【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Y ??????????????????2222 )()(221nnnnnssss ????????????????222 )1()(1nnnnsss ???????????????222222 )1()()1()(1nnnnnnssss ??????????????????????⒉ 當(dāng) 時(shí)， 系統(tǒng)極點(diǎn)為 ： 10 ??? 22,1 1 ???? ???? nn jp 稱為阻尼振蕩頻率 。 21 ??? ??nd0,)]1s i n (1)1[ c os (1)( 222 ??????? ? tttety nntn ????????22222222 )1()(11)1()(1nnnnnnssss ??????????????????????????)si n ()( 22 btebas b at????)c o s()( 22 btebas as at???? ?0,)11s i n (11)(2122??????? ??ttgtety ntn???????0 2 4 6 8 1 0 1 2012? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? n ty ( t )0,)11s i n (11)(2122??????? ??ttgtety ntn???????? 在欠阻尼 (0?1)情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是振蕩且隨時(shí)間推移而衰減的，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率 ，其幅值隨 ?和 wn而發(fā)生變化。 ? 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的振蕩頻率等于系統(tǒng)特征根虛部的大小，而幅值與系統(tǒng)特征根負(fù)實(shí)部的大小有關(guān)。 ? 當(dāng) ?減小時(shí)，系統(tǒng)特征根接近虛軸，遠(yuǎn)離實(shí)軸，即系統(tǒng)特征根的負(fù)實(shí)部和虛部都增加了，這表明系統(tǒng)階躍響應(yīng)振蕩的幅值和頻率都增大了，階躍響應(yīng)振蕩得更激烈。因此，系統(tǒng)特征根的負(fù)實(shí)部決定了系統(tǒng)階躍響應(yīng)衰減的快慢，而其虛部決定了階躍響應(yīng)的振蕩頻率。 21 ??? ?? nd0,)11s i n (11)(2122??????? ??ttgtety ntn???????22,1 1 ???? ???? nn jp輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ： 0)11si n (1)(1)()()(2122????????????ttgtetytytrtentn，??????? 誤差也呈阻尼正弦振蕩。當(dāng)穩(wěn)態(tài)時(shí)，即當(dāng) 時(shí)，有 ，表示欠阻尼二階系統(tǒng)能夠完全跟蹤輸入單位階躍信號(hào)，沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。 ??t0)(lim ??? tetS t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81? = 0 . 3 ,? n = 1 0)1(1)( tety ntn ?? ??? ?222222)(11)(21)(nnnnnnnnsssssssssY ???????????????????階躍響應(yīng)函數(shù)為： ⒊ 當(dāng) 時(shí)， 極點(diǎn)為 ： 1??np ???2,10 2 4 6 8 1 0 1 200 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82? ? ?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ?? ?? ? n ty ( t ) 臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的過(guò)程。 輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ： 0)1()(1)()()( ??????? ? ttetytytrte ntn ，?? 隨著時(shí)間的增加，誤差越來(lái)越小，到穩(wěn)態(tài)時(shí)誤差變?yōu)榱恪Ｍǔ?，在臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude1??⒋ 當(dāng) 時(shí)， 極點(diǎn)為 ： 122,1 ???? ???? nnp即特征方程為： )]1() ] [1([2 2222 ????????? ????????? nnnn ssss)]1() ] [1([)()(222??????????????nnnsssRsYssssY nnn 1)]1() ] [1([)(222?????????????????????????????????????)1()1(1211)(2)1(2)1(222??????????? tt nn eety)1)(1(22122TsTsss nn ????? ???特征方程還可為： 因此過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為 : )1)(1(1)1)(1(1)()(212121??????sTsTTsTsTTsRsY于是閉環(huán)傳函為： 這里 ， 21 TT ?212 1TTn ??)1(1)1(111)1)(1(1)(2212112121TsTTTTsTTTsssTsTsY???????????212121211)( TtTteTT TeTT Tty???????)1(121 ?????? nT)1(122 ?????? nT式中 過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)還可以寫為 ： 0)(121)(21221???????tpepety tptpn ，??122,1 ????? ???? nnp其中 ： ? 由于 p1和 p2均為負(fù)實(shí)數(shù)，所以過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)組成。因而過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是非振蕩的單調(diào)上升曲線。 )( tyt2 準(zhǔn) 確 解tteety2 6 7 3 0 7 0 7 )(?????1 近 似 解tety2 6 1)(???121021,2ppn?????? ??)())(()()(122212psppspssRsYnn????????當(dāng)阻尼系數(shù) ?遠(yuǎn)大于 1，即 –p1p2時(shí)，在兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，后者衰減的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于前者，即此時(shí)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)主要由前者來(lái)決定，或者說(shuō)主要由極點(diǎn) –p1決定，因而過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點(diǎn) p1的一階系統(tǒng)來(lái)近似表示。 上述四種情況分別稱為二階 無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng) 。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)形式如下表所示： 單位階躍響應(yīng) 極點(diǎn)位置 特征根 阻尼系數(shù) 單調(diào)上升 兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根 單調(diào)上升 一對(duì)負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩 一對(duì)共軛復(fù)根 (左半平面） 等幅周期振蕩 一對(duì)共軛虛根 無(wú)阻尼,0?? njs ???2,1欠阻尼,1?? ?o 22,1 1 ???? ???? nn js臨界阻尼，1?? )(2,1 重根ns ???過(guò)阻尼，1?? 122,1 ??? ???? nns ?可以看出：隨著 的增加， y(t)將從無(wú)衰減的周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 時(shí) y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(dòng) (無(wú)振蕩 )。可見(jiàn) 反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。 ?1???0 2 4 6 8 1 0 1 200 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82? ? ?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ?? ?? ? n ty ( t )（一）衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程 ： )10( ?? ?0,)11s i n (11)(2122??????? ??ttgtety ntn???????⒈ 上升時(shí)間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時(shí)， 。 rtt ?rt 1)( ?rty1)11s i n (112122?????? ?????????tgte rnt rn0)11s i n (212 ???? ????? tgtrn?，， 210211212 ????? ? kktgtrn ????? 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程） 取 k=0，得： )1(1111 21212 ?????????????? ?? tgtgtdnr 稱為阻尼角，這是由于 。 ? ?? ?cos????? 21)( ????? tgtg －而21 ?????????????ndrt)1(21???? ????? ?tg??????? 22 11 ????nntg??n?21 ?? ?nj21 ?? ?? njn????⒉ 峰值時(shí)間 ：當(dāng) 時(shí)， pt ptt ? 0)(39。 ?pty0)c o s(1)si n (1)(2239。 ?????????? ?? ????????? ????pddtpdtn tetetypnpn?? ?????? tgttgndpd ?????21)(整理得 ： , . . . )2,1,0( ?? nnt pd ??由于 出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取 n=1，有： dnpt ????? ???21pt0,)si n (11)(2??????ttety dtn???????? 21 1 ?? ?tg其中 0)c o s ()s i n ( ????? ??????? pddpdn tt0 1 0 5 10 15 20 25 ?rn