【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ?()gs反饋增益矩陣為 ， 為使 由極點(diǎn)配置問(wèn)題的算法可知 ： ? ?,A b cP 化為能控規(guī)范形 的變換矩陣，而 ? ?,A b c1,k k Q Q P ???* * *0 0 1 1 1 1, , , nnk ? ? ? ? ? ?????? ? ? ???則狀態(tài)反饋系統(tǒng)為 ： ()x A bk x bvy c x? ? ??其中， 其能控規(guī)范形為 ： * * *0 1 101 001 01nA b k b? ? ? ??? ???? ????? ? ??? ????? ? ? ????? ?0 1 1, , , nc ? ? ? ??()x A b k x b vy c x? ? ??狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 為 ： 1111 1 0* 1 * *1 1 0( ) ( ) ( )Knnnnng s c sI A bk b c sI A bk bsss s s? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? 配置傳遞函數(shù)極點(diǎn)的同時(shí)，一般不影響其零點(diǎn)。 注： 當(dāng)期望的極點(diǎn)與零點(diǎn)相重合而對(duì)消時(shí)，會(huì)影響零點(diǎn)。被對(duì) ()Kgs消的極點(diǎn)成為不可觀(guān)測(cè)的 —狀態(tài)反饋不能保持能觀(guān)性 結(jié)論 [狀態(tài)反饋對(duì)零點(diǎn)的影響 ] 對(duì)完全能控的線(xiàn)性定常 SISO系統(tǒng)， 引入狀態(tài)反饋任意 考慮完全能控的 MIMO線(xiàn)性定常系統(tǒng) ： MIMO情形： 如何定義 G(s)零點(diǎn)？有多種定義 ,npqx A x B u x R u Ry C x y R? ? ? ???1( ) ( )G s C s I A B???其傳遞函數(shù)矩陣 ： 為：使 當(dāng) 為能控且能觀(guān)測(cè)時(shí)， 的零點(diǎn)可定義 ? ?,A B C狀態(tài)反饋配置 G(s)全部極點(diǎn)的同時(shí)，一般不影響 G(s)零點(diǎn)。 m in ( , )0sI A Bra n k n p qC??? ???????()Gs的所有 s值。 注： G(s)的每個(gè)元傳遞函數(shù) 的零點(diǎn)常會(huì)受狀態(tài)反饋 ()ijgs的影響。 結(jié)論 [狀態(tài)反饋對(duì)零點(diǎn)的影響 ] 傳遞函數(shù)矩陣為 ： 例 ：雙輸入 /雙輸出線(xiàn)性定常系統(tǒng) ： 1 0 0 1 01020 2 0 , 0 1 , 2 1 00 0 3 1 1A B C? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?3 5 2( 1 ) ( 3 ) 3()2112ss s sGsss?????? ? ????????1 2 31 , 2 , 3? ? ?? ? ?系統(tǒng)的極點(diǎn)是 ： 引入狀態(tài)反饋，狀態(tài)反饋增益矩陣為 ： 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的矩陣為 ： 6 1 5 1 50 3 0K?????????7 15 15 1 01020 1 0 , 0 1 , 2 1 06 12 12 1 1A B K B C?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?比較 和 ，狀態(tài)反饋的引入，系統(tǒng)的極點(diǎn) 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ： 移動(dòng)到 的同時(shí)，也改變 ()Gs()KGs ()Gs23 5 2 12 17( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 2) ( 3 )()2( 3 ) ( 3 ) ( 8 )( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 2) ( 3 )Ks s ss s s s sGss s ss s s s s??? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ???1 2 31 , 2 , 3? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?了 的大部分元傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。 3 5 2( 1 ) ( 3 ) 3()2112ss s sGsss?????? ? ????????11()C sI A BK B???2K注： 極點(diǎn)配置時(shí)，由于反饋增益矩陣的不唯一性，會(huì)導(dǎo)致系 統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)也不同。 相同極點(diǎn)配置的兩個(gè)不同的反饋增益矩陣 和 ， 1K相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣 和 從而，將有不同的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。 注： 反饋增益矩陣 選取，應(yīng)使其元增益值較小和閉環(huán)響應(yīng)較好。 12()C sI A BK B??? 一般是不相同的。 問(wèn)題的提法： ? 輸出反饋的極點(diǎn)配置問(wèn)題 1 2 n ( ) , 1 , 2 , ...,iix Ax Buy C xu Fy vA BFC i n? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ?考慮系統(tǒng)：給定期望極點(diǎn)： ， ，. ..,設(shè)計(jì)控制器： ，使得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)滿(mǎn)足不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)（從 FC=K，一般得不到 F）。 x A x b uy c x??? 對(duì)完全能控的線(xiàn)性定常系統(tǒng)，采用非動(dòng)態(tài)輸出反饋一般 單輸入 —單輸出系統(tǒng) 結(jié)論 [輸出反饋極點(diǎn)配置局限性 ] 其中 ， 為參考輸入， 為標(biāo)量反饋增益。 u v fy v fc x? ? ? ?1( ) ( )fg s c s I A b f c b?? ? ?取反饋控制 v其特征多項(xiàng)式為 ： ( ) d e t( )f s s I A b fc? ? ? ?f輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ： 2 1 1 2d e t [ ( ) ( ) ] d e t [ ( ) ( ) ]I G s G s I G s G s? ? ?注意到 利用輸出反饋系統(tǒng)一般關(guān)系式： 1( ) ( ) [ ( ) ]s I A b f c s I A I s I A b f c?? ? ? ? ? ?111( ) d e t( ) d e t[ ( ) ]d e t( ) d e t[ 1 ( ) ]d e t( ) [ 1 ( ) ]f s sI A I sI A b fcsI A fc sI A bsI A fc sI A b? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?可得： ( ) ( ) ( )f s s f s? ? ?? ? ?記 因此，輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為下方程的根： d e t ( ) ( )s I A s???1 ()()()sc s I A bs?????則， ( ) ( ) 0s f s??? ? ?極點(diǎn)和零點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)。 而 和 的根分別為 的 對(duì)完全能控的 SISO線(xiàn)性定常系統(tǒng)，輸出反饋不可能把系統(tǒng) 1()c s I A b??( ) 0s? ?以開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為始點(diǎn)和以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為終點(diǎn)的一組根 軌跡線(xiàn)段上。 ( ) 0s? ?的極點(diǎn)配置到根軌跡以外的位置 上。 由經(jīng)典控制理論的根軌跡可知：閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)只能分布于 結(jié)論 [輸出反饋局限性 ] 統(tǒng)的維數(shù)為 ，且 和 ，則采用 1）對(duì)于完全能控和完全能觀(guān)測(cè)的線(xiàn)性系統(tǒng) ，令系 ? ?,A B C非動(dòng)態(tài)線(xiàn)性輸出反饋 ，可對(duì)數(shù)目為 ： 的閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)行 “任意接近 ”式 ra n kB p? ra n kC q?u F y v? ? ?? ?m i n , 1n p q??n配置，即可使它們?nèi)我獾亟咏谥付ǖ钠谕麡O點(diǎn)位置。 2）如果在引入輸出反饋的同時(shí)，附加引入補(bǔ)償器，那 么通過(guò) 適當(dāng)選取補(bǔ)償器的結(jié)構(gòu)和特性，可對(duì)帶補(bǔ)償器的輸出反饋 系統(tǒng)的全部極點(diǎn)進(jìn)行任意配置。 結(jié)論 [輸出反饋極點(diǎn)配置 ] 考慮線(xiàn)性定常系統(tǒng) ： 所謂鎮(zhèn)定：設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋律 0, ( 0 ) , 0 .x A x B u x x t? ? ? ? 鎮(zhèn)定問(wèn)題：可鎮(zhèn)定條件和算法 為漸近穩(wěn)定的，即閉環(huán)系統(tǒng)的特征值均具有負(fù)實(shí)部。 ? 問(wèn)題的提法 u K x v? ? ?使?fàn)顟B(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)： ()x A B K x B v? ? ?配置于復(fù)數(shù)平面的左半 開(kāi)平面上。 鎮(zhèn)定問(wèn)題本質(zhì)上是 極點(diǎn)區(qū)域配置問(wèn)題 ，不使閉環(huán)系統(tǒng)的 極點(diǎn)嚴(yán)格地配置 到任意指定的期望位置上，而是使其 ?可鎮(zhèn)定的條件 線(xiàn)性定常系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的一個(gè)充分條件是 : 系統(tǒng)完全能控。 結(jié)論 [可鎮(zhèn)定的充分條件 ] 結(jié)論 [可鎮(zhèn)定的充要條件 ] 線(xiàn)性定常系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的充要條件是：系統(tǒng)不能控部分漸近穩(wěn)定。 證明： 設(shè) {A， B}不完全能控，結(jié)構(gòu)分解 12100cccAAA P A PABB P B????? ?????????? ???? 這表明：閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定（可鎮(zhèn)定）取決于不可控 部分是否漸近穩(wěn)定。 1211 12 21112[ , ]de t( ) de t( )de t0de t( ) de t( )[ , ]c c ccc c cK K KsI A B K sI A B K PsI A B K A B KsI AsI A B K sI AK K P K K???? ? ? ? ???? ? ? ?? ?????? ? ? ???? 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法 題中的狀態(tài)反饋增益矩陣 的計(jì)算可按下述步驟進(jìn)行 ： 算法 ：給定 ，且知其滿(mǎn)足可鎮(zhèn)定條件，則鎮(zhèn)定問(wèn) ? ?,ABK第 1 步 ：判斷 {A,B}能控性。若不能控，進(jìn)入下一步； 若能控，任意指定 n個(gè)負(fù)期望特征值 按極點(diǎn)配置算法，確定狀態(tài)反饋矩陣 K。 1 2 n, , .. .,? ? ?? ? ?? ?,ccAB第 2 步 ：對(duì) 按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，導(dǎo)出 ? ?,AB ，并求出變換矩陣 及其逆 P 。 1P?1[ , 0 ]K K P?? ?,ccAB第 3 步 ：對(duì) ， 任意指定 個(gè)負(fù)期望的特征值， 1K1n11 2 n, ... ,? ? ?? ? ?按極點(diǎn)配置算法確定狀態(tài)反饋 矩陣 , 最終狀態(tài)反饋矩陣為 ?系統(tǒng)與假設(shè) ?問(wèn)題的提法 ?系統(tǒng)的兩個(gè)結(jié)構(gòu)特征量 ?可解耦的條件 ?解耦算法 ?靜態(tài)解耦問(wèn)題 解耦控制問(wèn)題 ：可解耦條件和算法 x u多輸入多輸出線(xiàn)性定常系統(tǒng) p qyx A x B uy C x???n(1)其中， 為 維狀態(tài)向量， 為 維控制向量， 為 維 輸出向量。 ?系統(tǒng)及假設(shè) （ 2）控制律采用狀態(tài)反饋結(jié)合輸入變換，取 為參考輸入。 pq?（ 1） ，輸出和輸入具有相同的變量個(gè)數(shù)。 u K x L v? ? ?de t 0L ?vK LLpp?pn? 為 反饋增益矩陣， 為 輸入變換矩陣， （ 3）輸入變換矩陣 為非奇異，即 。 三個(gè)基本假定 ： （正則變換，否則稱(chēng)為非正則的） 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下 ：