【文章內容簡介】 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 將最近的 k期數據加以平均作為下一期的預測值 設移動間隔為 K(1kt)， 則 t期的 移動平均值 為 t+1期的簡單移動平均 預測值 為 預測誤差用均方誤差 (MSE) 來衡量 kYYYYY ttktktt????? ????? 121 ?kYYYYYF ttktkttt?????? ??????1211?誤差個數誤差平方和?M S E 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 奇數項移動平均法 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t原數列 移動平均 3 321 ttt ?? 3 432 ttt ?? 3 543 ttt ?? 3 654 ttt ?? 3 765 ttt ??新數列 2t 3t 4t 5t 6t 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 偶數項移動平均法 ? ? ? ?4321152 41 yy y yM. ????? ? ? ?5432153 41 yy y yM. ????由于這樣計算出來的平均數的時期不明確，故不能作為趨勢值。解決辦法： 對第一次移動平均的結果，再作一次移動平均。 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 偶數項移動平均法 ? ? ? ? ? ?? ? MM M..15315223 21 ??422221 54321 yyyyy ??????? ?421215432123yyyyyM?????偶數項 “ 移動法則 ” ： 1. 要取 “ 2n + 1 ”項； 2. 采用 “ 首尾取半法 ” 計算移動平均數； 3. 作為 n + 1 項的長期趨勢值。 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 偶數項移動平均法 4 4321 yyyy ???4 5432 yyyy ???4 6543 yyyy ???4 7654 yyyy ???2 4465435432 yyyyyyyy ???????2 4454324321 yyyyyyyy ???????4 212154321 yyyy ?????4 212165432 yyyyy ?????nynyyyyyyyyy..9.8.7.6.5.4.3.2.1987654321? 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 — 加權移動平均法 — 是對各期指標值進行加權后計算的平均數。 注意事項： 一般計算 奇數項 加權移動平均數； 權數以 二項展開式 為基礎。 中項的權數最大，兩邊對稱，逐期減小 。 如 N = 3 時，應以 （ a + b )2 = a2 + 2ab + b2 的系數 1， 2， 1 為權數： 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 — 加權移動平均法 54321.5.4.3.2.1yyyyy42 321 yyy ??42 432 yyy ??42 543 yyy ?? 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 — 加權移動平均法 如： N = 5 時，應以 （ a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 的系數 1， 4， 6， 4， 1 為權數： ? ?16464 5432113yyy yyM ???????? ? ?16464 6543214yyy yyM ??????? ?16464 21121 ???? ????? tttttt yyy yyM? 平穩(wěn)序列的平滑與預測 移動平均法 加權移動平均法 ?移動平均對數列具有平滑修勻作用，移動項數越多，平滑修勻作用越強； ?由移動平均數組成的趨勢值數列，較原數列的項數少， N為奇數時，趨勢值數列首尾各少 項； N為偶數時，首尾各少 項； ?局限： 不能完整地反映原數列的長期趨勢，不便于直接根據修勻后的數列進行預測。 21?N2N 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 是加權平均的一種特殊形式 對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法 觀察值時間越遠 ， 其權數也跟著呈現指數的下降 ， 因而稱為指數平滑 有一次指數平滑 、 二次指數平滑 、 三次指數平滑等 一次指數平滑法也可用于對時間序列進行修勻 ， 以消除隨機波動 ， 找出序列的變化趨勢 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 只有一個平滑系數 觀察值離預測時期越久遠 ， 權數變得越小 以一段時期的預測值與觀察值的線性組合作為t+1的預測值 ， 其預測模型為 ttt FYF )1(1 ?? ????? Yt為 t期的實際觀察值 ? Ft 為 t期的預測值 ? ?為平滑系數 (0 ?1) 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 在開始計算時 ， 沒有第 1個時期的預測值 F1，通?？梢栽O F1等于 1期的實際觀察值 ， 即F1=Y1 第 2期的預測值為 第 3期的預測值為 111112 )1()1( YYYFYF ??????? ????12223 )1()1( YYFYF ???? ?????? 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 預測精度 ， 用誤差均方來衡量 Ft+1是 t期的預測值 Ft加上用 ?調整的 t期的預測誤差 (YtFt) )()1(1tttttttttFYFFFYFYF??????????????? 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 不同的 ?會對預測結果產生不同的影響 一般而言 ， 當時間序列有較大的隨機波動時 ，宜選較大的 ? ， 以便能很快跟上近期的變化 當時間序列比較平穩(wěn)時 ， 宜選較小的 ? 選擇 ?時 ， 還應考慮預測誤差 誤差均方來衡量預測誤差的大小 確定 ?時 ， 可選擇幾個進行預測 ， 然后找出預測誤差最小的作為最后的值 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 用 Excel進行指數平滑預測 第 1步：選擇 “ 工具 ” 下拉菜單 第 2步：選擇 “ 數據分析 ” 選項 ， 并選擇 “ 指數平滑 ” ， 然后確定 第 3步：當對話框出現時 在 “ 輸入區(qū)域 ” 中輸入數據區(qū)域 在 “ 阻尼系數 ” （ 注意：阻尼系數 =1 ? ） 輸入的值 選擇 “ 確定 ” 對居民消費價格指數數據 ， 選擇適當的平滑系數 ? ， 采用 Excel進行指數平滑預測 ， 計算出預測誤差 ， 并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 平穩(wěn)序列的平滑與預測 指數平滑法 (exponential smoothing) 消費價格指數的指數平滑趨勢60801001201401986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2022 年份消費價格指數消費價格指數平滑系數＝平滑系數＝平滑系數＝ 有趨勢序列的分析與預測 時間序列的構成要素 線性趨勢 非線性趨勢趨勢 季節(jié)性 周期性 隨機性時間序列的構成要素 有趨勢序列的分析與預測 時間序列的構成模型 時間序列的構成要素分為四種 ， 即趨勢 (T)、季節(jié)性或季節(jié)變動 (S)、 周期性或循環(huán)波動(C)、 隨機性或不規(guī)則波動 (I)非平穩(wěn)序列 時間序列的分解模型 乘法模型 Yi=Ti Si Ci Ii 加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii 有趨勢序列的分析與預測 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 曲線趨勢分析 指數趨勢分析 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 線性趨勢概念 (linear trend) 現象隨著時間的推移而呈現出穩(wěn)定增長或下降的線性變化規(guī)律 由影響時間序列的基本因素作用形成 測定方法主要有：移動平均法 、指數平滑法 、 線性模型法等 時間序列的主要構成要素 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 btaY t ???? — 時間序列的趨勢值 ? t — 時間標號 ? a— 趨勢線在 Y 軸上的截距 ? b— 趨勢線的斜率 ， 表示時間 t 變動一個 單位時觀 察值的平均變動數量 二、線性趨勢測定 線性趨勢方程 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 線性模型法 (a 和 b 的最小二乘估計 ) 趨勢方程中的兩個未知常數 a 和 b 按最小二乘法(Leastsquare Method)求得 根據回歸分析中的最小二乘法原理 使各實際觀察值與趨勢值的離差平方和為最小 最小二乘法既可以配合趨勢直線 ， 也可用于配合趨勢曲線 根據趨勢線計算出各個時期的趨勢值 二、線性趨勢測定 線性趨勢方程 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 1. 根據最小二乘法得到求解 a 和 b 的標準方程為 ?????????? ??? ?2tbtatYtbnaY ? ???????????? ?? ? ?tbYattnYttYnb222. 預測誤差可用估計標準誤差來衡量 mnYYsniiiY ????? 12)?(m為趨勢方程中未知常數的個數 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 ?????????2tbtatytbnaytbyattnyttynb?????? ????22)(用 最小平方法 求解參數 a、 b ，有 tbay ???直線趨勢方程： 經濟意義： 數列水平的 平均增長量 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 根據人口自然增長率數據 ， 用最小二乘法確定直線趨勢方程 ， 計算出各期的趨勢值和預測誤差 ， 預測 2022年的人口自然增長率 ， 并將原序列和各期的趨勢值序列繪制成圖形進行比較 1. 線性 趨勢方程 ： 2. 預測的估計 標準誤差 ： 3. 2022年人口自然增長率的 預測值 ： 9 4 3 9 8 2 0 0 1 ????Y 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 年份 t GDP (y) ty t2 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 合計 91 819 已知某省GDP資料（單位：億元）如下， 擬合直線趨勢方程，并預測 1999年的水平。 有趨勢序列的分析與預測 線性趨勢分析 tytbyattnyttynbtty