) 強(qiáng)單調(diào)的，是指對任何，若, 則。效用函數(shù)的性質(zhì)與偏好關(guān)系的性質(zhì)之間的對應(yīng)關(guān)系由下面定理所表達(dá)。定理. 設(shè)是偏好關(guān)系的效用函數(shù)。(1) 是弱凸的當(dāng)且僅當(dāng)是弱擬凹的；(2) 是凸的當(dāng)且僅當(dāng)是擬凹的；(3) 是嚴(yán)格凸的當(dāng)且僅當(dāng)是嚴(yán)格擬凹的；(4) 是內(nèi)部嚴(yán)格凸的當(dāng)且僅當(dāng)是內(nèi)部嚴(yán)格擬凹的；(5) 是單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是單調(diào)的；(6) 是嚴(yán)格單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是嚴(yán)格單調(diào)的；(7) 是弱單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是弱單調(diào)的；(8) 是強(qiáng)單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)是強(qiáng)單調(diào)的；(9) 是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍r(jià)于一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)；(10) 是無滿足的當(dāng)且僅當(dāng)在上無最大值；(11) 是局部無滿足的當(dāng)且僅當(dāng)在中處處無極大值；(12) 是消費(fèi)者在中的滿足消費(fèi)當(dāng)且僅當(dāng)是在上的最大值點(diǎn)。三、可微效用函數(shù)邊際分析法要使用效用函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，以往的做法是直接假定這些偏導(dǎo)數(shù)存在。那么，效用函數(shù)確實(shí)具有這些偏導(dǎo)數(shù)嗎？這就是可微效用函數(shù)的存在性問題。20世紀(jì)70年代，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對效用函數(shù)傾注了較多的注意力，尤其是德布羅于1972年對效用函數(shù)的可微性問題作出了肯定的答復(fù)。設(shè)為一正整數(shù)，表示由一切具有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)及映射所構(gòu)成的類。中的函數(shù)或映射就叫做—函數(shù)或—映射。設(shè)和是歐氏空間的兩個(gè)開子集。從到的一個(gè)映射稱為—微分同胚，是指：(1)是1—1映射，(2)是滿射，(3)是—映射，(4)的逆映射也是—映射。的子集叫做是一張—超曲面，是指對任何，存在的開鄰域，存在的某開子集，存在從到的一個(gè)—微分同胚, 以及存在中的一張超平面，使得。即在微分同胚的意義下，超曲面局部具有了超平面的結(jié)構(gòu)。對于消費(fèi)集合的偏好關(guān)系來說，無差異關(guān)系 是的子集，因而是的子集。如果 是中的一張—超曲面，則稱 是—偏好關(guān)系?？晌⑿в煤瘮?shù)存在定理(G. Debreu). 設(shè)消費(fèi)集合的內(nèi)部是商品空間的連通開子集，是上單調(diào)、連續(xù)的偏好關(guān)系。具有無奇點(diǎn)的—效用函數(shù)的充分必要條件是是—偏好關(guān)系。本定理的證明略去。定理中所說的奇點(diǎn)，含義是指該點(diǎn)處函數(shù)的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都為零。有了這個(gè)定理以后, 大多數(shù)情況下我們都可去假定效用函數(shù)的二階連續(xù)可微性，而不必為這種函數(shù)的存在性而擔(dān)心。鑒于此，經(jīng)濟(jì)分析中常常使用如下關(guān)于效用函數(shù)的可微性假設(shè)。假設(shè)HU(可微性假設(shè)). 消費(fèi)者的效用函數(shù)在消費(fèi)集合內(nèi)部二階連續(xù)可微，并且在各點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會(huì)同時(shí)全為零。四、效用梯度與偏好梯度初級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)展示了無差異分析的重要作用。當(dāng)考慮兩種商品之間的替代問題時(shí)，無差異曲線的切線斜率就是兩種商品之間的邊際替代率。然而初級分析只是限于一種商品替代另一種商品的情況，沒有考慮一種替代多種商品，或者多種商品替代一種商品的情況。為了把商品之間的相互替代問題考慮得更加全面，需要使用效用梯度和偏好梯度這兩個(gè)概念。設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為，并且服從假設(shè)HU。消費(fèi)向量處的效用梯度是指向量，它是通過點(diǎn)的無差異曲線的法方向。顯然，效用梯度的大小同所選擇的具體效用函數(shù)有關(guān)。效用梯度指向效用增大最快的方向，即指向效用水平提高最快的方向。這是因?yàn)閺娜⒎止?這里表示向量內(nèi)積)可知，只有當(dāng)增加的消費(fèi)向量與效用梯度的夾角保持銳角時(shí)，效用的增加量才大于零；當(dāng)?shù)?長度不變)方向變化到與同方向時(shí)，效用增加量達(dá)到最大。因此，效用梯度指向效用增大最快的方向，即在各個(gè)方向上的消費(fèi)等量增加中，效用梯度所指的方向效用增加得最大。這就解釋了效用梯度的經(jīng)濟(jì)含義。然而，如上定義的效用梯度是依據(jù)具體的效用函數(shù)來給出的，這就存在著一個(gè)問題：效用梯度的方向是否與效用函數(shù)的選擇有關(guān)？如果答案是肯定的，那么引進(jìn)效用梯度概念的意義就不大了。幸運(yùn)的是，下面的定理保證了效用梯度方向與具體的效用函數(shù)選擇無關(guān)。定理. 設(shè)和是兩個(gè)等價(jià)的效用函數(shù)，它們都在內(nèi)部一階連續(xù)可導(dǎo)，并且在內(nèi)部每點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會(huì)同時(shí)都為零。用和分別表示與的函數(shù)值的全體。則存在映射滿足如下兩個(gè)條件：(1) 對任何的，；(2) 對任何的，都有，在處可微，并且 ，從而。由此定理，我們便可引入與效用函數(shù)選擇無關(guān)的偏好梯度概念。消費(fèi)方案處的偏好梯度是指單位向量:其中是消費(fèi)者的一個(gè)在消費(fèi)集合內(nèi)部一階連續(xù)可微、在消費(fèi)集合內(nèi)部每點(diǎn)處的各個(gè)一階偏到數(shù)不會(huì)同時(shí)為零的效用函數(shù)。顯然，偏好梯度指向效用增大最快的方向，與效用函數(shù)無關(guān)，但與消費(fèi)者偏好有關(guān)，由偏好關(guān)系決定。利用偏好梯度，商品之間的替代關(guān)系可表達(dá)為：一些商品的消費(fèi)量減少(增加)時(shí)，為了保持效用水平不變，其余商品的消費(fèi)量的變化量必須服從如下關(guān)系：其中表示第種商品的消費(fèi)量的變化量。這就是說，為了保持效用水平不變，商品消費(fèi)量的調(diào)整向量必須保持與偏好梯度正交。定理的證明. 與等價(jià)，即與是同一偏好的兩個(gè)效用函數(shù)。定義如下：。則是嚴(yán)格遞增函數(shù)，并且明顯滿足條件(1)。以下證明滿足條件(2)。為此，設(shè)任意給定，并記。從可知，存在正數(shù)使得開球。既然在內(nèi)部每點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)全為零，在處必有某個(gè)使得。令，則不是在中的極值點(diǎn)，從而存在和使得且。這說明。現(xiàn)在，對于中任一趨向于的序列，從及的連續(xù)性可知，必然存在中的一個(gè)序列使得且。于是這說明在處是可微的。注意，是任意給定的，從而是可微函數(shù)。既然，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得，這說明。注意，及，因此。再注意，是遞增函數(shù)，于是。最后，從可知。第四節(jié) 效用最大化作為理性人，消費(fèi)者不但要服從客觀條件的限制，而且要服從經(jīng)濟(jì)條件的限制，他在這些條件的限制下選擇自己最滿意的消費(fèi)方案，在條件許可的范圍內(nèi)追求效用最大化。本節(jié)就來研究理性消費(fèi)者的這種效用最大化行為。消費(fèi)者的福利是通過他們的偏好來反映的。當(dāng)把這種消費(fèi)同另一種消費(fèi)作比較時(shí)，如果消費(fèi)者更喜歡這種消費(fèi)，說明這種消費(fèi)能給消費(fèi)者帶來更大的滿足，因而更需要這一種消費(fèi)。如果不考慮經(jīng)濟(jì)條件的限制，那么消費(fèi)者的這種需要就是一種無止境的欲望，沒有一個(gè)滿足的時(shí)候。經(jīng)濟(jì)學(xué)不研究如何滿足人們無止境的欲望，而只研究受一定經(jīng)濟(jì)條件限制的消費(fèi)者需要。這就是效用最大化問題。一、收入約束消費(fèi)者進(jìn)行消費(fèi)選擇時(shí)，一方面要受到一般性的客觀條件制約，要求在消費(fèi)集合所劃定的許可范圍內(nèi)選擇；另一方面，還要受到經(jīng)濟(jì)條件的制約，要求在收入允許的范圍內(nèi)選擇。作為理性人，消費(fèi)者不能以搶或偷的方式去克服收入限制。他可以借款消費(fèi)，但這實(shí)際上等同于擴(kuò)大了收入，而他的選擇則是在擴(kuò)大的收入限制下進(jìn)行，因此還是沒有擺脫收入帶來的約束。效用最大化就是指消費(fèi)者在一定的收入條件限制下追求最大程度地滿足。設(shè)消費(fèi)者面臨的商品空間為，消費(fèi)集合為，偏好關(guān)系為 ，收入為，商品的市場價(jià)格體系為。消費(fèi)者只能接受這個(gè)價(jià)格體系，而不能影響和改變它。用表示要選擇的消費(fèi)方案。消費(fèi)者受到的客觀條件制約，要求他選擇的方案必須符合條件：；他受到的經(jīng)濟(jì)條件制約主要來自于收入的有限性，要求選擇的方案還必須符合條件：。把這兩個(gè)條件結(jié)合在一起，便形成了消費(fèi)者的收入約束或者叫做預(yù)算約束：收入約束確定了消費(fèi)者的實(shí)際選擇范圍，它不再是整個(gè)消費(fèi)集合，而只是的一部分：稱這個(gè)集合為消費(fèi)者的預(yù)算集合。效用最大化，就是指消費(fèi)者在預(yù)算集合內(nèi)選擇到自己最滿意的消費(fèi)方案。為了能使消費(fèi)者在符合收入約束的限制下選擇到所需要的消費(fèi)向量，消費(fèi)者的收入應(yīng)該滿足最低支出條件：稱為價(jià)格體系下的最低支出。如果收入低于最低支出，那么消費(fèi)集合中就沒有一個(gè)方案是允許消費(fèi)者選擇的。所以，最低支出條件是必須的。二、馬歇爾需求理性消費(fèi)者最終選定的消費(fèi)方案，是預(yù)算集合中他認(rèn)為最好的消費(fèi)方案，這個(gè)方案就是馬歇爾從效用最大化出發(fā)推導(dǎo)出的消費(fèi)者需求，人們稱其為馬歇爾需求，或者簡稱為需求。預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的消費(fèi)方案可能不止一種。當(dāng)然，這些最好的消費(fèi)方案之間必然是無差異的，否則就與“最好”產(chǎn)生自相矛盾。用表示預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的所有消費(fèi)方案組成的集合，即這個(gè)集合稱為消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入之下的馬歇爾需求集合，或者簡稱為需求集合。中的向量稱為消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入之下的馬歇爾需求向量，或者簡稱為需求向量。顯然，馬歇爾需求集合中的任何兩種消費(fèi)方案都是無差異的?，F(xiàn)在的問題是，效用最大化問題的這種表述方式可靠嗎？換句話說，馬歇爾需求是否存在？如果不存在，那么消費(fèi)者就根本選不出最優(yōu)消費(fèi)方案，效用最大化理論就是空談。下面的定理作出了肯定的回答。定理(馬歇爾需求的存在性). 如果消費(fèi)集合是下有界非空閉集，并且消費(fèi)者偏好是連續(xù)的，則對任何價(jià)格體系及收入, 都有（即馬歇爾需求集合非空)。從而理性消費(fèi)者的馬歇爾需求存在。從此定理可見，的子集是由那些使馬歇爾需求集合非空的價(jià)格—收入組合構(gòu)成的集合，因此稱這個(gè)集合為價(jià)格收入集合，它對研究馬歇爾需求具有重要意義，而且今后將會(huì)經(jīng)常用到它。集合的內(nèi)部也是很重要的，今后也將會(huì)多次用到。鑒于此，本書中，符合和具有這里的專門意義：現(xiàn)在，我們來看一看這個(gè)定理成立的必然性。從第二節(jié)對于理性消費(fèi)者特點(diǎn)的討論可知，理性消費(fèi)者在消費(fèi)集合的任何有界閉子集中都有滿足。注意，對于價(jià)格體系及收入，預(yù)算集合是消費(fèi)集合的非空有界閉子集，因而消費(fèi)者在這個(gè)集合中必有滿足，這就是說馬歇爾需求是存在的。我們還可以從效用函數(shù)的角度來看需求的存在性。既然是連續(xù)偏好，根據(jù)效用函數(shù)存在定理，存在的連續(xù)效用函數(shù)。需求向量是預(yù)算集合中效用最大的商品向量，即是效用函數(shù)在中的最大值點(diǎn)。在的非空有界閉子集中有定義的連續(xù)函數(shù)必有最大值，而確實(shí)是的有界非空閉子集，又是連續(xù)的且在中有定義，于是，在中的最大值點(diǎn)必存在，即馬歇爾需求集合是非空的。知道馬歇爾需求存在以后，如果還能知道馬歇爾需求是唯一的，那么效用最大化問題的解決就可謂圓滿。下面定理回答了馬歇爾需求的唯一性問題。定理(馬歇爾需求的唯一性). 如果消費(fèi)者偏好嚴(yán)格凸，則對任何價(jià)格向量和收入，都是單點(diǎn)集或空集；如果是內(nèi)部嚴(yán)格凸的，則對價(jià)格向量和收入，當(dāng)時(shí)，是單點(diǎn)集或空集。因此，理性消費(fèi)者的馬歇爾需求是唯一的。證明：對于任意給定的價(jià)格—收入，如果是空集，則定理結(jié)論已經(jīng)得證。因此，我們假定非空。用反證法，假定不是單點(diǎn)集，即假定中有兩種不同的消費(fèi)方案和，那么這兩種方案必然無差異，即。令，則，且從偏好的嚴(yán)格凸性可知，比和都優(yōu)。這與和是預(yù)算集合中的最優(yōu)方案相矛盾。矛盾的結(jié)論說明，只能是單點(diǎn)集。馬歇爾需求的另外一條性質(zhì)由下述定理給出。定理(馬歇爾需求的結(jié)清性). 設(shè)是無滿足的凸偏好，則對任何及, 都有（此種情況可寫作），即馬歇爾需求實(shí)現(xiàn)了消費(fèi)者的收支平衡。本定理說明，在消費(fèi)者欲望無止境的情況下，消費(fèi)者只有把他的收入全部用于消費(fèi)，才能獲得最大限度的滿足。否則，就實(shí)現(xiàn)不了效用最大化。下面證明本定理。設(shè)是任意給定的方案，欲證。采用反證法，假定，那么必然，這是因?yàn)?。既然是無滿足的偏好，就存在著某個(gè)方案使得。由于是中的最優(yōu)方案，于是必然不在預(yù)算集合中，即(如圖36所示)。 預(yù)算線 圖36 證明思路的直觀意義對每個(gè)，令，則定義了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且。從連續(xù)函數(shù)介值定理可知，存在使得。令，則,從而。注意，且是凸偏好，因此，這與是中的最優(yōu)方案相矛盾?？梢姴荒艹闪?，即只有。三、需求映射馬歇爾需求的存在性和唯一性告訴我們，對于理性消費(fèi)者來說，即在假設(shè)HC和假設(shè)HP 下，對于任何的, 都有唯一的方案與之對應(yīng)，即。這就定義了一個(gè)從價(jià)格收入集合到消費(fèi)集合的映射，稱這個(gè)映射為消費(fèi)者的馬歇爾需求映射，簡稱為需求映射。把寫成分量形式：，便得到定義在上的個(gè)函數(shù)，稱這些函數(shù)為消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)，簡稱為需求函數(shù)。要確定需求映射，假設(shè)HC和假設(shè)HP是必需的。不嚴(yán)格地說，馬歇爾需求映射的確定幾乎等同說偏好關(guān)系是嚴(yán)格凸的。如果馬歇爾需求落在消費(fèi)集合內(nèi)部，即對任何