【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得出一元線性回歸方程，最后還要對求出的參數(shù)進(jìn)行檢驗，主要是估計參數(shù)的統(tǒng)計檢驗和估計參數(shù)方程的方差分析以及歸回結(jié)果的擬合優(yōu)度檢驗。 ? 167。 現(xiàn)在來研究一個夏季氣溫變化與飲料銷售量的關(guān)系。按照常理說，氣溫越高，人們越感到不舒服，越想通過喝冷飲來防暑降溫，從而調(diào)節(jié)自身的感覺，也就是說，氣溫越高，冷飲銷售量應(yīng)越大要證明這個 “ 理論 ”沒有多大意義。但對于一個飲料生產(chǎn)商或批發(fā)商來說，如果有個市場需求的準(zhǔn)確預(yù)測，還是很有意義的。 ? 167。 氣溫（ ℃ ）銷量（萬） 10 13 15 18 20 24 26 27 28 29 29 70 73 85 93 98 100 130 134 139 140 155氣溫（ ℃ ）銷量（萬） 30 30 30 32 33 34 38 38 40158 160 169 178 180 180 182 198 200 首先，做個氣溫（自變量） X和銷量（因變量） Y之間的散點(diǎn)圖，如下圖： 氣溫0501001502002500 10 20 30 40 50銷量? 167。 ? 圖中，銷量用縱軸表示，氣溫用橫軸表示，可以看到，因變量與自變量之間存在比較清晰的線性關(guān)系。這樣可用線性模型表示 ,設(shè) 。 ? 應(yīng)用上述 21個樣本數(shù)據(jù)可以得到 。因而回歸方程 。運(yùn)用這個估計方程對未來做預(yù)測，因而可以肯定，如果氣溫提高 1℃ ，銷量就會增加 ，即增加 48810瓶。 ? ?YX? ? ?? ? ?8 .3 8 3 4 .8 8 1YX? ??4 .8 8 1。 8 .3 8 3??????? 167。 ? 算出模型中的參數(shù)后，任務(wù)并沒有完成。還要對上面的回歸結(jié)果進(jìn)行分析。其中重要的一步是方程中的每個參數(shù)是否有統(tǒng)計意義。為了計算參數(shù)的 “ t Statistics” 的值。下面從一元線性回歸模型講起。 ? 給定 ，其中 是誤差項，這個誤差項的期望值等于零，其模型的估計方差是： ? 說明：一般的方差計算公式是 ? 這里使用（ n2)是因為有 2個參數(shù) 、 。 YX? ? ?? ? ??22 i22Y22iiXssnn???????????????????或22 1 ixxs n????????? ???? ??? 167。 ? 對模型的方差開平方，取其算術(shù)平方根，記作 s，它被定義為估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差（ standard error of estimate)或回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤差（ standard error of regression）。下面來計算估計參數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)誤差 （ standard error of the estimate coefficient)。 ? 先算出其方差 ，那么， 的標(biāo)準(zhǔn)誤差是 ，那么 的統(tǒng)計檢驗值（ t Statistics）就 ? ? 是 。 ? ? 再來計算估計參數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)誤差 （ standard error of the estimate coefficient)。 ? 先算出其方差 ，那么， 的標(biāo)準(zhǔn)誤差是 ，那么 的統(tǒng)計檢驗值（ t Statistics）就 ? 是 。 ? ??222isXXs ? ?? ??????????2SE s???0tSE? ?????????????2222iisXn X Xs ? ?? ????????? ??2SE s???0t SE??????????????? 167。 回到前面的例子上，可以將參數(shù)的統(tǒng)計指標(biāo)列在估計方程的下面： () () 括號中的數(shù)值就是相對應(yīng)的估計參數(shù)的統(tǒng)計指標(biāo)（ t stat等于 Coefficient 除以 Standard Error)。下面對這兩個參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗。假設(shè)參數(shù)都等于零，因為參數(shù)的方差未知，使用 t檢驗，因為樣本的個數(shù)是21，那那么其自由度是 20，如果選擇置信區(qū)間定為95%，那么其誤差容許范圍在 5%的范圍內(nèi)（也稱顯著性水平），從 t統(tǒng)計表中查出自由度是 20，顯著性水平是 5%對應(yīng)的 t統(tǒng)計量是 。將查表所得的值與計算所得的值進(jìn)行對比，以便接受參數(shù)是否等于零。 8 . 3 8 3 4 . 8 8 1??銷 量 （ 氣 溫 ）? 167。 如果計算的值大于查表的值，則有 95%的把握認(rèn)定：估計出來的參數(shù)不等于零；否則相反。在上例中，氣溫前面的參數(shù)的 t統(tǒng)計量 ，因此，有 95%的把握認(rèn)定參數(shù) 不等于零。這樣這個參數(shù)是有意義的。因而，有理由相信：當(dāng)氣溫升高一度時，市面上對飲料的需求會增加。 另外，參數(shù)的估計 “ 失誤率 ” 也是有用的。在檢驗參數(shù)的統(tǒng)計意義時，設(shè)定參數(shù)的失誤率容許范圍是 5%，那么，如果參數(shù)的估計失誤率小于 ，它們就有統(tǒng)計意義，否則相反。 ??? 167。 ? 單個參數(shù)統(tǒng)計檢驗的一般思路： ? 建立假設(shè)： ? 構(gòu)造統(tǒng)計量： ? 計算 t統(tǒng)計量的值； ? 根據(jù)題意，設(shè)定好置信系數(shù)，通過 t統(tǒng)計量表，查 t統(tǒng)計量的上闋值； ? 比較計算值與查表的上闋值，若計算值大于查表值，接受假設(shè)此參數(shù)不等于零，否則接受此參數(shù)等于零。 ? 以上是以 的檢驗作為例子，對于 也是一樣的步驟。（說明：之所以采取 t統(tǒng)計量是因為此參數(shù)的方差是未知的。） 01: 0。 : 0HH????? ?0 ~1t t nSE? ?????????????? ??? 167。 （ ANOVA） ? 對于回歸分析得出的結(jié)果作進(jìn)一步的分析，就是對估計參數(shù)方程的方差分析，英文叫 Analysis of variance (ANOVA）。下面進(jìn)行方差分析。設(shè) 這樣 。將上面的這個等式的兩邊同時減去 ，得到： 等式的右邊是每個樣本值與其平均值的差，也就是真實誤差。再將等式的兩邊同時進(jìn)行平方后加總，有 ： 這里 。 ii i i iY X Y X? ? ? ? ??? ? ? ? ? 。i i i ii i i i i iY Y Y Y Y Y Y Y??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????Y?i i i iY Y Y Y Y Y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?22222i i i ii i i i i iY Y Y Y Y YY Y Y Y Y Y Y Y? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?20i i iY Y Y Y? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 167。 （ ANOVA） ? 對于上面的等式定義 為方差總和；定義 為方差的回歸平方和，也叫解釋平方和；定義 誤差平方和，也叫未解釋平方和。于是 TSS=RSS+ESS ，即方差總和等于解釋平方和與未解釋平方和的加總。解釋平方和的自由度被規(guī)定為模型中的自變量的個數(shù)，用 k來表示，未解釋平方和的自由度被規(guī)定為樣本數(shù)減去自變量數(shù)再減去 1，用 (nk1)來表示。下面構(gòu)造 F統(tǒng)計量來對模型的回歸結(jié)果做整體的假設(shè)檢驗。 F統(tǒng)計量主要是用來說明兩個變量的對比的檢驗的。 2iT S S Y Y??????????2iR S S Y Y???????????2iiE S S Y Y??????????? 167。 （ ANOVA） ? 整體參數(shù)統(tǒng)計檢驗的一般思路： ? 建立假設(shè)： ? 構(gòu)造統(tǒng)計量： ? 計算 F統(tǒng)計量的值； ?