定積分的幾何應用舉例(編輯修改稿)
2025-05-26 05:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )0( ?a 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 構成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 ,323232 xay ???332322???????? ??? xay],[ aax ??旋轉(zhuǎn)體的體積xxaVaad33232?????????? ??? .1 0 532 3a??? ?ayxb例 計算由橢圓 所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 而成的橢球體的體積 . 解 則 xxaab a d)(2 20 222?? ?? (利用對稱性 ) ?????? ?? 3222312 xxaab?0a 234 ab??o?? aV 02 xy d2?x當 b = a 時 , 就得半徑為 a 的球體的體積 .34 3aV ??方法 2 利用橢圓參數(shù)方程 則 xyV a d2 0 2?? ? ttab ds i n2 32?? ?22 ab??32?234 ab?? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)( yx ?? 、直線 cy ? 、 dy ? 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 xyo)( yx ??cd?? dc yyV d)]([ 2??例 3 計算弧 ]2,0[,s i n??? xxy ，與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)構成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積xxyV x d)(220???? ?? 20 2 ds i n?? xx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 yyxyyxV y d)(d)( 22102110 ?? ?? ???? ?? 10 2210 d)( a r c s i nd)2( yyy ???????補充 (1) 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 )( xfy ? 、直線 ax ? 、 bx ? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 dxxfxV bay |)(|2 ???例 4 求由曲線 24 xy ?? 及 0?y 所圍成的圖形繞直線 3?x 旋轉(zhuǎn)構成旋轉(zhuǎn)體的體積 .解 取積分變量為 y ,]4,0[?y體積元素為 yQMPMV d][d 22 ?? ??yyy d])43()43([ 22 ?????? ??,d412 yy?? ?yyV d412 40? ??? ?.64??3dyP Q M(2) 曲邊梯形繞直線 x=a 旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 ?????繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 x繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周 小結 四、平行截面面積為已知的 立體的體積 xo a bx xx d? 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . )( xA 表示過點x 且垂直于 x 軸的截面面積， )( xA 為 x 的已知連續(xù)函數(shù),d)(d xxAV ? .d)(?? ba xxAV立體體積 例 5 一平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角 ? ，計算這平面截圓柱體所得立體的體積 .RR?xyo解 ?取坐標系如圖 底圓方程為 222 Ryx ??垂直于 x 軸的截面為直角三角形x截面面積 ,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??立體體積 xxRV RR dt a n)(21 22 ??? ?? .ta n32 3 ?R?例 6 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓半徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積 .解 取坐標系如圖 底圓方程為 ,222 Ryx ?? xyo Rx垂直于 x 軸的截面為等腰三角形截面面積 22)( xRhyhxA ????立體體積 xxRhV RR d22?? ?? .21 2 hR??xoy0MA?nMB?1M2M 1?nM設 A 、 B 是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點BMMMMMAnni??? ,,110??并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時，
范文總結相關推薦
鄂ICP備17016276號-1