【文章內(nèi)容簡介】 降的變量作為解釋變量，因?yàn)檫@類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計(jì)推斷變得無效，往往會產(chǎn)生偽回歸問題（ Spurious regression problem) 。關(guān)于偽回歸問題，我們也將在后面進(jìn)行討論。 ? ? 21/,niiX X n Q n?? ? ? ?? 假設(shè) 隨機(jī)誤差項(xiàng) ?具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?22012, , 0 , 312 , 。3,iiiii j i jijEXV a r XCo v X X i jXXXi j i j????????? ? ??????表 明 與 不 存 在 任 何 形 式 的 相 關(guān) 性 , 這 時(shí) 稱 為 外 生 解 釋 變 量 。表 明 的 方 差 不 依 賴 于 的 變 化 且 總 為 常 數(shù)表 明 隨 機(jī) 擾 動 項(xiàng) 互 不 影 響 或 者 說 對 于 所 有 的 和 與的 取 值 互 不 影 響 . 需要說明的是：當(dāng)（ 1）成立時(shí)，根據(jù)期望迭代法則（ law of iterated expectation)一定有如下非條件零均值性質(zhì)： ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?20 1 0 1202)(( ) , 1 , 2iiiii i i i iiuEV a rYuV a r Y V a r X V a r X V a rV a r i n???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ?同 樣 , 如 成 立 , 根 據(jù) 期 望 迭 代 法 則一 定 有 如 下 非 條 件 同 方 差 性 質(zhì) :我 們 還 可 推 出 :與 有 相 同 的 方 差 , 即假設(shè) 隨機(jī)誤差項(xiàng) ?與解釋變量 X之間不相關(guān)： 假設(shè) ?服從零均值、同方差的正態(tài)分布 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,01,0iii i i i i i i iCo v XCo v X E X E X E E X?? ? ? ??? ? ? ?當(dāng) 成 立 時(shí) , 從 而 有 :? ?20,ii XN??該 假 設(shè) 是 為 通 過 樣 本 回 歸 函 數(shù) 推 斷 總 體 回 歸 函 數(shù)的 需 要 而 提 出 的 , 尤 其 是 在 小 樣 本 下 , 該 假 設(shè) 顯 得十 分 重 要 . 以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的 經(jīng)典假設(shè)（ calssical assumption） , 滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為 經(jīng)典線性回歸模型 （ Classical Linear Regression Model, CLRM）。 而前四個(gè)假設(shè)也被專門稱為高斯－馬爾可夫假設(shè)（ GaussMarkov assumption ） ,這些假設(shè)能夠保證下節(jié)介紹的估計(jì)方法具有良好的效果。 ? ?01201 ,Y X YY X N X? ? ?? ? ?? ? ??最 后 需 要 指 出 ， 在 上 述 經(jīng) 典 假 設(shè) 下 ， 線 性 回 歸 模 型中 被 解 釋 變 量 具 有 如 下 條 件 分 布 特 征 : 在實(shí)際建立模型的過程中，除了隨機(jī)誤差項(xiàng)的正態(tài)性假設(shè)外，對模型是否滿足其他假設(shè)都要進(jìn)行檢驗(yàn)。這就是 建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型步驟 中 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn) 的任務(wù)。對于隨機(jī)誤差項(xiàng)的正態(tài)性假設(shè)，根據(jù)中心極限定理，如果僅包括源生性的隨機(jī)干擾，當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí)，都是滿足的。如果包括衍生的隨機(jī)誤差，即使樣本容量趨于無窮大，正態(tài)性假設(shè)也經(jīng)常是不滿足的。但是在初、中級教材中，一般將它忽略。 二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（ OLS） 給定一組樣本觀測值（ Xi, Yi）（ i=1,2,…n ）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值 .常見的估計(jì)方法有三種 :普通最小二乘法 (OLS)、最大似然法 (ML)與矩估計(jì)法(MM)。 普通最小二乘法 （ Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和 ?? ????? n iiin i XYYYQ121021))??(()?( ??最小。 方程組（ *）稱為 正規(guī)方程組 （ normal equations） 。 010101? ?,? ?0 。 0 , , :? ?????????????根 據(jù) 數(shù) 學(xué) 分 析 的 運(yùn) 算 , 當(dāng) Q 對 的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 為 0 時(shí) ,Q 達(dá) 到 最 小 , 即可 推 出 用 于 估 計(jì) 的 下 列 方 程 組記 ? ? 2222 1)( ??? ? ????iiii XnXXXx? ? ? ? ?????? iiiiiiii YXnYXYYXXyx 1))((上述參數(shù)估計(jì)量可以寫成： ??????????XYxyxiii1021??????稱為 OLS估計(jì)量的 離差形式 （ deviation form）。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中往往以小寫字母表示對均值的離差。 由于參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為 普通 最小二乘估計(jì)量 （ ordinary least squares estimators） 。 順便指出 ，記 YYyii ?? ??則有 ?????????iniiieXXeXXy111010)(?)??()??(??????可得 ii xy 1?? ??（ **） 式也稱為 樣本回歸函數(shù) 的 離差形式 。 （ **） ? ?01:? ? 0i i ie Y X????? ? ? ?????其 中 用 到 了 正 規(guī) 方 程 組 的 第 一 個(gè) 方 程 三、參數(shù)估計(jì)的最大似然法 (ML) 最大似然法 (Maximum Likelihood,簡稱 ML)，也稱 最大或然法 ，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計(jì)方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計(jì)方法的基礎(chǔ)。 基本原理 ： 對于 最大似然法 ，當(dāng)從模型總體隨機(jī)抽取 n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得從模型中抽取該 n組樣本觀測值的概率最大。 在滿足基本假設(shè)條件下，對一元線性回歸模型： iii XY ??? ??? 10 隨機(jī)抽取 n組樣本觀測值（ Xi, Yi）（ i=1,2,…n ）。 那么 Yi服從如下的正態(tài)分布： ),??(~ 210 ??? ii XNY ?于是， Y的概率函數(shù)為 2102 )??(2121)(ii XYi eYP?????????（ i=1,2,…n ） 假如模型的參數(shù)估計(jì)量已經(jīng)求得，為 因?yàn)?Yi是相互獨(dú)立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即 或然函數(shù) (likelihood function)為： ),(),?,?( 21210 nYYYPL ???????? ?2012121 ? ?()211( 2 )niiinn YXi niP Y e??????? ? ?????? 將該或然函數(shù)極大化 ， 即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計(jì)量 。 由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價(jià)的 ， 所以 ， 取對數(shù)或然函數(shù)如下： 2102*)??(21)2l n ()l n (ii XYnLL????? ???????解得模型的參數(shù)估計(jì)量為： ????????????????????????2212220)(?)(?iiiiiiiiiiiiiXXnXYXYnXXnXYXYX?? 可見 ， 在滿足一系列基本假設(shè)的情況下 ，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的 最大或然估計(jì)量 與 普通最小二乘估計(jì)量 是相同的 。 例 ： 在上述家庭 可支配收入 消費(fèi)支出 例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可通過下面的表 。 表 2 . 2 . 1 參數(shù)估計(jì)的計(jì)算表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594 1350 973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638 1050 929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 750 445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155 450 412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2022 1408 1 50 159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 21 ??? ??iiixyx?1 7 0 32 1 5 07 7 5 6 7?? 00 ??????? XY ??因此，由該樣本估計(jì)的回歸方程為： ii XY ???三、參數(shù)估計(jì)的矩法 (MM) 普通最小二乘法是通過得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)估計(jì)值的正規(guī)方程組并對它進(jìn)行求解而完成的。正規(guī)方程組可以通過矩估計(jì)（ Method of Moment,MM）的思想來導(dǎo)出。矩估計(jì)的基本原理是用相應(yīng)的樣本矩來估計(jì)總體矩。 ? ? ? ? ? ?? ?? ?01010 。 , 01? ?01? ?01i i i i iiii i iE C ov X E XYXnY X Xnn? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ???在 一 元 回 歸 模 型 假 設(shè) 中 , 已 經(jīng) 給 出 了 兩 個(gè) 基 本 的 總 體 矩 條 件 :于 是 , 相 應(yīng) 的 樣 本 矩 條 件 可 寫 成 :上 述 方 程 各 自 去 掉 恰 為 普 通 最 小 二 乘 法 中 的 正 規(guī) 方 程 組 .因 此 , 解 與 普 通 最 小 二 乘 法 以 及 極 大 似 然 法 的 結(jié) 果 相 同 .這 種 估 計(jì) 樣 本 回 歸 函 數(shù) 的 方 法 稱 為 矩 估 計(jì) 法 . 四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì) 當(dāng)回歸模型的隨機(jī)項(xiàng) 滿足最小二乘法的假定條件時(shí)，我們已利用樣本觀測值和最小二乘法得到模型中兩個(gè)回歸系數(shù) 的估計(jì)量。這種估計(jì)量只是利用一組樣本觀測值并令 最小的情況下給出的。由于抽樣是隨機(jī)的，不同的樣本可得到不同的估計(jì)量，因此 均為隨機(jī)變量，并具有一定的概率分布。為了對估計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。 估計(jì)量 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) ，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性： （ 1）線性性 ，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)，即結(jié)果能被樣本數(shù)據(jù)線性表出； （ 2）無偏性 ，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值； i?0, 1??2ie?0, 1??無偏性 （ 3）有效性 ，即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。 （ 4）漸近無偏性 ，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，是否它的均值序列趨于總體真值； （ 5）一致性 ，即樣本容量趨