【文章內容簡介】 一般可以采 用 確 定 主 成 分 個 數 的 原 則 ， 也 就 是 尋 找 一 個 使 得**pmjjj i j i??????達到較大百分比（如至少 85 % ）的自然數m。取*?R 的前 m 個正特征值* * *12 0m? ? ?? ? ? ?及相應的正交單位特征向量* * *12, , , mt t t，可以分解式 * ? ?? ??R A A 其中* * * * * *1 1 2 2? ? ? ?? ? ? ?( , , ) ( )m m i j p ma? ? ? ???A t t t，這樣可以得到2i?的最終估計為 2 2 21?? ?1 1 1 , 2 , ,mi i i jjh a i p??? ? ? ? ?? 在此，我們稱 ?A 和2 2 212? ? ? ?( , , , )pd i a g ? ? ??D為因子模型的主因 子解。 第四節(jié) 公因子重要性的分析 一 因子旋轉 二 因子得分 一、因子旋轉 ? 因子分析的目標之一就是要對所提取的抽象因子的實際含義進行合理解釋。有時直接根據特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對許多變量的載荷也不小，說明它對多個變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實際背景進行合理的解釋。這時需要通過因子旋轉的方法，使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達到中等大小。這時對于每個公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近 1和靠近 0兩極分離。這時就突出了每個公共因子和其載荷較大的那些變量的聯系，矛盾的主要方面顯現出來了，該公共因子的含義也就能通過這些載荷較大變量做出合理的說明，這樣也顯示了該公共因子的主要性質。 ? 因子旋轉方法有正交旋轉和斜交旋轉兩類，這里我們重點介紹正交旋轉。對公共因子作正交旋轉就是對載荷矩陣A作一正交變換，右乘正交矩陣Γ，使得A Γ有更鮮明的實際意義。旋轉以后的公共因子向量為 *??F Γ F，它的各個分量* * *12 , , , mF F F也是互不相關的公共因子。根據正交矩陣Γ的不同選取方式，將構造出不同的正交旋轉的方法。實踐中，我們常用的方法是最大方差旋轉法，下面我們主要介紹這一方法。 令 * * *( ) , /i j p m i j i j ia d a h?? ? ?AA Γ 211pj ijiddp ?? ? 則 *A 的第j列元素平方的相對方差可定義為 ： 2211()pj i j jiV d dp ??? ? （ 7. 15 ） 用*ija除以ih是為了消除各個原始變量iX對公共因子依賴程度不同的影響，選擇除數ih是因為*A第i行平方和 *1* 2 * 2 * * *121*( , , , )imi i j i i i mjimah a a a aa?????????????? 122121( , , , )imi i i m i j ijimaa a a a ha??????? ? ????????Γ Γ 取2ijd是為了消除ijd符號不同的影響。 ? 所謂最大方差旋轉法就是選擇正交矩陣Γ，使得矩陣*A所有m個列元素平方的相對方差之和 12 mV V V V? ? ? ? （ 7 . 16 ） 達到最大。 當2m ?時，設已求出的因子載荷矩陣為 11 1221 2212ppaaaaaa???????????????A 現選取正交變換矩陣Γ進行因子旋轉，Γ可以表示為 co s s i ns i n co s???????? ????Γ 這里?是坐標平面上因子軸按順時針方向旋轉的角度，只要求出?，也就求出了Γ。 1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 2*1 2 1 2c o s s in s in c o sc o s s in s in c o sc o s s in s in c o sp p p pa a a aa a a aa a a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ???????? ? ???AA Γ **11 12**21 22**12ppaaaaaa??????????????? * /i j i j id a h?，1 , 2 , , , 1 , 2i p j?? 211 pj ijiddp ?? ?，1 , 2j ? 這樣根據 （ 7 . 1 5 ） 和 （ 7 . 1 6 ） 式即可求出 *A 各列元素平方的相對方差之和V。顯然，V是旋轉角度?的函數，按照最大方差旋轉法的原則，求?使得V達到最大。由微積分中求極值的方法，將V對?求導，并令其為零，可以推出?滿足 222/t g 4( ) /D A B pC A B p????? （ 7 . 1 7 ） 其中 11,ppiiiiA u B v?????? 2211( ) , 2ppi i i iiiC u v D u v??? ? ??? 而 221 2 1 22,2i i i iiii i ia a a auvh h h? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 當 m2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉。對公因子 Fl和 Fk進行旋轉，就是對 A的第 l和 k兩列進行正交變換，使這兩列元素平方的相對方差之和達到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為 1c os sin11sin c os11lklk??????????????????????????????????????Γ 其中?是因子軸lF和kF的旋轉角度，矩陣中其余位置上的元素全為 0 。m個公共因子兩兩配對旋轉共需要進行1( 1 )2 2mmm????????次，稱其為完成了第一次旋轉，并記第一輪旋轉后的因子載荷矩陣為 ( 1 )A 。然后再重新開始，進行第二輪的2m??????次配對旋轉，新的因子載荷矩陣記為 ( 2 )A 。這樣可以得到一系列的因子載荷矩陣為 ( 1 ) ( 2 ) ( ), , , ,s? ? ? ? ? ?A A A 記 ()sV 為 ()sA 各列元素平方的相對方差之和，則必然有 ( 1 ) ( 2 ) ( )sV V V? ? ? ? 這是一個有界的單調上升數列，因此，一定會收斂到某一個極限。在實際應用中，當 ()sV 的值變化不大時，即可停止旋轉。 二、因子得分 ? ? 在因子分析模型??X A F ε中，如果不考慮特殊因子的影響，當mp?且A可逆時，我們可以非常方便地從每個樣品的指標取值X計算出其在因子F上的相應取值： 1?=F A X，即該樣品在因子F上的“得分”情況，簡稱為該樣品的因子得分。 但是因子分析模型在實際應用中要求mp?，因此，不能精確計算出因子的得分情況，只能對因子得分進行估計。估計因子得分的方法也有很多， 1939 年 Thomson 給出了一個回歸的方法，稱作湯姆森回歸法。 該方法假設公共因子可在對p個原始變量作回歸，即 pjpjjj XbXbbF ???? ?110?（mj ,1 ??） （ 7. 18 ） 如果ij XF ,都標準化了，回歸的常數項為零，即00 ?jb。 由因子載荷的統(tǒng)計意義 （ 7. 6 ） 式知道，對于任意的 1 , ,ip?，1,jm?都有 , ()iji j X F i ja r E X F?? 11[ ( ) ]i j jp pE X b X b X? ? ? 11 ( ) ( )j i jp i jpb E X X b E X X? ? ? 11j i jp ipb r b r? ? ? 記 11 12 121 22 212ppm m m pb b bb b bb b b???????????????B，則上式可寫成矩陣形式為 ??A R B ，或 1???B A R 于是 111???mmFbbF??? ????? ???? ? ? ??? ???? ???????XXF BX